Пример «Пересечение сферы с прямой»

Условие задачи: определить взаимное положение заданных оригиналов.

Дано: Ф сферич. (буквой Ф – читается «фи» - обозначается произвольная поверхность)

1. m ∩ Ф = < А , В >– если прямая пересекает поверхность в двух точках ( А и В ).

2. m ∩ Ф = К – если прямая касается (обозначение: m Ф ) поверхности сферы в какой-либо точке ( К ).

3. m ∩ Ф = (знак пустого множества) – если прямая и сфера не

пересекаются, т.е. не имеют общих точек.

Чертёж к задаче: - рис.195.

5 Кузнецов, Н. С. Начертательная геометрия [Текст] / Н. С. Кузнецов. – М. Высш. шк., 1969. – 496 с.

Позиционная задача III типа

Универсальным методом решения позиционных задач (ПЗ) является метод посредника. Заключаем прямую m в плоскость-посредник . Посредник занимает горизонтально-проецирующее положение (рис.196).

1. Метод посредника

2. Другие возможные варианты решения задачи.

В сечении сферы плоскостью-посредником получается окружность.

Горизонтальная проекция этой окружности ( р 1 ) представляет собой отрезок прямой, совпадающий со следом плоскости . Фронтальная – представляет собой эллипс.

На рис.197 показано построение опорных точек эллипса.

На рис.198 показано построение промежуточных точек.

Полученные точки соединяются плавной кривой. Построена фронтальная проекция р 2 окружности p (рис.199).

Фронтальная проекция позволяет судить о взаимном положении окружности p и прямой m . В данном случае они пересекаются в двух точках (рис.200): m ∩ р =

Найденные точки А и В являются точками пересечения прямой m с поверхностью сферы.

Если бы прямая касалась сферы, то фронтальная проекция прямой касалась бы фронтальной проекции окружности р ( m 2 p 2 ). Если у прямой и окружности не было бы общих точек, это означало бы, что прямая и сфера не пересекаются.

В заключение следует определить видимость прямой m по отношению к поверхности сферы. Предполагаем, что сфера непрозрачна. Видимость определена способом конкурирующих точек сначала на горизонтальной проекции (рис.201),

Рис.201 затем на фронтальной проекции (рис.202).

Рис.202 Горизонтальная проекция точки В ( В 1 ) и фронтальная проекция

точки А ( А 2 ) расположены слишком близко к очерку сферы. Для того, чтобы показать видимость прямой m на участках от точек А и В до очерка, следует выполнить выносной элемент в произвольном увеличенном масштабе (рис.201 и 202).

В процессе решения задачи пришлось построить лекальную кривую - эллипс. В соответствии с определенными выше требованиями к точности построений, можно утверждать, что данный способ решения неприемлем в инженерных целях, т.к. положение точек А и В определено не точно.

Рассмотрим ещё один способ решения той же задачи.

1. Метод посредника

2. Преобразование проекций + метод посредника Цель преобразований: m – о.п. → m || П′

Первая задача на преобразования.

Способы: ЗПП (замена плоскостей проекций) ,

ППП (плоско-параллельный перенос) ,

ВрПр (вращение вокруг проецирующей прямой). При использовании любого из указанных способов требуется выполнить 1 преобразование.

П 2 / П 1 → П 2 / П 7 , m || П 7 .

Применим способ замены плоскостей проекций. Новая плоскость проекций П 7 перпендикулярна к незаменяемой – П 2 – и параллельна данной прямой m . В новой системе плоскостей проекций прямая m занимает уже не общее положение, а является линией уровня.

Линия пересечения плоскостей П 2 и П 7 параллельна проекции прямой m , т.е. x 2 = x 7 || m 2 (рис.203).

Выполняя замену плоскостей проекций, следует помнить основное правило: расстояние от новой оси до новой проекции точки равно расстоянию от заменяемой оси до заменяемой проекции точки. Линии связи перпендикулярны к проекциям осей.

На рис.203 показано построение новой проекции сферы.

Далее следует построить проекцию прямой m на плоскость П 7 .

Для этого необходимо задать на прямой две точки, положение которых произвольно, и затем построить новые проекции этих точек.

На рис. 204 показано построение точки Т . Сначала на фронтальной проекции прямой в произвольном месте задана фронтальная проекция точки ( Т 2 ). Далее с помощью линии связи на горизонтальной проекции

прямой находят горизонтальную проекцию точки ( Т 1 ). Линия связи Т 2 Т 7 перпендикулярна проекции новой оси х 2 = х 7 . Расстояние от этой оси до новой проекции точки ( Т 7 ) равно расстоянию от заменяемой оси – х 1 = х 2 – до заменяемой проекции точки ( Т 1 ), т.е. значению координаты y точки Т .

На рис.205 показано построение проекций другой точки прямой - Т′ . С целью уменьшения количества построений в качестве второй точки взят след прямой m на плоскости П 1 , т.е. точка, у которой значение ординаты равно 0 . Через полученные новые проекции точек Т и Т′ проходит проекция прямой m на плоскость П 7 .

Преобразование проекций завершено. Возвращаемся к решению позиционной задачи. Оригиналы те же – сфера и прямая. Изменилось положение прямой относительно плоскостей проекций – теперь она является линией уровня.

По-прежнему, это ПЗ III типа (ни один из оригиналов не занимает проецирующее положение). Универсальный метод решения подобных задач – метод посредника. Заключаем прямую m в плоскость-посредник . Посредник занимает положение плоскости уровня ( || П 7 ). В сечении сферы посредником получается окружность p . Проекция этой окружности на П 2 представляет собой отрезок прямой, совпадающий со следом плоскости , проекция на П 7 – окружность радиусом R – от оси до очерка (рис.206).

Ответ: m ∩ Ф = < А , В >(см. рис.207).

Положение точек пересечения прямой и сферы определено более точно, т.к. в ходе решения не пришлось строить лекальные кривые; использовались только прямые и окружности.

На рис.208 показан окончательный вид полностью решенной задачи, с определенной видимостью прямой по отношению к непрозрачной сфере.