Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

1 Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание 9 Задание 6 Задание 6 7 0

2 Задание Даны векторы a b,, c ;, d,, arcsin, где, Постройте векторы a и b, убедитесь в том, что они образуют базис на плоскости, и геометрически разложите вектор d по этому базису Докажите аналитически, что векторы a и b образуют базис на плоскости, и найдите координаты вектора d в этом базисе В параллелограмме, построенном на векторах a и b, найдите: а) длины сторон a и b ; скалярное произведение ( a, b ); б) диагонали d и d и их длины; в) внутренние углы параллелограмма и тупой угол между его диагоналями; г) площадь параллелограмма и длины его высот В параллелепипеде, построенном на векторах a, b, c, с основанием, образованным векторами a и b, найдите: а) объем и длину высоты, опущенной на основание; б) ориентацию тройки векторов a, b, c Постройте векторы a и b, убедитесь в том, что они образуют базис на плоскости, и геометрически разложите вектор d по этому базису ) Построим угол arcsin острый угол прямоугольного треугольника со сторонами k; k; k (рис ) ) Изобразим векторы и, учитывая, что, (рис ) B k k A k C Рис Рис ) Построим векторы a, b (рис, рис ):

3 a b Рис Рис Действие выполнено по правилу треугольника Действие выполнено по правилу параллелограмма Очевидно: векторы a и b образуют базис, так как не являются коллинеарными векторами ) Построим вектор d (рис ) d Рис ) Чтобы геометрически разложить вектор d по базису, образованному векторами a и b, отложим векторы OA a, OB b и OD d от одной точки O (рис6) D B A O d b B a A Рис 6 OD диагональ параллелограмма OA DB

4 d OD OA OB OA OB a b, где и пара чисел, определяющих координаты вектора d в базисе По рисунку можно сделать следующие выводы: 0, ; 0, a, b Докажите аналитически, что векторы a и b образуют базис на плоскости, и найдите координаты вектора d в этом базисе Известно: a 0, а) b 0, a b a ; b 0 Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны б) Векторы a и b образуют базис на плоскости, если будут не коллинеарными Вычислим их векторное произведение: a ; b ; 0, ; ; 0, ; ; ; Найдем длину вектора a; b 8 a ; b ; sin, Итак a ; b 0, значит a и b образуют на плоскости базис Пусть ; координаты вектора d в базисе a, b Т е d a b (*) Найдем ; В равенстве (*) векторы a, b и d заменим на их линейные комбинации векторов и .

5 Это векторное равенство возможно, если:, Решив систему уравнений, получим: ; ; координаты вектора d в базисе b a, Т е b a d Ответ: b a d а) В параллелограмме, построенном на векторах a и b найдите длины сторон a и b, скалярное произведение ), ( b a Длины сторон параллелограмма, построенного на векторах a и b, т е длины векторов a и b найдем так: a a и b b Заметим, что arcsin cos cos, ; a cos, 9 6 ; a ; b cos, ; 0 6 b ; b a

6 8 8 cos, ; 8 ( a ; b ) Ответ: a, b, ( a ; b ) б) В параллелограмме, построенном на векторах a и b найдите диагонали d и d и их длины B O a A d b Рис 7 d D d d a b a b d, d ; cos, 7 7 6, 6 d d, d Ответ: d 6, d, d, d 6

7 в) В параллелограмме, построенном на векторах a и b найдите внутренние углы параллелограмма и тупой угол между его диагоналями В параллелограмме OADB (рис 7) найдем угол O: O a, b, a; b cos a, b a b В задании пункте а) мы уже нашли 8 ( a ; b ), 8 значит cos a, b 6 0 a, b arccos O D, A B O Найдем угол между диагоналями d и d cos d, d d ; d d d Вычислим d ; d d ; d 6 ; 6 cos 6 a, 8, d 6, d вычислили в предыдущей задаче cos d, d d, d arccos Ответ: O, A ; d, d arccos b, 6 7

8 г) В параллелограмме, построенном на векторах a и b найдите площадь параллелограмма и длины его высот OABD Площадь S параллелограмма равна длине вектора результата векторного произведения векторов a и b : 8 S OABD a; b ед (см задание пункт б)) С другой стороны S a h b h пар a b, 8 Sпар 8 6 h a a, a a 8 Sпар 6 8 h b b 0 0 b b S пар ед, h a, h b Ответ: а) В параллелепипеде, построенном на векторах a, b, c, с основанием, образованным векторами a и b найдите объем и длину высоты, опущенной на основание; c, c a, Тк c ; c OADB и параллелепипед, построенный на векторах a, b, c прямой Его высота будет равна длине c, c b, вектора c 6 6 H c ; sin,, H Vпар Sосн H SOABD H ед 08 6 Ответ: V пар,ед, H б) В параллелепипеде, построенном на векторах a, b, c, с основанием, образованным векторами a и b найдите ориентацию тройки векторов a b,, c 8

9 ; b ; ; Значит a b с a (см задание пункт б)) c условие ; Из этого следует, что векторы a, b, c образуют правую тройку Ответ: Правая тройка 9

10 Задание Даны точки A( ;;6), B(;;), C( ;0; ) Найдите: длину стороны AB треугольника ABC; внутренний и внешний углы при вершине B треугольника ABC; точку D конец вектора AD [ AB; AC]; ориентацию тройки векторов AB, AC, AD; объем тетраэдра ABCD (точка D найдена в пункте )); 6 расстояние от вершины D до основания ABC ; 7 разложение вектора DC по базису AB, AC, AD Найдите длину стороны AB треугольника ABC AB AB, где ; z координаты вектора AB z ; ; 6 ; ; ; AB от координат точки B конца вектора вычитаем координаты точки A начала вектора 7 AB Ответ: AB Найдите внутренний и внешний углы при вершине B треугольника ABC B BA, BC, BA AB ;;, ;0 ; ; ;0 BC BA; BC Найдем cos BA, BC : BA BC BA; BC zz где, ; z и ; z ; координаты векторов BA и BC ; ; BC 0 BA 0 BC BA AB 0

11 9 cos BA, BC 7 9 Значит, B arccos B внутренний угол АВС Внешний угол 7 9 треугольника АВС при вершине В равен arccos, тк является смежным 7 углом с внутренним углом В 9 9 Ответ: B arccos ; arccos 7 7 Найдите точку D конец вектора AD AB; AC Пусть D имеет координаты ; ; z Тогда AD ; ; z 6, AB ; ;, ; ; AC Найдем вектор AD как результат векторного произведения векторов AB и AC : AD i j k i j k 0i j k 0;; 0, 9, AD 0;;, Итак:, 8, AD ; ; z 6, z 6, z Значит, D 9;8; D 9;8; Ответ: Найдите ориентацию тройки векторов AB, AC, AD Ориентацию тройки векторов AB, AC, AD можно определить по знаку результата их смешанного произведения AB AC AD

12 AB AC AD 0 0 Тк смешанное произведение векторов AB, AC, AD оказалось положительным числом, то эти векторы образуют правую тройку Ответ: Правая тройка Найдите объем тетраэдра ABCD (точка D найдена в задании пункт ) 7 V тетрabcd AB AC AD 0 ед 6 6 Смешанное произведение AB AC AD мы вычислили в задании пункт 7 Ответ: V ед 6 Найдите расстояние от вершины D до основания ABC Искомое расстояние высота H тетраэдра ABCD, проведенная из вершины D к основанию ABC 7 Известно, что V тетр Sосн H, Vтетр (см задание пункт ) V 7 H S осн SABC Вычислим S ABC: S ; 0 ABC AB AC AD (см задание пункт ) 7 70 Значит, H Ответ: H 7 Найдите разложение вектора DC по базису AB, AC, AD 8; 8;0 9;8; C ;0; DC тк D (см п), AB, AC, AD вектор DC имеет координаты ; z Пусть в базисе ;, тогда:

13 DC AB AC zad или в координатной форме: 8; 8;0 ; ; ; ; z0;; 8 ; 8;0 0z; z; z 0z 8, z 8, z 0 Решив систему уравнений, получаем ; ; z 0;; (Решить систему можно любым методом: матричным методом, методом Крамера или методом Гаусса) Итак: DC 0 AB AC AD Ответ: DC 0 AB AC AD

14 Задание В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC одна из его вершин находится в точке ( 7, ), а гипотенуза AB лежит на прямой l : 0 Найдите: уравнения прямых, содержащих катеты треугольника; уравнение медианы, проведенной к гипотенузе AB ; уравнения биссектрис острых углов; координаты центра и радиус r вписанной в треугольник ABC окружности; координаты центра и радиус R описанной около треугольника ABC окружности Найдите уравнения прямых, содержащих катеты треугольника Точка 7; не принадлежит прямой l, тк 7 0 Значит это координаты вершины C 7; прямого угла ABC l :, k tg угловой коэффициент этой прямой Найдем угловой коэффициент k прямой l, пересекающей прямую l под углом P (Рисунок 8 условный) k tg tg M, тк является внешним углом l N MNP l Рис 8 tg tg tg k k tg tg tg tg k k По условию k Значит k Одна из прямых, содержащих катет ABC имеет коэффициент k и задается уравнением l : b, а другая l : b, k, тк l l ABC прямоугольный, а, значит, k k условие перпендикулярности прямых b и b найдем, зная, что l l C, а это значит, что C l и C l l : 7 b b 6 7 l : 7 b b

15 Итак l : 6, l : 6 0, или l :, l : 0 Ответ: AC l, l : 6 0, BC l l : 0, l B 7, B l : 0 C G M ; O 7 Q A m : 0 l : 0 l A l : Рис 9

16 Найдите уравнение медианы, проведенной к гипотенузе AB Медиана CO ABC является и высотой ABC, тк по условию ABC равнобедренный AC BC Следовательно, прямая CO перпендикулярна прямой l CO m : k b где k k, значит k, тк k m : b, C 7; m, 7 b, b,, или b Итак, m : или m : 0 Ответ: Медиана m : 0 Найдите уравнения биссектрис острых углов Составим уравнение биссектрисы l A угла A Тк любая точка M ;, принадлежащая l A равноудалена от сторон этого угла (прямых l : 0 и l : 6 0, то Мы получили уравнения двух прямых биссектрис внутреннего угла A треугольника ABC и внешнего угла при этой же вершине Тк точка M l A относительно прямой l лежит по разные стороны с точкой Q началом координат, а относительно прямой l по одну сторону, то прямой l A соответствует уравнение: : 6 l A 0 l A : Аналогично составляем равнение биссектрисы l B угла B, 0 l B :, ABC : 0 Ответ: биссектрисы l A : 0, : 0 l B : l B 6

17 Найдите координаты центра и радиус r вписанной в треугольник ABC окружности Центр вписанной в треугольник окружности точка пересечения биссектрис внутренних углов: l A, l B и m Медиана m биссектриса, тк ABC равнобедренный по условию AC BC Пусть G ; центр вписанной окружности Найдем её как G m l A m : 0, l A : 6, ,, Итак: 6 ;, 0. 6 6 G Найдем r как расстояние от точки G до прямой l : 0 r 6 Ответ: 6 ; радиус r G центр вписанной окружности, r Найдите координаты центра и радиус R описанной около треугольника ABC окружности Центром описанной окружности вокруг треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам В прямоугольном треугольнике это точка середина гипотенузы Так как ABC равнобедренный и прямоугольный, то O центр описанной окружности O m l, 7

18 Найдем координаты точки O, решив систему: m : 0, 0 0,, l : 0 O ; центр описанной окружности, R OC OC, 7 ; 6; 6 Ответ: ; OC, R O центр описанной окружности, радиус R 8

19 Задание В наклонной треугольной призме ABCA BC с основанием ABC (точки A, B, C даны в условии задания ), A (,, ), найдите: расстояние между плоскостями ABC и A BC ; уравнение плоскости A BC ; уравнение прямой A B ; расстояние между прямыми AB и A B, BC и A B ; расстояние и угол между прямыми AC и A B ; 6 точку A, симметричную точке A относительно BC ; 7 угол между прямой AC и плоскостью AA B B Найдите расстояние между плоскостями ABC и A BC Даны точки A ( ;;6), B( ;;), C( ;0; ) Составим уравнение плоскости ABC Пусть M; ; zabc, тогда векторы ; ; AC ; ; и ; ; z 6 AB, AM будут компланарны, а, значит, их смешанное произведение будет равно нулю: z 6 z 6 0 0, z 6 0, 0 z 6 0, z 6 0, ABC : z 0 Поскольку ABCA BC, то расстояние между ними будем искать как расстояние от точки A, принадлежащей плоскости A BC до плоскости ABC A0 B0 Cz0 D по формуле:, A B C где A 0 B0 Cz0 D 0 уравнение плоскости, M 0 ; 0; z0 координаты точки от которой до плоскости находим расстояние 8 9

20 Ответ: 7 Найдите уравнение плоскости A BC A BC ABC n ABC n A BC ; ; Значит, A BC : z D 0 (*) Найдем D Тк A ;; A BC, то её координаты при подстановке в уравнение (*) обратят его в верное равенство: D 0 D 9 Значит, A BC : z 9 0 Ответ: z 9 0 Найдите уравнение прямой A B A ;; A B, AB A B Можно составить каноническое уравнение прямой A B, выбрав за направляющий вектор прямой A B вектор AB ; ; z Ответ: A B : Найдите расстояние между прямыми а) AB и A B ; б) BC и A B а) AB A B Найдем расстояние между ними (рис 0) ABB параллелограмм B B A A h S A AB; AA ABB A, с другой стороны S те AB AA AB h AB; AA h AB ABB A ;, значит AB h, Рис 0 0

21 AB ; ;, AB (см задание пункт ) AA ; ; 6 0; 0; 8,тк A ;; 6, ;; i ; AA 8i 8 j 0k 8; 8; 0 0 j 0 k AB 8 ; AA A 8 8 AB Итак, h Ответ: h 6 9 б) Прямые BC и A B скрещивающиеся (рис ) A A l Рис m; sl s l d, где M M m s ; s l C C B Расстояние d между скрещивающимися прямыми: z z l : и m n k z z l :, m n k где M ; ; z l, sl m ; n; k M ; ; z l, sl m ; n k, ; вычисляется по формуле: A B : z, s A B ; ;, A ;; CB : z, s CB ;;0, C;0; 0 m CA ;;, m s A s B CB 0 ; B 0

22 i s A B scb 0i j k 0; ; ; j k 0 s A B ; scb Итак: d 7 Ответ: d Найдите а) расстояние и б) угол между прямыми AC и A B а) Прямые AC и A C скрещивающиеся (рис ) Расстояние между ними находится аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче: AC AC правило параллелограмма для суммы векторов AA ; ; 0; 0; 8 ; ; s AC, A ; ; AC AC (см задание пункт ) AA (см задание пункт ) AC A 6 B A A AB AB AA правило треугольника для сложения векторов ; ; 0; 0; 8 ; ; s AB, A ; ; A B 0; 0; 8 AB (см задание пункт ) AA (см задание пункт ) A B AA m; s AC s A B m Найдем 0 m ; s AC s A B i s AC s A B i 7 j k ; 7; ; j k 8,

23 s AC ; s A B d Ответ: d 9 б) Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми AC и A B бу- AC ; ; и дем искать угол между их направляющими векторами A B ; ; cos AC, A C AC ; A B AC A B A B, AC arccos 8 8 Ответ: arccos 8 6 Найдите точку A, симметричную точке A относительно BC Даны точки A ( ;;6), B( ;;), C( ;0; ) ) Каноническое уравнение прямой BC: z B 0 C z BC : 0 ) Составим уравнение плоскости : (рис ): A N BC A sbc ;; 0 n A : 0z D 0 Тк A (;;6), то Рис 06 D 0 верное равенство D 9 : 9 0 ) Найдем координаты точки N : N BC n

24 t,, 9 0, t t, z, t z, t 0 t t 9 0 z N ; ; ) Пусть точка A имеет координаты ( ; ; z) Тк N середина отрезка AA, то её координаты равны среднему арифметическому координат точек A и A: 6. 8 9 9. A ; ; z 6 z 6 z 9 Ответ: A ; ; 7 Найдите угол между прямой AC и плоскостью AA B B Составим уравнение плоскости AA B, проходящей через три точки A ( ;;6), B( ;;), A (;; ) A n A Рис z 6 S AC = AA B: 0, n ;;0 C B B ; ; 0; 0; 8 ; ; z ; z AA B AB AA AM 6, где ; M ; AB AA 0 AM, тк векторы компланарны

25 s AC AC ; ; (см задание пункт ) Пусть искомый угол между плоскостью AA B и прямой AC (рис ) 90, где n, s AC n, s AC 0 sin cos n s AC Ответ: arcsin 9

26 Задание Составьте уравнение кривой, каждая точка которой в два раза ближе к прямой,, чем к точке A (0;0) Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте ее Пусть точка M ( ; ) принадлежит искомой кривой (рис l ) LM 0 0 MA AM, тк A (0;0) и AM ( 0; 0) 0;, ML l, l :, L,; Координаты точки, LM LM Рис Согласно условию задачи AM Составим уравнение: 0 0 7, M ; L ;,, гипербола (рис ) A 0 7 Рис 6

27 Задание 6 Даны уравнения второго порядка Приведите их к каноническому виду Учитывая, что уравнение второго порядка от двух переменных на плоскости может определять некоторую кривую линию, а в трехмерном пространстве цилиндрическую поверхность, в задачах постройте соответствующую кривую, а в задачах изобразите соответствующую поверхность ; 8 9 0; 6 0; z 8 6z Приведем уравнение к каноническому виду Для этого сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты: 9 8 6, 9 9 9, ,, 9 Разделим обе части равенства на 6 Получим:, a, b каноническое уравнение, задающее 9 в плоскости XOY эллипс Полуоси эллипса a и b равны, соответственно, и Этот эллипс получен из эллипса в результате параллельного переноса, заданного вектором k ; Те центром эллипса будет точка 9 O ; Построим кривую (рис 6) В трехмерном пространстве это уравнение задает эллиптический цилиндр Осью цилиндра будет прямая l параллельная оси апликат 9 OZ Эта прямая проходит через точку O ; ;0 Построенный на рис 6 эллипс для эллиптического цилиндра будет направляющей линией (рис 7) 7

28 l z O 9 0 Рис 6 Рис Выделив полные квадраты, приведем уравнение к каноническому виду Разделим обе части уравнения на 6 это уравнение на плоскости XOY задает гиперболу с 6 O ; центром в точке Сначала построим гиперболу, а затем подвергнем её параллельно- k ; му переносу на вектор a, b У кривой будут две наклонные асимптоты b a, т е Вершины гиперболы в точках ;0 и ;0 (рис 8) 8

29 В трехмерном пространстве это уравнение задает гиперболический цилиндр Осью цилиндра будет прямая l, параллельная оси аппликат и проходящая через точку O ;;0 Построенная на рис 9 гипербола будет для гиперболического цилиндра направляющей линией (рис 0) Рис 8 6 Рис 9 l z 0 Рис

30 6 0 Сгруппировав слагаемые содержащие и выделив полный квадрат, приведем уравнение к каноническому виду 6 каноническое уравнение на плоскости XOY задает параболу, полученную из параболы в результате параллельного переноса на вектор k ; Парабола, p 0 ;0 и проходит через точки ; и ; (рис ) Вершина параболы в точке ; В трехмерном пространстве уравнение имеет вершину в точке O (рис ) задает параболический цилиндр образующая которого параллельна оси OZ (рис ) 6 z 0 O Рис Рис z 8 6z 6 0 Выделяя полные квадраты приведем уравнение к каноническому виду z z 6 z z 6 6 z 0

31 z каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения полученного в результате параллельного переноса на вектор z k ;0; однополосного гиперболоида вращения (рис ) z Рис Поверхность пересекает плоскость : 0 0 YOZ Линия пересечения z гипербола с наклонными асимптотами z С плоскостью XOZ : 0 пересечение z окружность с центром в начале координат и радиусом r На рис изображена заданная поверхность z z z Рис