Домашняя работа по геометрии за 10 класс

2 15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия 1. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются. 1 Допустим, что AB и CD пересекаются, тогда по аксиоме 3 через них можно провести плоскость и в ней лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Так что AB и CD не пересекаются. Что и требовалось доказать.. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Ответ объясните. Можно. Пусть прямые a и b пересекаются в точке C и лежат в плоскости α (аксиома 3). Тогда возьмем точку D вне плоскости α (по аксиоме 1) и рассмотрим прямую CD. Эта прямая и не принадлежит плоскости α, а плоскость, содержащая прямые a и b, единственная (аксиома 3). Значит, прямая CD удовлетворяет условию задачи. 1 Условия заданий приводятся в учебных целях и в необходимом объеме как иллюстративный материал. Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги. (Ст. 19 п. закона РФ об авторском праве и смежных правах от 9 июня 1993 г.).

3 3. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой. По аксиоме, так как α и β имеют общие точки А, В и С, то плоскости α и β пересекаются по прямой, которая содержит эти точки. Следовательно, А, В, С принадлежат одной прямой. Что и требовалось доказать. 4. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения. b a Допустим плоскости α и β пересекаются по прямой а, а плоскости β и γ по прямой b, причем прямые а и b пересекаются в точке С. Тогда по аксиоме точка C принадлежит всем трем плоскостям α, β, γ, а значит, и третьей прямой с пересечения плоскостей α и γ. Что и требовалось доказать. 3

4 5. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются. Пусть α и β пересекаются по прямой а. И прямая b содержится в β и пересекает α в точке А. Точка А общая точка двух плоскостей. Тогда по аксиоме точка А принадлежит а. То есть а и b пересекаются. Что и требовалось доказать. 6. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ. Если какие-нибудь три точки лежат на одной прямой, тогда через эту прямую и четвертую точку можно провести плоскость (теорема 16.1). В этой плоскости лежат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит, никакие три точки не могут лежать на одной прямой. 7. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. Задача решена в учебнике п. 136 стр Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую. 4

5 Через произвольную точку В плоскости β проведем прямую b параллельно прямой а. Так как прямая а пересекает плоскость α, то параллельная ей прямая b пересекает эту плоскость (если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую: см. задачу 15 16), а b пересекает плоскость β. Значит, прямая а пересекает плоскость β. Что и требовалось доказать. 9. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости. Задача решена в учебнике п. 137 стр Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости. Проведем плоскость α через данную прямую а и точку А (по теореме 16.1). Если прямая b проходит через точку А и пересекает прямую а в точке В, то прямая b имеет с плоскостью α две различные общие точки (А и В), а, значит, лежит в полученной плоскости α (по теореме 16.). Что и требовалось доказать. 5

6 11. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости. Допустим, что прямые АС и BD лежат в одной плоскости α, но тогда и АВ и CD лежат в той же плоскости α, так как имеют с ней различные общие точки. Получаем противоречие с условием задачи. Значит AC и CD не лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать. 1. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящий через три из этих точек? Объясните ответ. Четыре различных плоскости. Плоскость задается тремя точками не лежащими на одной прямой (теорема 16.3). Если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, то все они и никакие три из них не лежат на одной прямой. Так что имеем четыре возможные тройки точек (А, В, С), (А, В, D), (А, С, D) и (В, С, D), которые определяют четыре различные плоскости Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.

7 Задача решена в учебнике п. 141 стр Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости. Допустим, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости. Тогда прямые АВ и CD, АС и BD параллельны, поэтому точки А, В, С, D являются вершинами параллелограмма ABCD. Но тогда диагонали AD и ВС этого параллелограмма должны пересекаться, что противоречит условию задачи. Значит A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать. 7

8 16. Параллельность прямых и плоскостей 1. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся. Если прямые АС и BD не являются скрещивающимися, то они могут быть пересекающимися или параллельными, но в обоих случаях они лежат в одной плоскости α, тогда А α, В α, С α, D α. Таким образом, прямые АВ и CD также лежат в одной плоскости, что невозможно по условию так как АВ и CD скрещивающиеся. Значит, AC и BD скрещивающиеся. Что и требовалось доказать.. Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и b, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и b? Объясните ответ. C Нельзя. Для того, чтобы провести прямую из точки C, пересекающую прямые а и b, точка C должна лежать в одной плоскости с a и b. Но a и b не лежат в одной плоскости, так как они скрещивающиеся прямые. 3. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости. Задача решена в учебнике п. 141 стр Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости. 8

9 Пусть с произвольная прямая, параллельная прямой b, пересекающая прямую а. Прямые а и b обращают плоскость α. Проведем через точку С пересечения прямых а и с в плоскости α прямую с 1, параллельную b. По теореме 17.1 через точку С можно провести только одну прямую, параллельную b. А, значит, прямая с совпадает с прямой с 1, а, значит, принадлежит плоскости α. Итак, любая прямая с, параллельная b и пересекающая прямую а, лежит в плоскости α. 5. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А 1, В 1 и М 1. Найдите длину отрезка ММ 1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: 1) АА 1 = 5 м, ВВ 1 = 7 м; ) АА 1 = 3,6 дм, ВВ 1 = 4,8 дм; 3) АА 1 = 8,3 см, ВВ 1 = 4,1 см; 4) АА 1 = а, ВВ 1 = b. Из решения задачи 4 следует, что прямые АА 1, ММ 1, ВВ 1 лежат в одной плоскости β. Значит точки А 1, В 1 и М 1 лежат на прямой А 1 В 1 пересечения плоскостей α и β. Рассмотрим далее картинку в плоскости β. По теореме Фалеса М 1 середина отрезка А 1 В 1. А, значит, ММ 1 средняя линия трапеции АА 1 В 1 В и по теореме о средней линии: 9

10 ММ 1 = 1 (AA1 + BB 1 ). Тогда: 1) ММ 1 = 1 (5 + 7) = 6 (м); ) ММ 1 = 1 (3,6 + 4,8) = 4, (дм); 3) ММ 1 = 1 (8,3 + 4,1) = 6, (см), 4) MM 1 = 1 (a + b). 6. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость. A Допустим, что AA 1 < BB 1, тогда как и в задаче 5 получаем рисунок. Рассмотрим ВАВ 1 : Пусть МС средняя линия треугольника и, значит, МС = 1 ВВ Рассмотрим АА 1 В 1 : М 1 С средняя линия треугольника, поэтому М 1 С = 1 АА 1. Тогда ММ 1 = МС М 1 С = 1 BB 1 1 AA 1. Если AA 1 BB 1, тогда аналогично получаем: ММ 1 = 1 AA 1 1 BB 1. Значит, ММ 1 = 1 AA 1 BB 1. Тогда: 1) ММ 1 = = 1 (м);

11 ) ММ 1 = 1 3,6 4,8 = 0,6 (дм); 3) ММ 1 = 1 8,3 4,1 =,1 (см); 4) ММ 1 = 1 a b. 7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В 1 и С 1. Найдите длину отрезка ВВ 1, если: 1) СС 1 = 15см, АС : ВС = : 3; ) СС 1 = 8,1см, АВ : АС = 11 : 9; 3) АВ = 6см, АС : СС 1 = : 5; 4) АС = а, ВС = b; СС 1 = с. Прямые BB 1 и СС 1 образуют плоскость β, которая содержит прямую АВ и пересекает данную плоскость по прямой АВ 1 так, что в плоскости β имеются два подобных треугольника АСС 1 и АВВ 1 (угол А у них общий, а С и В так как прямые СС 1 и ВВ 1 параллельны). Тогда: 1) АВ ВВ1 AC + BC BB1 BC BB1 =, то есть =, 1+ =, АС СС AC 15 AC BB =, BB 1 = 15 = 37, 5 (см); 15 AB BB1 AB 11 ) =, BB1 = CC1 = 8,1 = 9, 9 (см); AC CC1 AC 9 3) ВВ 1 СС1 CC1 5 = ; BB1 = AB = 6 = 15 (см); АВ АС AC 4) AB = AC + BC = a + b. Далее: ВВ 1 СС1 = ; АВ АС AB CC1 c ( a + b) BB1 = =. AC a 11

12 8. Даны параллелограмм и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А 1, В 1, С 1 и D 1. Найдите длину отрезка DD 1, если: 1) АА 1 = м, ВВ 1 = 3 м, СС 1 = 8 м; ) АА 1 = 4 м, ВВ 1 = 3 м, СС 1 = 1 м; 3) АА 1 = а, ВВ 1 = b, СС 1 = с. Пусть М точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Проведем через М прямую, параллельную прямым АА 1, ВВ 1, СС 1 и DD 1. Она пересечет данную плоскость в точке М 1, так как если одна прямая пересекает плоскость, то и параллельная ей прямая пересекает плоскость. Пусть DD 1 = х. MM 1 средняя линия трапеции ACC 1 A 1, (следует из задачи 5). Но с другой стороны MM 1 средняя 1 линия трапеции DD 1 B 1 B. Так что ММ 1 = (ВВ 1 + DD 1 ). Тогда АА 1+ СС 1 ВВ 1+DD = 1, то есть DD 1 = AA 1 + CC 1 BB 1. Тогда: 1) DD 1 = = 7 (м); ) DD 1 = = (м); 3) DD 1 = a + c b. 9. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и b? Если с параллельна а и b, то прямые параллельные (по теореме 17.), а следовательно, лежат в одной плоскости, что противоречит условию. Так что нельзя Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины

13 отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD. Пусть a прямая, проходящая через середины AB и BC, а b прямая, проходящая через середины CD и AD. Тогда в АВС: прямая а средняя линия в ADC: прямая b средняя линия. Так что прямая а параллельна АС, и прямая b параллельна АС, а, значит, прямые а и b параллельны. Что и требовалось доказать. 11. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости). Задача решена в учебнике п. 14 стр Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке. Пусть точки M, N, K, L, P, Q середины отрезков AB, BC, CD, AD, BD, AC соответственно. 13

14 Из задачи 11 получаем, что отрезки МК и NL являются диагоналями параллелограмма MNKL с вершинами в серединах сторон четырехугольника ABCD. Значит, МК и NL пересекаются в некоторой точке O и делятся этой точкой пополам. Также отрезки PQ и NL являются диагоналями параллелограмма PNQL с вершинами в серединах сторон четырехугольника ABCD, образованного этими сторонами. Значит, PQ и NL пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, а так как O середина NL, то, значит, O середина PQ. И PQ и NL пересекаются в точке O. Так что искомые прямые MK, NL и PQ, соединяющие середины отрезков AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно пересекаются в одной точке O, что и требовалось доказать. 13. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А 1, а сторону ВС в точке В 1. Найдите длину отрезка А 1 В 1, если: 1) АВ = 15 см, АА 1 : АС = : 3; ) АВ = 8 см, АА 1 : А 1 С = 5 : 3; 3) В 1 С = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5; 4) АА 1 = а, АВ = b, А 1 С = с. Так как AB параллельна плоскости, то AB A 1 B 1, так как A 1 B 1 лежит в плоскости. А, значит, ABC

A1B1C1 (по двум углам). Тогда: A1C A1B1 A1C AC AA1 1) =, A1 B1 = AB ( ) = AB ( ) = AC AB AC AC AA1 = AB(1 ) = 15(1 ) = 5 (см); AC 3 AC AB A1C + AA1 AB 5 8 ) =, =, 1+ =, A C A B A C A B 3 A B 1 8 A 1 B 1 = 8 : = 3 (см);

15 3) АВ 1 1 АB AB B =, 1C 10 4 A1 B1 = = = 8 (см); ВС 1 BC BC 5 4) A1B1 AB AC = AA1 + A1C = a + c. Далее =, A C AC A B 1 1 AB A1C bc = =. AC a + c Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей. М Пусть данные плоскости пересекаются по прямой AB. Проведем через точку M прямую, параллельную прямой АВ. Она единственная (теорема 17.1). Это и будет искомая прямая. 15. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Задача решена в учебнике п. 143 стр Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой. 15

16 Пусть а и b скрещивающиеся прямые. Через любую точку на прямой а проведем через прямую b 1 параллельную прямой b. Тогда прямые а и b 1 образуют плоскость α. По теореме 17.3 она будет параллельна прямой b. Что и требовалось доказать. 17. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α. Пусть плоскости β и γ пересекаются по прямой а и пересекают плоскость α по параллельным прямым b и с. Если прямая а не параллельна плоскости α, то она пересекает плоскость α в некоторой точке А. Тогда точка А принадлежит всем трем плоскостям α, β и γ, а, значит, и прямым b и с. Таким образом, прямые b и с имеют общую точку А, что противоречит условию. Так что a параллельна α, что и требовалось доказать. 18. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. Допустим плоскости α и β параллельны, а прямая с пересекает плоскость α в точке А. 16

17 Предположим, что эта прямая не пересекается с плоскостью β. Возьмем в плоскости β точку В и проведем плоскость γ через прямую с и точку В. Плоскость γ пересекается с плоскостями α и β по параллельным прямым а и b (теорема 17.6). Но по предположению, прямая с параллельна плоскости β, а поэтому прямая с параллельна и прямой b (теорема, обратная теореме 17.3). Получилось, что в плоскости γ через точку А к прямой b проведены две различные параллельные прямые а и с, что противоречит аксиоме. Значит предположение неверно и c пересекает β. 19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости. Задача решена в учебнике п. 144 стр Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно? Пусть а и b скрещивающиеся прямые, М данная точка. Искомая прямая х вместе с каждой из этих прямых а и b определяет плоскость (аксиома 3).Пусть α и β это плоскости. Плоскости α и β однозначно определяются точкой M и прямыми a и b (теорема 16.1). Наоборот плоскости α и β, которые мы можем построить по точке М и прямым а, b в пересечении дадут прямую х. Если прямая х пересекает прямые а и b, то х искомая прямая. Если х будет параллельна прямым а и b, то, значит, решения не существует. Это будет если точка М принадлежит плоскости, проведенной через прямую b параллельно прямой а или же если точка М лежит в плоскости, проведенной через прямую а параллельно прямой b. Если же точка М лежит на прямой а, на прямой b, то можно провести бесконечно много прямых, удовлетворяющих условию задачи. 17

18 1. Докажите, что геометрическое место середины отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым. Пусть середина отрезка AB точка M, где A и B принадлежат скрещивающимся прямым a и b. Проведем через прямые a и b параллельные плоскости α и β, а через точку M проведем плоскость γ параллельно плоскостям α и β. Тогда все рассматриваемые середины отрезков принадлежат плоскости γ. Что и требовалось доказать.. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма. Допустим некоторая плоскость α параллельна прямым АВ и СD. Согласно утверждению: если плоскость β, проходит через прямую а, параллельную другой плоскости α, и пересекает эту плоскость по второй прямой b, то прямые а и b параллельны. Из параллельности прямой АВ и плоскости α следует, что плоскости 18

19 определенные тремя точками АВС и ABD пересекают плоскость α по прямым а и b, параллельным прямой АВ. Из теоремы 17. следует, что прямые а и b параллельны. Из параллельности прямой CD и плоскости α следует, что плоскости ACD и BCD пересекают плоскость α прямым с и d параллельным прямой CD, а, значит, c d. Каждая из точек пересечения плоскости α с прямыми АС, AD, BD, ВС лежат в плоскости α и является точкой пересечения каких-то двух не параллельных из прямых а, b, c, d. Например, точка пересечения прямой АС с плоскостью α принадлежит плоскостям АВС и ACD, а значит является точкой пересечения прямых b и с, где b и с прямые пересечения плоскости α с плоскостями АВС и ACD соответственно. Так как прямые а и b, с и d попарно параллельны, то построенная по условию задачи фигура есть параллелограмм. Что и требовалось доказать. 3. Плоскости α и β параллельны плоскости γ. Могут ли плоскости α и β пересекаться? Задача решена в учебнике п. 145 стр Плоскости α и β пересекаются. Докажите, что любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β. Если бы плоскость γ не пересекалась ни с одной из плоскостей α, β, то плоскости α и β были бы параллельны плоскости γ, а значит и между собой, что противоречит условию задачи (так как α и β пересекаются). Получаем, что плоскость х пересекает хотя бы одну из плоскостей α или β, что и требовалось доказать. 5. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости. 1 19

20 Пусть B данная точка и α данная плоскость. Проведем через точку В плоскость β, параллельную плоскости α. Пусть b произвольная прямая, проходящая через точку B, параллельно α. Возьмем в плоскости α произвольную точку А и проведем через точку А и прямую b плоскость γ. Тогда плоскость γ пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а 1 и b 1, но прямая b 1 проходит через точку В, а прямая b тоже лежит в плоскости γ, и проходит через точку В и по теореме 17.3 (обратной) параллельна прямой а 1. Тогда по аксиоме прямые b и b 1 должны совпадать, поэтому прямая b лежит в плоскости β, что и требовалось доказать. 6. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно? Проведем через данную точку А прямые а 1 и b 1, параллельные данным прямым а и b, (теорема 17.3). Прямые a 1 и b 1 определяют искомую плоскость α. Эту плоскость можно построить, только, при условии, если точка А не лежит в плоскости, образованной прямыми а и b. 7. Параллелограммы ABCD и ABC 1 D 1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник, CDD 1 C 1 тоже параллелограмм. 0

21 Противолежащие стороны параллелограммов параллельны и равны, поэтому CD = АВ = С 1 D 1. Получаем, что прямые CD и С 1 D 1 параллельны прямой АВ и, следовательно, параллельны между собой (теорема 17.). Значит четырехугольник CC 1 D 1 D это параллелограмм. Что и требовалось доказать. 8. Через вершины параллелограмма ABCD. лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А 1, В 1, С 1, D 1. Докажите, что четырехугольник А 1 В 1 С 1 D 1 тоже параллелограмм. По свойству параллельных плоскостей и теореме 17., получаем что: А 1 В 1 АВ CD С 1 D 1, а также А 1 D 1 АD ВС В 1 С 1. Поэтому А 1 В 1 С 1 D 1 параллелограмм (по определению). Что и требовалось доказать. 9. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А 1, В 1, С 1. Докажите равенство треугольников АВС и А 1 В 1 С 1. 1

22 По свойству параллельных плоскостей AC A 1 C 1, BC B 1 C 1 и AB A 1 B 1. Также AA 1 BB 1 CC 1. Так что четырехугольники АА 1 В 1 В, ВВ 1 С 1 С, СС 1 А 1 А параллелограммы (их противолежащие стороны попарно параллельны). Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, АС = А 1 С 1. Значит, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по трем сторонам (3-й признак равенства треугольников). Что и требовалось доказать. 30. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А 1, В 1, С 1. Докажите подобие треугольников АВС и А 1 В 1 С 1. Пусть О данная точка. Рассмотрим пары треугольников ОА 1 В 1 и ОАВ, ОВ 1 С 1 и ОВС, ОС 1 А 1 и ОСА. Так как плоскости α и β параллельны, то эти треугольники подобны. Из подобия следует, что: OB 1 A1B1 OA1 B1C1 OB1 OC1 = = ; = = ; OB AB OA BC OB OC O1C1 OA1 A1C1 = =. OC OA AC

23 A1B1 A1C1 B1C1 Из этих пропорций получаем, что = =. А значит, по признаку подобия треугольников (по трем сторонам):: AB AC BC АВС А 1 В 1 С 1. Что и требовалось доказать. 31. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма. Пусть А данная точка, ВСDЕ данный параллелограмм. Рассмотрим плоскости ВАС, САD, DAE, ЕАВ. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей: ВС В 1 С 1, CD С 1 D 1, ED Е 1 D 1, ВЕ В 1 Е 1. Так что B 1 C 1 BC ED E 1 D 1, то есть B 1 C 1 E 1 D 1 и B 1 E 1 BE CD C 1 D 1, то есть B 1 E 1 C 1 D 1. А, значит, В 1 С 1 D 1 Е 1 также параллелограмм. Что и требовалось доказать. 3. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А 1 и В 1. Чему равен отрезок А 1 В 1, если АВ = а? Проведем через прямые АА 1 и ВВ 1 плоскость. Она пересекает плоскости α и β по параллельным прямым АВ и А 1 В 1. А значит четырехугольник АА 1 ВВ 1 параллелограмм, так как AB A 1 B 1 и AA 1 BB 1. У параллелограмма противолежащие стороны равны, поэтому АВ = А 1 В 1 = а. 33. Даны две параллельные плоскости α 1 и α и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через т. А проведена произвольная прямая. Пусть Х 1 3

24 и Х точки пересечения ее с плоскостями α 1 и α. Докажите, что отношение длины отрезков АХ 1 : АХ не зависит от взятой прямой. Задача решена в учебнике п. 146 стр Точка А лежит вне плоскости α, Х произвольная точка плоскости α, Х 1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х 1 есть плоскость, по параллельная плоскости α. Возьмем в плоскости α произвольную точку Х, построим соответствующую точку Х 1 (АХ 1 : ХХ 1 = m : n) и проведем через точку Х 1 плоскость β, по параллельную α. Докажем, что плоскость β соответствующее геометрическое место точек. 1) Для любой точки Y плоскости α точка Y 1 пересечения прямой АY 1 : Y 1 Y = АХ 1 : Х 1 Х = m : n, отсюда следует, что любая точка плоскости β удовлетворяет данному условию. ) Если для точки Y плоскости α точка Y делит отрезок АY в отношении m : n, то из соотношения пункта 1 следует, что точка Y совпадает с точкой Y 1 и поэтому принадлежит плоскости β. Два указанных утверждения означают, что рассматриваемое геометрическое место точек есть параллельная плоскости α плоскость β. 35. Даны три параллельные плоскости α 1, α, α 3. Пусть Х 1, Х, Х 3 точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х 1 Х : Х Х 3 не зависит от прямой, т.е. одинаково для любых двух прямых. Предположим, что другая прямая пересекает плоскости α 1, α, α 3 в точках Y 1, Y, Y 3. Через точку Х 1 проведем прямую параллельную второй прямой и пересекает плоскости α и α 3 соответственно в точках Z и Z 3. Из 4

25 ХХ 1 Х1Z задачи 33 следует, что = (из подобия треугольников ХХ 3 ZZ 3 Х Х 1 Z и Х 3 Х 1 Z 3 ). По свойству отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, Х 1 Z = Y 1 Y и Z Z 3 = Y Y 3, поэтому ХХ 1 YY 1 =, т.е. величина постоянная. ХХ YY Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная этим прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма. Пусть а, b, с, d данные прямые, и плоскость α пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма ABCD. Пусть другая плоскость пересекает эти прямые в точках А 1, В 1, С 1, D 1 соответственно. Плоскости АВВ 1 А 1 и СDD 1 С 1, параллельны, поскольку прямые АВ и CD, и прямые а и d параллельны. А, значит, плоскость β пересекает эти плоскости по параллельным прямым А 1 В 1 и С 1 D 1. Аналогично устанавливается параллельность прямых В 1 С 1 и А 1 D 1. Так что А 1 В 1 С 1 В 1 параллелограмм. Что и требовалось доказать. 37. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника? Задача решена в учебнике п. 147 стр Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника? 5

26 Проекция средней линии треугольника изобразится средней линией проекции треугольника, так как середины отрезков проектируются в середины проекций этих отрезков. 39. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ. Не может, так как при параллельном проектировании параллельные прямые переходят в параллельные прямые, а значит, параллельной проекцией параллелограмма не может быть трапеция. 40. Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом? Докажем, что может. Построим квадрат ABCD в плоскости α, и проведем через прямую АВ плоскость β, отличную от плоскости α. Построим в плоскости β параллелограмм АВС 1 D 1. Рассмотрим четырехугольник СDD 1 С 1 это параллелограмм. Так как CD AB C 1 D 1 и CD = AB = C 1 D 1, поэтому DD 1 СС 1. Получили, что при проектировании параллелограмма АВС 1 D 1 на плоскость α параллельно прямой СС 1, получился как раз квадрат ABCD. 41. Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой. Проекция центра симметрии фигуры будет являться центром симметрии проекции этой фигуры, так как при параллельном проектировании середина отрезка перейдет в середину его проекции. Что и требовалось доказать. 6

27 4. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра? Диаметр, перпендикулярный данному, делит пополам любую хорду, параллельную данному диаметру. Так что проведем хорду CD, параллельную данному диаметру АВ, и найдем середину М этой хорды. Тогда прямая ОМ, где О центр окружности содержит перпендикулярный АВ диаметр. 7

28 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей 1. Докажите. что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую. Задача решена в учебнике п. 148, стр. 4.. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые. Проведем через прямую а две различные плоскости α и β. В этих плоскостях через любую точку М проведем перпендикулярные к данной прямой прямые с и b. Они различны, так как лежат в разных плоскостях. Таким образом через любую точку М прямой a можно провести разные перпендикулярные к a прямые. 3. Прямые АВ, АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; ) BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см; 3) АВ = b, ВС = а, AD = d; 4) BD = с, ВС = а, AD = d. 8

29 Так как прямые АВ, АС, AD попарно перпендикулярны, то они образуют 3 прямоугольных треугольника, со смежными сторонами. Тогда: 1. В АВС: АВ = 3см, ВС = 7см, значит, АС = ВС АВ = 49 9 = 40 (см). Далее в ACD: CD = АС + AD = 40 +,5 = 4,5 (см ), тогда CD = 6,5 (см).. В ABD: АВ = DB AD = 81 5 = 56 (см ). Далее в АВС: АС = ВС АВ = = 00 (см ); АС = 00см. Далее в CAD: DC = АС + AD = = 5 (см ), то есть DC = 15см. 3. В САВ : АС = ВС АВ, то есть AС = а b. Далее в CAD : CD = АС + AD = (а b ) + d, значит, CD = a - b + d. 4. В ADB : АВ = DB AD = с d. Далее в АВС : АС = ВС АВ = а (с d ). И в ACD : DC = АС + AD = (а с + d ) + d, тогда DC = a - c + d. 4. Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника А 1 В 1 С 1 D 1 соответственно параллельны. Докажите, что ABCD прямоугольник. 9

30 Так как пары сторон AB и BC и А 1 В 1 и B 1C 1 параллельны по условию, то АВС = А 1 В 1 С 1 так как это углы с сонаправленными сторонами. Значит, АВС = 90. Аналогично доказывается, что BCD, CDA, DAB так же равны 90. Таким образом четырехугольник ABCD прямоугольник. Что и требовалось доказать. 5. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной этой плоскости. Допустим, что прямые а и b, проходящие через точку С, перпендикулярны не проходящей через точку С плоскости α. Пусть они пересекают плоскость α в точках А и В. Но тогда эти точки должны совпасть, иначе получится АВС с двумя прямыми углами, что не может быть. Прямые а и b имеют две общие точки С и А, так что и по аксиоме I эти прямые должны совпасть. Что и требовалось доказать Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершины треугольника. Пусть АВС данный треугольник, О центр описанной около треугольника окружности, Х любая точка на перпендикулярной АВС прямой.

31 Тогда поскольку О центр описанной окружности, то ОА = ОВ = =ОС = R. Тогда XA = XB = XC как наклонные с равными проекциями. Что и требовалось доказать. 7. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК. Пусть ABCD прямоугольник, АК ABCD. Значит КС = 9м; пусть КВ = 7м, KD = 6м. КВС = 90 (по теореме о трех перпендикулярах), поэтому ВС = =КС КВ = 9 7 = 3 (м ) (по теореме Пифагора). Далее AD = ВС (так как ABCD прямоугольник). Поскольку KA AD, то АК = KD AD = 36-3 = 4 = (м). 8. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = b, AD = с. 31

32 AD АВС, а, значит, треугольник CAD прямоугольный. Тогда DC = AD + АС = а + с ; DC = a + c. АВС прямоугольный (по условию). По теореме Пифагора получаем, что: АВ = АС + ВС = а + b. Далее DAB прямоугольный, так что DB = AD + АВ = = с + а + b ; DB = a + b + c. 9. Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость. Задача решена в учебнике п. 150, стр Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости β. Проведем через прямые а и b плоскость α. Она пересечет плоскость β по прямой b 1, перпендикулярной прямой а. Так как b 1 лежит в β. В плоскости α прямые b и b 1 должны совпадать как две перпендикулярные к прямой a прямые, проходящие через одну точку. Значит прямая b лежит в плоскости β, что и требовалось доказать. 3

33 11. Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую. Задача решена в учебнике п. 150 стр Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости α. Задача решена в учебнике п. 151 стр Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ; ) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ. 1) В плоскости АВМ проведем АА 1 ВМ. Тогда АА 1 AD (по признаку перпендикулярности прямых). АВ AD (по условию), значит, AD перпендикулярна плоскости АВМ (по теореме 18.). ) В плоскости МВС проведем СС 1 ВМ. Тогда CD СС 1 (по признаку перпендикулярности прямых). CD СС 1 и CD ВС (по условию), значит, CD перпендикулярна плоскости МВС (по теореме 18.). Что и требовалось доказать. 14. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = м, CD =,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α. 33

34 Проведем ВЕ DС, тогда BE AC. Так что ЕС = BD = м. Значит, АЕ = АС ЕС = 3 = 1 (м). Далее, ВЕ = DC =,4 м. И в ABE по теореме Пифагора. АВ = АЕ + ВЕ = 1 +,4 =,6 (м). 15. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого 3,9 м. Найдите длину перекладины. Проведем КС АВ. Тогда CD = АК = 3,9 м, так что ВК = АВ АК = 5,8 3,9 = 1,9 (м). Далее AD = КС = 3,4 м. Поэтому в BKC по теореме Пифагора получаем: ВС = ВК + КС = 19 34, +, = 1517, 3,9 (м) Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м, от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 0 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

35 Проведем ВЕ CD. Тогда АВ = DE = 8 м, и СЕ = CD ED = 0 8 = 1 (м). Далее в BCE по теореме Пифагора получаем: ВЕ = BC - CE = = 81 = 9 (м). 17. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника. Пусть BCD равносторонний. Проведем АН (BCD). Так как АВ = АС = AD = а, то проекции наклонных также равны, то есть: НВ = НС = HD. Значит, Н центр описанной около BCD окружности, радиус BC a которой НВ = R = =. 3 3 Далее так как АН (BCD), то треугольник АНВ прямоугольный. 35

36 И по теореме Пифагора получаем: АН = АB - HB = - a a = а Из точки S вне плоскости α проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС. Так как наклонные SA, SB, SC равны, то их проекции ОА, ОВ, ОС также равны, а это значит, что точка О центр описанной около треугольника АВС окружности. Что и требовалось доказать. 19. Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии м от каждой из его вершин. Проведем АН (BCD). Так как АВ = АС = AD = м, то проекции этих наклонных также равны: НВ = НС = HD. Значит, Н центр описанной около BCD окружности, так что 36 BD НВ = R = = 3 3 = 3 (м). 3

37 Далее так как АН (BCD), то треугольник АНВ прямоугольный, поэтому: АН = АВ - НВ = 4-3= 1 (м). 0. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние. Пусть АН высота равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС и равными сторонами АВ = АС. Нарисуем АВС на плоскости (1) и на проекционном чертеже (). Пусть P данная точка. Так как точка Р равноудалена от точек А, В, С, т.е. РА = РВ = =РС, то проекция О точки Р на плоскость АВС центр описанной около АВС окружности. Значит, точка О лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВC, т.е. на прямой АН. Рассмотрим ОВН. По теореме Пифагора: ОВ = ВН + ОН ; ВН = ВС : = м, а OB = R, тогда ОН = АН АО = 4 R, получаем: R = + (4 R) ; R = R + R ; 8R = 0; R =,5 м. Далее в POC по теореме Пифагора: РС = РО + ОС = 6 +,5 = ,5 = 4,5, тогда РС = 4,5 = 6,5 (м). 37

38 1. Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна b. Пусть АО перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость квадрата. Поскольку AB = AC = AD = AF, то и OB = OC = =OD = OF и, значит, О точка пересечения диагоналей. Тогда OF = 1 CF = b. Далее треугольник AOF прямоугольный. Так что АО = AF OF = a b = b a.. Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости. Пусть S данная точка, SO перпендикуляр к плоскости α, b длина наклонных. Поскольку каждая наклонная из точки S имеет одинаковую длину, то расстояния от точки О до оснований всех наклонных будут одинаковы. Поэтому искомое геометрическое место точек это окружность в данной плоскости с центром в точке О и радиусом R = 38 - SO b.

39 3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10см и 17см. Разность проекций этих наклонных равна 9см. Найдите проекции наклонных. Пусть SA и SB данные диагонали. Обозначим проекции АО = y, ОВ = х, х > y, так как SB > SA. Пусть SO перпендикуляр к плоскости α. Тогда из двух прямоугольных треугольников AOS и BOS получаем: SO = AS АО ; SO = BS ОВ ; AS АО = BS ОВ ; 10 y = 17 х. Далее х y = 9, то есть х = 9 + у; 10 у = 17 (9 + у) ; 100 у = у у ; 18у = 108; у = 6 см; х = = 15 см. 4. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если: 1) одна на 6 см больше другой, а проекции наклонных раны 1 см и 40 см; ) наклонные относятся как 1 :, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см. 39

40 1) Проведем SO перпендикуляр к плоскости α, и обозначим SA = x, SB = y; x > y, так как AO > OB. Из двух прямоугольных треугольников SOA и SOB получаем: SO = AS АО ; SO = BS ОВ, то есть x 40 = y 1. Далее х у = 6; х = 6 + у, так что х 40 = у 1 ; (6 + у) 40 = у 1 ; 5у = 780; у = 15 (см), тогда х = = 41 (см). То есть AS = 41 (см), BS = 15 (cм). 1 7 ) Обозначим AS = х, тогда AS : SB = 1 :, то SB = x. SO перпендикуляр. В прямоугольных треугольниках AOS и BOS имеем: SO = SA АО ; SO = SB ОВ, то есть x 1 = (x) 7, х 1 = 4х 49; 3х = 48; х = 16; х = 4. Так что AS = 4 (см) и BS = 8 (см) Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 3 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как : 3. Пусть SO перпендикуляр к плоскости α, а SA и SB данные наклонные.

41 Обозначим АО = x. Так как AO : BO = : 3, то BO = 3x. Далее из прямоугольных треугольников AOS и BOS получаем: SO = AS АО ; SO = BS ВО, то есть 3 4х = 33 9х. 5х = 560; х = 11. Далее SO = AS АО = 3 4x = 81, то есть SO = 9 (см). 6. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости. Задача решена в учебнике п. 15 стр Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекция катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу. Пусть АВС данный. Проведем AA 1 и BB 1 перпендикулярны к α, тогда АА 1 = ВВ 1 = 1 м расстояние от гипотенузы до плоскости α. А 1 С и В 1 С проекции наклонных AC и BC на плоскость α. Тогда в прямоугольных треугольниках АА 1 С и ВВ 1 С имеем: СА = АА 1 + А 1 С = = 10 (м ), и СВ = ВВ 1 + В 1 С = = 6 (м ). 41

42 По теореме Пифагора в треугольнике АВС: АВ = СА + СВ ; АВ = = 36; АВ = 6 (м). 8. Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и м. Найдите проекции этих сторон. Из точек В и С опустим перпендикуляры ВВ 1 и СС 1 на плоскость α; ВВ 1 = СС 1 = 4м. АС 1 проекция диагонали АС на плоскость α, В 1 D проекция диагонали BD на плоскость α. Так что АС 1 = 8 м, В 1 D = м. Рассмотрим прямоугольные треугольники ВВ 1 D и СС 1 А. По теореме Пифагора: АС = СС 1 + АС 1 = = 80; АС = 80 (м), а BD = ВВ 1 + В 1 D = 4 + = 0; BD = 0 (м). 1 1 Далее ОС = АС = 80 (м); OD = 1 BD = 1 0 (м). По свойству ромба: АС BD. Так что треугольник OCD - прямоугольный, поэтому: CD = ОС + OD 80 0 = + = 5; CD = 5 (м). 4 4 Так как ВС α, то В 1 С 1 = ВС = 5 (м). Из прямоугольных треугольников DC 1 С и АВ 1 В найдем АВ 1 и DC 1 по теореме Пифагора: АВ 1 = DC 1 = DC - CC 1 = 5 16 = 3 (м) Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, проведены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендикулярная отрезку АВ. Чему равно расстояние CD, если АВ = а, АС = b, BD = с?

43 Проведем AD. Тогда из прямоугольного треугольника ABD имеем: AD = AB + BD = a + b. Далее по теореме Пифагора в ACD : CD = AD АС = (а + с ) b = а + с b, так что CD = a + c b. 30. Докажите, что расстояние от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы. Выберем произвольные точки А и В на плоскости α, параллельной плоскости β. Прямая АВ лежит в плоскости α поэтому параллельна плоскости β. Опустим перпендикуляры АА 1 и ВВ 1 на плоскость β. По теореме 18.4 прямые АА 1 и ВВ 1 параллельны и лежат в одной плоскости; у четырехугольника АА 1 В 1 В противоположные стороны параллельны, значит, это параллелограмм; так что, АА 1 = ВВ 1. Что и требовалось доказать. 31. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины b своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей. 43

44 Пусть плоскости α и β параллельны. BD данная наклонная. Проведем BA β и DC α. Тогда CD = АВ расстояние между параллельными плоскостями α и β. Так что AB = CD = a. Проекции наклонной BD на плоскости α и β равны: ВС = AD. И по теореме Пифагора: AD = BD АB = b - a. 3. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка. Пусть DE и AC данные наклонные. Проведем DM β. Тогда DM = АВ расстояние между двумя параллельными плоскостями. Так что DM = AB = d. Далее по теореме Пифагора: d = АВ = a c. Так что 44 DM = a c. Но тогда EMD прямоугольный, поэтому:

45 ЕМ = DЕ DM = b - ( a - c ) = b - a + c. 33. Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7? D Пусть АВ данный отрезок, С точка на нем, такая что АС : :СВ = 3 : 7. АА 1, СС 1, ВВ 1 перпендикуляры, опущенные из точек А, С, В на плоскость α. АА 1 = 0,3м, ВВ 1 = 0,5м. По теореме 18.4 отрезки АА 1, ВВ 1, СС 1 параллельны, и значит, лежат в одной плоскости. Точки А 1, С 1, В 1 лежат на прямой пересечения этой плоскости с плоскостью α. Проведем из точки А прямую AD параллельную А 1 В 1, значит AD BB 1. Тогда АА 1 С 1 К прямоугольник. Так что КС 1 = АА 1. DB 1 =0,3 м. АСК

ABD так как СК параллельна BD. Далее АB AC + BC 7 3 = = 1+ = = 1+ = ; АC ACBC AC 3 10 BD AB 10 3BD = =. Так что CK =. CK AC 3 10 Так BD = ВВ 1 DB 1 = 0,5 0,3 = 0, (м), 3 0, CK = = 0,06 (м). 10 Ну и СС 1 = СК + КС 1 = 0,06 + 0,3 = 0,36 (м). 34. Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости. 45

46 1 1 Пусть АВ данный отрезок, точка О середина отрезка, через точку О проведена плоскость. Проведем АА 1 и ВВ 1 перпендикуляры на плоскость α. По теореме 18.4 прямые АА 1 и ВВ 1, а вместе с ними и отрезок АВ и точка О лежат в одной плоскости. Далее рассмотрим АА 1 О и ВВ 1 О они прямоугольные. АО = ОВ по условию, А 1 ОА = В 1 ОВ как вертикальные. Так что, AА 1 О = BВ 1 О, а, значит, АА 1 = ВВ 1. Что и требовалось доказать. 35. Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости. Пусть АС и BD диагонали параллелограмма и точка О середина диагоналей. Проведем плоскость α через диагональ BD. Проведем перпендикуляры AS и CS, на плоскость α. Тогда треугольники AOS и COS 1 прямоугольные: АО = =ОС по свойству диагоналей параллелограмма, SOA = S 1 OC; так что AOS = COS 1 (по стороне и острому углу), откуда следует, что AS = S 1 C. Что и требовалось доказать. 46

47 36. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояние от точек А и В до плоскости равны: 1) 3, см и 5,3 см; ) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и b. Пусть АВ искомый отрезок. Е середина отрезка АВ. АА 1, ЕЕ 1, ВВ 1 перпендикуляры, опущенные из точек А, Е, В на плоскость α. По теореме 17.4 эти перпендикуляры параллельны между собой. Тогда решим сначала общий случай AA 1 = a и BB 1 = b. 3)АЕ = ЕВ = 1 АВ; АМЕ ADB, так как EM BD. Так что АЕ АВ ЕМ AE 1 = ; EM = BD = BD. BD AB Но BD = BB 1 DB 1 = b a, поэтому ЕМ = 1 (b a). Далее ЕЕ 1 = ЕМ + МЕ 1 = а + 1 (b a) = а + 1 b 1 а = = 1 а + 1 b = 1 (а + b). Теперь подставив вместо a и b числа, получим: 1) ЕЕ 1 = 1 (3, + 5,3) = 1 8,5 = 4,5 (см). ) ЕЕ 1 = 1 (7,4 + 6,1) = 1 13,5 = 6,75 (см). 37. Решите предыдущую задачу, считая. что отрезок АВ пересекает плоскость. 47

48 Решим общий случай: O середина AB. ADB прямоугольный. ОО 1 средняя линия. Тогда 1 a + b BD = а + b и ОО 1 = BD = Если a < b, то ОЕ = ОО 1 О 1 Е = а + b а = (b a). Если a > b, то ОЕ = 1 (а b). Так что в любом случае ОЕ = 1 а b. Подставив числа, получим: 1) ОЕ = 1 3, 5,3 = 1,1 = 1,05 (см). ) ОЕ = 1 7,4 6,1 = 1 1,3 = 0,65 (см). 38. Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и на 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость. 48

49 Пусть отрезок AB пересекает плоскость α в точке O. Спроектируем его на плоскость α. Проведем перпендикуляры AA 1 и BB 1 AA 1 = 0,3 м, BB 1 = 0,5 м. Проведем через т. A прямую, параллельную A 1 B 1. Она пересечет продолжение отрезка BB 1 в точке M. AM BM. В ABM по теореме Пифагора: AM = AB MB, но MB = MB 1 + BB 1 = 0,5 + 0,3 = 0,8 (м), а AB = 1 (м), так что AM = 1 0,64 = 0,36 (м ); AM = 0,6 (м). Далее так как AA 1 B 1 M прямоугольник, то A 1 B 1 = AM = 0,6 м. 39. Через основание трапеции проведена плоскость, отстающая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости. если основания трапеции относятся как m : n. n 1 m 1 Пусть ABCD и α данные трапеция и плоскость. О точка пересечения диагоналей трапеции. ВВ 1 и ОО 1 перпендикуляры к плоскости α. Тогда BB 1 = a. Так как OAD

OCB, то OD AD m = =. OB BC n Далее рассмотрим ВВ 1 D ВВ 1 и ОО 1 лежат в плоскости ВВ 1 D. DO 1 О

ВВ 1 D так как B 1 DB общий и OO1D = BB1D = 90. OO 1 OD OD m Тогда = = =. BB1 BD OD+OB m + n m BB Так что ОО 1 = 1 am =. m + n m + n 40. Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости. 49

50 Пусть ABCD и α данные параллелограмм и плоскость. Проведем перпендикуляр СС 1 на плоскость α. Тогда СС 1 = a. М точка пересечения диагоналей параллелограмма. Проведем ММ 1 перпендикуляр к плоскости α. Тогда MM 1 CC 1. АМ ММ1 АМ 1 М подобен АС 1 С. Поэтому =. АC CC1 Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам так что =. Поэтому MM1 = CC1 = a. AM AC 41. Из вершины квадрата восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < b). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата. Пусть SA данный перпендикуляр. Тогда SB = SD = a (так как равные наклонные имеют равные проекции). АВ ВС (стороны квадрата). SB ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, SBC прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора: ВС = SC SB = b а, так что АВ = AD = CD = BC = b - a. SA AB (по условию), так что 50

51 SA = SB АВ ; а (b а ) = a b, так что SA = - a b. 4. Из вершины прямоугольника восстановлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояние от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, b, с (а < c, b < c). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника. Пусть SA данный перпендикуляр. Тогда SD, SC и SB наклонные, SD = b, SC = c, SB = a. SDC = 90 (теорема о 3-х перпендикулярах). Так что SDC прямоугольный. Поэтому DC = SC SD = c b, так что DC = c - b ; DC = АВ стороны прямоугольника. По теореме Пифагора в SAB: SA = SB АВ = а (с b ) = а + b с, так что SA = a +b - c. Далее SBC прямоугольный по теореме о трех перпендикулярах, поэтому ВС = SC SB = с а. Так что AD = ВС = c - a. 43. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные длиной м. найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60, а их проекции перпендикулярны. 51

52 Проведем SO перпендикуляр к плоскости. Тогда наклонные SA = SB = м. ASB = 60. Равные наклонные имеют равные проекции, значит, АО = ОВ. Так как угол ASB = 60, то ASB равносторонний, а, значит, АВ = AS = SB = м. Далее АО ОВ (по условию), АОВ равнобедренный и прямоугольный. Так что ОАВ = ОВА = 45. А, значит, BO = АО = АВ cos45 = = (м). Далее по теореме Пифагора в AOS: SO = AS AO = 4 = (м). 44. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60. Пусть SA = SB данные наклонные, SO перпендикуляр к плоскости, SO = 1м. AOS = BOS прямоугольные, (по гипотенузе и 5

53 острому углу) ASO = 60 и BSO = 60, а, значит, SAO = = SBO=30. Поэтому: SO = 1 SA = 1 SB. Так что SB = SA = м. По условию SA SB, тогда, по теореме Пифагора, получаем: АВ = SА + SB = = 8 = (м). 45. Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. Задача решена в учебнике п. 153 стр К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника. Пусть O центр вписанной окружности, а OS данный перпендикуляр. Тогда r = АО = ОВ = ОС = 0,7 м., где точки А,В,С точки касания сторон треугольника с окружностью. По теореме о трех перпендикулярах SA MN. Тогда по теореме Пифагора в AOS: SA = SO + AO =,4 + 0,7 = 6,5 =, 5 (м). 47. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сто- 53

54 рон 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пусть S данная точка, и SO перпендикуляр.тогда SO = 1,1 м, расстояние от данной точки до плоскости треугольника. SB, SC, SA наклонные; перпендикуляры к сторонам треугольника. Тогда АО = ВО = СО как проекции равных наклонных. По теореме о трех перпендикулярах АО, ВО, СO перпендикулярны сторонам треугольника. Значит O центр вписанной окружности в треугольник и r = AO = OB = OC. По теореме Пифагора в треугольнике SOB: ОВ = SO SO = 6,1 1,1 = 36 = 6 (м). 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см. Проведем DК ВС, тогда по теореме о трех перпендикулярах AK ВС. DK искомое расстояние. Так как AK высота, то AK медиана ( ABC равносторонний), поэтому ВК = 3 см. По теореме Пифагора в ABK : 54