Законы постоянного тока. Основные определения и формулы. Электрический ток. Сила тока. Дифференциальная форма уравнения непрерывности

Электрический ток упорядоченный перенос электрического заряда.

Сила тока заряд, переносимый сквозь рассматриваемую площадь поверхности S в единицу времени: I = dQ dt .

I = ∫ ! jdS ! , где ! j плотность тока.

"∫ ! jdS ! = 0 уравнение непрерывности для постоянного тока.

∇ = −!!j ∂ ∂ ρ t дифференциальная форма уравнения непрерывности.

∇ =!!j 0 уравнение стационарности, т.е. в случае постоянного тока поле вектора ! j не имеет источников.

Закон Ома для однородного проводника: Сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U ): I = U R , где R электрическое сопротивление проводника.

В случае однородного цилиндрического проводника: R = ρS l , где l длина проводника, S площадь поперечного сечения, ρ удельное электрическое сопротивление.

Закон Ома в дифференциальной форме (локальный закон Ома): ! j = ρ 1 E ! =σE ! , где σ = удельная электропроводимость среды.

Обобщенный закон Ома в локальной форме: ! j =σ(E ! + E ! ′), где E ! ′ напряженность поля сторонних сил.

Интегральная форма закона Ома для неоднородного участка цепи:

RI =ϕ ϕ1 − 2 +ε12 , где ε12 электродвижущая сила.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: ∑Ik = 0.

Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивление равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре: ∑I Rk k = ∑εk .

Закон Джоуля Ленца: Q# = RI 2 =UI = U R 2 , где Q# теплота, выделяемая в единицу времени.

Закон Джоуля Ленца в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке: Q#уд = ρj 2 , где Q#уд удельная тепловая мощность.

Удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей среде:

Q#уд = ρj 2 = ! j E( ! + E ! ′).

Время релаксации время, за которое заряд конденсатора уменьшается в e раз: τ = RC .

ЗАДАЧИ Правила Кирхгофа:

1. Сопротивления R1 и R2 на схеме заданы. При каком сопротивлении R , выделяемое на нем тепло будет максимальным?

Запишем правила Киргофа: узел А: I1 + I2 = I (1), левый контур: I R1 1 + IR = −ε1 (2), правый контур: −IR − I R2 2 = −ε2 (3);

Джоулево тепло на сопротивлении R равно Q = I Rt 2 . Ищем I : I2 = I − I1 (1), подставляем в (3), получим

Домножим (2) на R2 и (3) на (−R1) и сложим, избавляясь от I1:

I = RR ε ε 2 2+RRR1 −1 +1RR R21 2 = RR ε ε 1 +2RR R1 −( 21 R 2 = a ,

a = (ε ε2R1 − 1R2 )2  где R R1 2 = b . R1 + R2 = c 

Ищем максимум функции I R2 : d I R(dR2 ) = dRd  (R R1(ε ε22R+1R R−(1R1 2+)2RR2 ))2  = 0 или dRd (b +aRcR) = a b( +cR)( 2 b−+aRcR⋅)24(b +cR c ) = 0, т.е.

a b( +cR)−2acR = 0, отсюда R = b = R R 1 2 условие максимума выделяемой c R1 + R2

мощности на сопротивлении R .

b + Rc 2b 2R R1 2

Ответ: R = RR R11+ R2 2 .

2. В цепь моста Уинстона включена э.д.с. с внутренним сопротивлением r = 1 Ом. В двух плечах моста стоят сопротивления R1 = 1 Ом, R3 = 2 Ом. Какие сопротивления R2 и R4 надо поставить в другие плечи моста, чтобы он был уравновешен (ϕ ϕA − B = 0) и чтобы в мосте выделялась максимальная мощность?

Так как ϕ ϕA − B = 0 (равновесие моста), то I5 = 0.

Тогда для узлов А и В I I 1 3 = = I I 2 4   ,

левый верхний контур R I1 1 − R I3 3 = 0, правый верхний контур R I2 2 − R I4 4 = 0 .

R R 1 3 = I I 3 1 = I I2 4 = R R 2 4 , т.е. условие равновесия моста R R 3 1 = R R 4 2 .

Из условия задачи R3 = 2R1, R4 = 2R3 .

Мощность P = I Rвнеш =  r + Rвнеш  Rвнеш .

Условие максимума dP = 0 , Rвнеш = r максимальная мощность во dRвнеш

внешней цепи выделяется, если ее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника, т.е . Rвнеш 1 = R1 + 1 R2 + R3 + 1 R4 ,

Rвнеш = (RR11 ++ RR22 )(+ RR33 ++ RR44 ) = r , но R3 + R4 = 2(R1 + R2 ), т.е. 23((RR11++RR22))2 = r.

Ответ: R2 = 0,5 Ом, R4 = 1 Ом.

3. В схеме заданы сопротивления R и R0 и э.д.с. источников ε и ε0 , а

также емкость C конденсатора. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Найти заряд q на левой обкладке конденсатора.

Может ли этот заряд быть отрицательным?

Для внешнего контура RI − R I0 0 =ε ε− 0 .

Т.к. ток через конденсатор не идет, то − =I I0 , следовательно I = R ε ε − + R 0 0 .

Для верхнего контура RI +ϕ ϕb − a =ε ε− 0 , где ϕ ϕb − a падение напряжения на конденсаторе ϕ ϕa − b = RI = R + R R0 (ε ε− 0 ).

При ϕa > ϕb ток I имеет знак «+», при ϕa < ϕb наоборот.

Но q = C(ϕ ϕa − b )= CR (ε ε− 0 ).

Заряд отрицателен на левой обкладке при ε0 > ε.

Закон Ома. Нахождение сопротивления:

4. Сферический конденсатор заполнен однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε и удельным сопротивлением ρ.

Найти сопротивление среды в конденсаторе, если его емкость равна C . Определить напряженность E поля внутри такого конденсатора, если на его обкладки подать напряжение U .