Факультатив по математике "Суммирование числовых рядов". 9–10-й классы

Суммирование сходящихся рядов является неотъемлемой частью общей теории суммирования рядов, и имеет большое значение для ее дальнейшего изучения и развития.

Начинать рассмотрение теории суммирования необходимо еще в школе на факультативных занятиях. Это связано с обширностью данной тематики, ее проникновением во все сферы математики, большим прикладным значением, перспективностью для дальнейшего изучения.

Данный факультативный курс разработан с использованием методов проблемно-развивающего обучения, ситуаций свободного выбора, различных форм индивидуальной работы и группового взаимодействия, а также групповых дискуссий и познавательных игр.

Кроме того, учащиеся имели свободный доступ к специально разработанному по данному курсу электронному учебному пособию.

Количество часов: 15

Тематическое планирование по факультативному курсу “Ряды”

Занятие 1 Активизирующая познавательная игра по теме “Прогрессии и последовательности” (Приложение 1)

Занятие 2 Понятие числового ряда. (Приложение 1)

Определение 1. Числовой ряд – бесконечная последовательность чисел, соединенных между собой знаками сложения.

Определение 2. Если имеется числовой ряд , то называется общим членом ряда.

Основные типы задач:

1. Нахождение по заданному n LANG="RU">-ому члену числового ряда любого его члена.

2. Нахождение n-ого члена заданного числового ряда:

Пример. Найти n-ый член ряда Решение:

1. Дан ряд . Найти

2. Дан ряд . Найти .

3. Найти n-ый член ряда . 4. Найти n-ый член ряда .

Занятие 3 Урок одной задачи: определение площади фигуры. (Приложение 1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Проблемно-поисковая задача, подготавливающая к восприятию темы суммирование бесконечного числового ряда:

Дан квадрат со стороной 1. Каждую из его сторон разделяют на 3 равные части и соединяют ближайшие точки деления смежных сторон. Также поступают с получившимся многоугольником, затем с 18-ту угольником и до бесконечности. Найти площадь фигуры, которая получается в результате пересечения полученных многоугольников.

Найдем суммарную площадь отрезанных треугольников. Рассмотрим , отрезанный на каком-то шаге и , отрезанный на следующем шаге:

Треугольников “нового поколения” в 2 раза больше, следовательно, их суммарная площадь составляет площади “предков” . – геометрическая прогрессия .

Занятие 4 Понятие суммы ряда. Вычисление суммы ряда. Остаток ряда. (Приложение 1)

Пусть ; ; ; . ; ; . частичные суммы ряда (1).

Определение 1. Если последовательность частичных сумм ряда (1) имеет конечный предел S, т.е. , то ряд называется сходящимся, а S – его сумма. В этом случае записывают .

Определение 2. Остатком бесконечного числового ряда называют разность между его суммой и частичной суммой, т.е. если в ряде (1) отбросить первые m членов, то получим ряд m-ый остаток ряда.

Определение 3. Если не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Нахождение суммы ряда, представляющего сбой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Пример. Найти сумму ряда .

Пример. Найти сумму ряда .

1. выдвижение гипотезы: (1)
2. проверка гипотезы для первой частичной суммы n = 1; верно.
3. предположение о правильности гипотезы для n = к
4. доказательство правильности гипотезы для n = к + 1

3. Представление периодической дроби в виде обыкновенной.

Пример. Представить 0,(8) в виде обыкновенной дроби.

1. Найти сумму ряда .

2. Найти сумму ряда .

3. Найти сумму ряда .

4. Найти сумму ряда .

5. Найти суму ряда .

6. Представить в виде обыкновенной периодическую десятичную дробь:

7. В равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 1 м, вписан другой треугольник так, что его вершины находятся в серединах сторон первого треугольника. Во второй треугольник подобным образом вписан третий, и т.д. Найдите: а) сумму периметров этих треугольников; б) сумму площадей этих треугольников.

8. В круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат вписан круг; в этот круг вписан второй квадрат и т.д. найдите сумму площадей всех квадратов.

Занятие 5 Сходящиеся и расходящиеся ряды. Условие сходимости. Признаки сходимости числовых рядов. (Приложение 1)

Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то

Признак Д’Аламбера. Пусть числовой ряд с положительными членами и пусть существует предел . Тогда если Д < 1– ряд сходится, если Д > 1– расходится.

Признак Коши. Пусть – числовой ряд с неотрицательными членами и пусть существует предел . Тогда, если Д < 1 – ряд сходится, если Д > 1– ряд расходится.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда и , имеющие неотрицательные члены. Если, хотя бы начиная с некоторого номера N ( ), выполняется неравенство и если второй ряд сходится, то сходится и первый ряд, а если расходится первый, то расходится и второй.

Пример. ; ряд расходится.

= по признаку Д’Аламбера ряд сходится.

Пример. ; = по признаку Коши ряд сходится.

Занятие 6 Свойства сходящихся рядов. (Приложение 1)

Свойство 1. Числовой ряд не может иметь двух различных сумм.

Свойство 2. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из любой расстановкой скобок.

Свойство 3. Пусть ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и S. Тогда и ряд , сходится и его сумма равна S + S.

Свойство 4. Если ряд сходится и его сумма равна S, то сходится ряд , и его сумма равна А S.

Свойство 5. Если сходится ряд (5), то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов.

Занятие 7 Метод конечных разностей. (Приложение 1)

Пусть требуется вычислить сумму – n-ая частичная сумма. Подбираем такую последовательность Ик, чтобы при любом к от 1 до n имело место равенство . Тогда n-ую частичную сумму можно найти следующим образом: . Далее находим предел n-ой частичной суммы.

Основной тип задач: нахождение суммы ряда с помощью метода конечных разностей.

Пример. Найти сумму ряда .

Найти сумму ряда:

Занятие 8 Знакочередующиеся ряды.

Определение. Ряд вида , где все , либо все называется знакочередующимся.

Признак Лейбница: Пусть члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и , при . Тогда этот ряд сходится. При этом остаток ряда имеет тот же знак, что и первый из его членов и не превосходит его по абсолютной величине (доказательство см. Приложение 1)

Вычислите суммы с заданной точностью.

Пример. Вычислите сумму ряда с точностью 0,01.

Решение: ; , следовательно, для нахождения суммы данного ряда с точностью 0,01, надо вычислить сумму первых 4 его членов.

Пример. Доказать, что ряд сходится.

Решение: Ряд знакочередующийся, его члены монотонно убывают по абсолютной величине и .

1. Исследовать на сходимость:

2. Сколько членов ряда надо взять, чтобы вычислить сумму с точностью 0,0001.

Занятие 9 Основные сведения о расходящихся рядах. (Приложение 1)

– не имеет суммы в обычном ее понимании

– если n-й член ряда не стремится к 0, при , то ряд расходится

Метод суммирования Чезаро: Дан числовой ряд . По частичным суммам этого числового ряда строятся их последовательные средние арифметические . Если последовательность , то S – “обобщенная сумма” ряда.

Основной тип задач: вычисление суммы ряда.

Пример. Вычислим сумму ряда ,

Дополнительные задания:

1) 7 – 7 + 7 – 7 + 7 – 7 + . ;

2) ;

3) .