Формула второго закона Ньютона

Из первого закона Ньютона мы знаем, что тело само, без взаимодействия с другими телами не может изменить свою скорость. Любое изменения скорости является результатом действия на тело внешних сил. Второй закон Ньютона (основной закон динамики поступательного движения) показывает каково соотношение между силой и изменением скорости тел при их воздействии друг на друга

Определение и формула второго закона Ньютона

Самую простую запись второго закона Ньютона мы получаем в инерциальных системах отсчета. Рассмотрим случай, когда скорость движения тел много меньше скорости света.

Если в инерциальной системе отсчета тело перемещается с ускорением, то на него действует сила. Сила и ускорение пропорциональны друг другу. Направление ускорения совпадает с направлением, силы действующей на тело. При определённом ускорении сила пропорциональна массе тела, которому она сообщает ускорение. Если скорость движения тела много меньше скорости света, то сила не зависит от скорости движения тела, которое она ускоряет. В виде формулы в инерциальной системе отсчета выше сказанное запишем как:

где $m$ - масса тела; $\overline$ - сила, приложенная к телу и вызывающая его ускорение; $\overline$ - ускорение тела.

Формула (1) - это второй закон Ньютона в классической динамике.

Формулу основного закона динамики можно записать в ином виде:

где $\overline

=m\overline$ - импульс тела. Тогда формулировка второго закона Ньютона будет следующей: сила равна производной от импульса по времени - это наиболее общая формулировка основного закона динамики поступательного движения тел.

При действии на тело нескольких сил, равнодействующая этих сил равна:

формулу второго закона Ньютона запишем как:

Если материальная точка перемещается равномерно по окружности, то равнодействующая всех сил направлена к центру окружности, тогда равнодействующую силу называют центростремительной.

Применение второго закона Ньютона

Используя основной закон динамики поступательного движения, определяют силы, действующие на тела или характер движения тела при известных силах.

Для составления уравнений движения придерживаются следующей последовательности действий:

1. Выявляют все (или необходимые (бывает, что некоторыми силами можно пренебречь)) силы, которые действуют на тело (материальную точку).
2. Находят равнодействующую этих сил.
3. Записывают второй закон Ньютона, проектируют векторное уравнение на оси системы координат, составленное уравнение движения решают относительно нужной величины

Примеры задач с решением

Задание. Материальная точка, обладающая массой $m,$ перемещается под действием силы $\overline$. Проекция скорости движения частицы на ось X при этом, изменяется в соответствии с графиком рис.1. Какова проекция силы на ось X на всех этапах перемещения тела? Изобразите график $F_x\left(t\right).$

Решение. Аналитически опишем график, изображенный на рис.1. Он имеет три отрезка, следовательно, мы должны получит три уравнения $v_1\left(t\right);;\ v_2\left(t\right);;\ v_3\left(t\right).$

$v_1\left(t\right)$ - прямая линия, выходящая из начала координат, следовательно, задающее ее выражение имеет вид:

где $k_1=\frac=\frac$ - коэффициент наклона прямой.

Второй участок графика $v_2\left(t\right)$ параллелен оси абсцисс:

График $v_3\left(t\right)$ - отрезок прямой, его уравнение будет иметь вид:

где коэффициенты найдем из графика рис.1, получив систему уравнений:

\[\left\< \begin v_3\left(t=30\right)=c-k_2\cdot 30=4 \\ v_3\left(t=35\right)=c-k_2\cdot 35=0\ \end \right.\left(1.4\right).\]

Решив систему уравнений (1.4) имеем:

График, изображенный на рис.1 описывает система уравнений:

\[\left\< \begin v_\left(0\le t\le 10\right)=0,4t\ \left(\frac\right), \\ v_\left(10\le t\le 30\right)=4\ \left(\frac\right), \\ v_\left(30\le t\le 35\right)=28-0,8t\ \left(\frac\right) \end \left(1.6\right).\right.\]

Используя систему уравнений (1.6) найдем уравнения для проекций ускорений на ось X, используя формулу:

\[a_x=\frac\ \left(1.7\right).\] \[\left\< \begin a_\left(0\le t\le 10\right)=0,4\ \left(\frac\right), \\ a_\left(10\le t\le 30\right)=0\ \left(\frac\right), \\ a_\left(30\le t\le 35\right)=-0,8\ \left(\frac\right) \end \left(1.8\right).\right.\]

В соответствии со вторым законом Ньютона получим проекции силы, действующей на точку:

\[F_x=ma_x\left(1.9\right).\] \[\left\< \begin F_\left(0\le t\le 10\right)=0,4m\ \left(Н\right), \\ F_\left(10\le t\le 30\right)=0\ \left(Н\right), \\ F_\left(30\le t\le 35\right)=-0,8m\ \left(Н\right) \end \left(1.10\right).\right.\]

Графики проекций сил, действующих на точку, представлены на рис.2.

Ответ. $\left\< \begin F_\left(0\le t\le 10\right)=0,4m\ \left(Н\right), \\ F_\left(10\le t\le 30\right)=0\ \left(Н\right), \\ F_\left(30\le t\le 35\right)=-0,8m\ \left(Н\right) \end .\right.$

Задание. Чему равен коэффициент силы трения покоя тела о поверхность (рис.1), если при угле наклона плоскости к горизонту равном $_0$ тело начинает скользить вниз?

Решение. Сдлаем рисунок.

Ось X инерциальной системы отсчета, связанной с Землей, направим по плоскости; ось Y перпендикулярно плоскости, вверх. Тогда имеем: