Свойство биссектрисы угла треугольника

Показать многообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника.

Ознакомиться с литературой по данной теме, повторить ряд геометрических фактов, необходимых для проекта

Систематизировать теоретический материал, используемый для доказательства теоремы

Выяснить практическое применение формул для вычисления биссектрисы треугольника

Создание презентации к работе

Что мы знаем о биссектрисе угла треугольника? Наверное не так уж и много – определение биссектрисы; факт, что точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и свойство деления стороны биссектрисой на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

В своей работе я постаралась систематизировать сведения и найти дополнительную информацию, которая углубляет знания об этом понятии в теории треугольников. С помощью научной литературы по теме и работы с научным руководителем, мы привели несколько способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. При этом использовали следующие теоремы и понятия:

1.Теорему Фалеса о пропорциональных отрезках

2. Подобие треугольников

3. Применение формул площадей треугольника

4. Теорема синусов

Доказательство теоремы разными способами позволят повторить широкий спектр геометрических фактов, совершенствовать навыки применения разных методов и приемов решения задач, способствует более глубокому и прочному пониманию и запоминанию материала.

В работе значительно расширены сведения о биссектрисах треугольника:

приводятся 4 вида формул для вычисления биссектрисы треугольника, эти формулы имеют практическое применение;

выводятся формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник;

формулируются свойства точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной окружностью;

устанавливается взаимное расположение высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из одной вершины ( 3 способа).

Свойство биссектрисы треугольника и способы его доказательства.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам .

Дано: ∆ АВС, BD – его биссектриса.

1. Применим к доказательству теорему Фалеса

Проведем прямую CK|| BD и продолжим сторону AB до пересечения с этой прямой. 2 = 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и KC и секущей BC . 1 = 4 как соответственные углы при CK|| BD и секущей BC .

Тогда по теореме Фалеса:

Т.е , что и требовалось доказать

Применим подобие треугольников (рис. 1.2)

Проведем перпендикуляры из вершин А и С на биссектрису и ее продолжение, тогда имеем:

∆ CMD (по двум углам). Из определения подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

В равенствах (*) и (**) равны правые части, а значит :

Применим формулы площади треугольника (рис. 1.3)

Точка D лежит на биссектрисе угла ABC , значит она равноудалена от его сторон, то есть

4. Применим теорему синусов

Из ∆ ABD по теореме синусов: , или упростив, имеем: (*)

Из ∆ BD С по теореме синусов: (**)

Разделим равенство (*) на (**), получим

. 5. Докажем теорему, используя формулы площади треугольника (рис. 1.4)

Формулы для вычисления длины биссектрисы

В разделе выводятся четыре формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника [3].

2.1. Длина биссектрисы через пропорциональные стороны и отрезки

2.1.1.Доказательство. I способ - через вписанные углы (рис. 2.1.1).

Опишем вокруг ∆ ABC окружность и продолжим биссектрису CD = l до

пересечения с окружностью, F – точка пересечения. Пусть DF = x .

Вписанные углы BFC и CAB равны, так как опираются на одну и ту же дугу BC . Тогда ∆ FCB

∆ ACD по двум углам. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

По свойству пересекающихся хорд

Подставим последнее равенств в формулу (1), получим

2.1.2.Доказательство. II способ – через теорему косинусов (рис.2.1.2)

Из пропорции следует, что , (2).

Из ∆ BCD из теоремы косинусов.

Из ∆ DCA . Получим равенство .

После умножения на 2 abl получим:

. Подставим формулы (2) в равенство вместо m и n

В случае, если делим на ( b – a ) и получаем

2.2. Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними (рис. 2.2)

Доказательство через площадь треугольника.

Равенство умножим на 2, а заменим по формулам двойного угла

Так как разделим на него и найдём l . ;

Следствие. В прямоугольном треугольнике угол , поэтому биссектриса опущенная на гипотенузу равна , где a и b – катеты.

Длина биссектрисы через стороны треугольника (рис. 2.3)

Выразим отрезки m и n через стороны треугольника, решив систему.

Подставим найденные выражения в формулу биссектрисы

Угол между высотой и биссектрисой треугольника , проведенными

из одной вершины [1]

Пусть CM= h – высота, а CD= l биссектриса треугольника, проведенная из той же вершины. Найдем угол MCD между высотой и биссектрисой треугольника.

2.5. Длина биссектрисы через высоту (рис. 2.4)

Соотношения, связанные с биссектрисой

В разделе будет получено отношение, в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; найден угол, образованный при пересечении биссектрис; установлена связь между сторонами треугольника и отрезками касательных ко вписанной в треугольник окружности.

3.1. Отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения (рис. 3.1)

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Найдём, в каком отношении делятся биссектрисы точкой пересечении.

Дано: биссектрисы CD и AM ∆АВС пересекаются в точке I (инцентр)

Пусть CI = x , а ID = y . Найдём отношение .

Из ∆ CDB по свойству биссектрис . Учитывая что , находим .

Угол , образованный при пересечении биссектрис,

3.3 . Связь между сторонами треугольника и отрезками касательных к вписанной в треугольник окружности (рис. 3.3)

В ∆АВС вписана окружность. Пусть М,К, N – точки касания окружности сторон треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, AM = AK = x , CM = CN = y , NB = KB = z . Тогда

Сложив уравнения системы, получим

, где р – полупериметр.

Вычитая из последнего равенства уравнения системы, получим

Формулы, выражающие отрезки касательных через стороны треугольника.

Привожу без доказательства утверждения о свойстве точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, о расположении биссектрисы треугольника. Эта часть работы будет продолжена.

1. Точка пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, равноудалена от двух других вершин и инцентра