Решение задачи Л. А. Галина в постановке Коши Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»
Аннотация научной статьи по наукам о Земле и смежным экологическим наукам, автор научной работы — Чанышев Анвар Исмагилович, Абдулин Ильгизар Маратович
Рассматривается упругопластическая задача для выработки кругового сечения с заданными на ее границе смещениями. Для случаев полного и неполного охватов упругопластической границей контура выработки построено решение, не использующее данные на «бесконечности», позволяющее оценивать упругопластическое напряженное и деформированное состояния по данным на поверхности скважины и по свойствам среды.
Похожие темы научных работ по наукам о Земле и смежным экологическим наукам , автор научной работы — Чанышев Анвар Исмагилович, Абдулин Ильгизар Маратович
GALIN’S PROBLEM IN THE CAUCHY FORMULATION
The elastoplastic problem for a circular cross-section tunnel with the pre-set boundary displacements is under consideration. For the cases of incomplete and complete enveloping of the tunnel boundary by elastoplasticity, the authors construct the solution free of the data “at infinity”, which allows assessment of the elastoplastic stresses and strains based on the data obtained on well surface and by the properties of the medium.
Текст научной работы на тему «Решение задачи Л. А. Галина в постановке Коши»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Л. А. ГАЛИНА В ПОСТАНОВКЕ КОШИ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Ильгизар Маратович Абдулин
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, младший научный сотрудник лаборатории разрушения горных пород, тел. (383)335-97-50, e-mail: i.m.abdulin@mail.ru
Рассматривается упругопластическая задача для выработки кругового сечения с заданными на ее границе смещениями. Для случаев полного и неполного охватов упругопластической границей контура выработки построено решение, не использующее данные на «бесконечности», позволяющее оценивать упругопластическое напряженное и деформированное состояния по данным на поверхности скважины и по свойствам среды.
Ключевые слова: напряжения, деформации, упругость, пластичность, упругопластическая граница, задача Коши.
GALIN'S PROBLEM IN THE CAUCHY FORMULATION
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Physics and Mathematics, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Ilgizar M. Abdulin
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk 54 Krasny prospect, Junior Researcher, Rock Failure Laboratory, tel. (383)335-97-
The elastoplastic problem for a circular cross-section tunnel with the pre-set boundary displacements is under consideration. For the cases of incomplete and complete enveloping of the tunnel boundary by elastoplasticity, the authors construct the solution free of the data "at infinity", which allows assessment of the elastoplastic stresses and strains based on the data obtained on well surface and by the properties of the medium.
Key words: stress, strain, elasticity, plasticity, elastoplastic boundary, Cauchy problem.
Известно, что около отверстий образуется зона повышенных напряжений. При достижении напряжениями некоторой заданной величины материал возле отверстия переходит в неупругое состояние. Основная задача - получить распределение напряжений, деформаций, перемещений в области неупругости, найти границу, отделяющую область неупругости от области упругости.
Решению этой проблемы посвящено множество работ [1-10].
Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть в направлении оси 2 деформация отсутствует ( б2 = 0 ), а в плоскости хОу задано сечение выработки в виде кругового отверстия радиуса а (рис. 1).
Пусть контур выработки свободен от напряжений:
Пусть в зоне пластических деформаций справедливо условие пластичности Треска:
1тг-о- 9 ^ + 4 ^ = 2т5 , > 0), (2)
где Тх - предел упругости, сг1? сг2,сгз - главные напряжения,^ >сг2 >0"3, <т2 = <т2 , г, ср - полярные координаты, кроме того, выполняется условие соосности тензоров напряжений и деформаций:
Пусть в направлении 2-го главного направления связь между напряжениями и деформациями - упругая, что соответствует известному предположению Хаара-Кармана для случая неполной пластичности [11]:
или, в силу условия £2=0, выражению
Будем считать также, что исследуемый материал подчиняется закону упругого изменения объема:
где Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона.
Подставляя (5) в (6) и используя условие £2
где 2 О =--модуль сдвига.
Далее, используя уравнения равновесия сГу = 0 и условие
пластичности (2), имеем известную [12] гиперболическую систему уравнений с двумя характеристиками, совпадающими с направлениями действия максимального касательного напряжения, и двумя соотношениями на них, связывающими среднее напряжение и угол, задающий направление главных осей тензоров напряжений или деформаций (оси по условию (3) совпадают). Используя это обстоятельство и граничные условия (1), находим, что напряжения в области пластичности определяются однозначно выражениями
При этом однако неизвестно до какой границы распространяется это решение (8). Чтобы определить ее, будем считать, что на границе выработки г-а известно также распределение перемещений в виде:
где иг - радиальное, и^- тангенциальное перемещение, ср - полярный угол, ос, ¡3 - заданные функции.