Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Любая монотонная ограниченная последовательность < xn > имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup < xn > для неубывающей и точной нижней границе, inf < xn > для невозрастающей последовательности. Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Доказательство

1) Пусть последовательность является неубывающей ограниченной последовательностью.

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства: (1.1) .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу . Это означает, что:

для всех n , (1.2) ;
для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , так что (1.3) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем: . Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим: при . Поскольку , то , или при . Это и означает, что число является пределом последовательности . Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью: (2.1) для всех n .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу . Это означает следующее:

для всех n выполняются неравенства: (2.2) ;
для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , для которого (2.3) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем: . Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим: при . Поскольку , то , или при . Это и означает, что число является пределом последовательности . Вторая часть теоремы доказана.

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности. 3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью.

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства: (3.1) .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого (3.2) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем: . Здесь мы также использовали (3.2).

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства: . Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности: . Третья часть теоремы доказана.

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью.

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то (4.1) для всех n .

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого (4.2) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем: .

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства: . Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности: . Теорема доказана.

Пример решения задачи

Все примеры Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности: , , . . . , , . . . После чего найти ее предел.

Представим последовательность в виде рекуррентных формул: , .

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением (П1) . Доказательство выполняем методом математической индукции. . Пусть . Тогда . Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает. ; (П2) . Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому . То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a : . Воспользуемся тем, что . Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей: . Условию удовлетворяет корень .

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎