Открытые задачи по математике для 5-6 классов
С изменением общества сильно меняется и система образования. Б ыстрое развитие в ысоких технологий и у сложнение э кономических от-н ошений в о бществе требует высококвалифицированных кадров , спо-с обных к т ворческому мышлению, с амосовершенствованию и самореализации. Большая роль в формировании личности человека, его творческих и интеллектуальных качеств отводится школе.
Проблема развития мышления учащихся – одна из главных задач в методике обучения математике. Однако в н астоящее в ремя ц елям р азвития, о владения учащ имися ме-т одами познания и и сследовательскими у мениями у деляется у чителями н едостаточно внимания, п оэтому о громный р азвивающий п отенциал ма-т ематики и спользуется в неполной м ере. Такая ситуация приводит к противоречиям между целями образования: стремлением получить всесторонне развитую личность, способную к креативному мышлению и реальными результатами обучения.
Одним из возможных путей преодоления данных противоречий, по мнению отечественных и зарубежных методистов, является внедрение в практику методики решения «открытых задач». В н ачале 9 0-х г одов п рошлого в ека р яд я понских и а мериканских ис - с ледователей ( Н. Нохда, С . Шимада, Д ж. Б еккер, А . Шенфельд) с тали и спользовать т ермин " открытый п одход" в обучении м атематике. Японский исследователь Н. Нохда пишет, что идея "открыто го подхода" заключается в том, что взаимодействия между математиче скими идеями и поведением учащихся при решении задач являются откры тыми. Задача рассматривается не просто как упражнение, а как проблема, которую обычно ставит перед учениками учитель. Для ее решения нет предписанных способов. Таким образом, "открытый подход" предполагает, что сами задачи должны заключать в себе математические идеи. Ц ель " открытого п одхода" — н аучить ш кольников д елать математику и м ыслить м атематически, ч то м ожет б ыть д остигнуто в п роцессе решения о пределенных в идов з адач.
Проблема обучения школьников самостоятельной добыче информации рассматривалась в работах современных российских методистов ( В. А. Г усева, А . Х. Хазиева, Г . И . С аранцева, А Я Цукаря и д р.). В ходе отрадиционного обучения, знания школьникам даются уже в готовом виде. Учащиеся, непонимая почему учитель делает именно так, а не иначе, просто запоминают ход действий и в будущем применяют его для решения аналогичных заданий. У учащихся недостаточно практики самостоятельного п олучения м атематических р езультатов, в ыявления закономерно-с тей, о ткрытия и о боснования с войств о бъектов н а д оступном им у ровне, возможностей сравнивать и строить самостоятельные индуктивные умозаключения.
В обучении математике огромную роль играют задачи. Но, к сожалению большинство задач, представленных в школьных учебниках н е в скрывают с ути р ассматриваемых п онятий и н аправлены н а о тработку о пять ж е ф ормальных, а н е содержа-т ельных с торон у чебного м атериала. Однако в некоторых учебниках и пособиях по математике: ( В . А Г усев, А . Я . Цукарь, к оллективы: А . Л . Вернер, В . И . Р ыжик и д .р.), можно встретить отдельный вид задач, позволяющий приобщить школьников к исследованию задачи, развитию у него нешаблонного мышления и реализовать тем самым «открытый подход» в обучении математике в средней школе.
В исследованиях Н.М.Карпушиной, Д.Э., Шноль, А.И., Сгибнева, Н.М.Нетрусовой разработана система открытых задач по геометрии. В исследованиях Е.Н. Галиуллиной рассмотрена методика составления открытых задач для начальной школы. Отсутствие разработок открытых задач по математике для 5-6 классов определило актуальность темы исследования.
Цель и сследования: р азработать м етодику с оставления и использова-н ия з адач, реализующих о ткрытый п одход в о бучении математике в 5-6 классах.
В нашем исследовании мы исходим из положения, что с истематическое и ц еленаправленное исполь-з ование специально р азработанных з адач, м оделирующих п роцесс матема-т ического открытия и п озволяющих п риобщить, у чащихся к исследова-т ельской д еятельности по с амостоятельному д обыванию м атематических з наний, б удет с пособствовать реализации " открытого п одхода" в о бучении математике в о сновной ш коле и развитию у у чащихся, исследовательских у мений, творческих способностей.
Проблема исследования заключается в отсутствии исследований по проблеме использования открытых математических задач для учащихся 5-6 классов.
Разработана система задач реализующих «открытый подход» в обучении математике школьников 5-6 классов, которые были аппробированы на факультативных курсах в СОШ №40 с углубленным изучением отдельных предметов во время непрерывной педагогической практики с учащимися 6 «А» класса.
Задача и ее функции.
В психолого - методической литературе существуют разные подходы к решению задачи. Большинство авторов считают, что задача - это ситуация требующая действий для достижения определенной цели. Поэтому основными компонентами задачи являются: цель, ситуация, действие.
Цель - это требование, ситуация - условие; действие - решение.
Задачей будем считать математической, если ее решение осуществляется математическими средствами. Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся, уровня их математического образования, способности самостоятельно мыслить.
Решить задачу – значит преобразовать данную проблемную ситуацию в соответствующую ей стандартную ситуацию или установить, что такое преобразование в данных условиях невозможно. Создание проблемных ситуаций на уроке математики – это прием, посредством которого учитель держит в постоянном напряжении одну из внутренних пружин процесса обучения - детскую любознательность, развивает их творческую активность и самостоятельность. [1].
Открытие нового знания тесно связано с понятием математической активности. Развитие математической активности ученика А.Столяр считает основой обучения математике. С чего же начинается творческая работа математики? Иногда с правильной постановки нового вопроса, его формулировки и с ознакомления с проблемой. Умение ставить вопросы очень важно. Такое умение по отношению к окружающей действительности являлось, в сущности, движущей силой всякого прогресса.
Так что же включает в себя математическая активность? А.Столяр (1974) выделяет 3 главных аспекта математической активности, понимаемой как специфическая для математики активность мышления:
Математизация конкретных ситуаций;
Логическая организация математического материала;
Приложения математической теории.
Как же можно развивать ученика, как творческую личность, в ходе обучения математике? Это означает: помогать ему посредством решения совокупностей специально подобранных задач приобретать творческие умения, необходимым условием чего является обучение мыслительным операциям и способам рассуждений; развивать творческое воображение и интуицию; стимулировать активность предъявлением требований, новизной и занимательностью заданий, сводящих к минимуму буквальную подражательность и вызывающих любознательность и интерес учащихся. Очень важно формировать у школьников умение решать «открытые задачи».
К сожалению, до сих пор по традиционной методике преподавания математики в школе используется «разучивание» с учащимися решений задач определенных типов. В учебниках математики большинство представленных задач являются стандартными, решаемыми по известному алгоритму, в то время как обучить школьника поиску вариативных решений, выбору лучших результатов эффективнее через «открытые» задачи – задачи, предполагающие многовариативность решений, ответов, исследований, изображений и т.д.
С помощью специально подобранных задач, вопросов и наводящих соображений учитель должен организовать процесс обучения таким образом, чтобы он требовал от ученика настоящих открытий, и чтобы ученик действительно их совершал» [2]. Это мнение близко к нашему пониманию «открытого подхода» в обучении математике, суть которого заключается в приобщении учеников к самостоятельной добыче знаний путем имитирования процесса математического открытия и вовлечения школьников в деятельность, аналогичную творческой деятельности ученого - математика.
Идее «открытого подхода» в изучении математике, обозначенной в работах японских и американских исследователей предшествовала идея «переоткрытия» математических знаний с привлечением к этому процессу учащихся. Последняя была связана со стремлением показать школьникам возможные пути возникновения знаний в самой науке. Однако, похожие мысли можно найти в более ранних работах известных методистов. Так, еще Д.Пойа полвека назад писал: «Математика, излагаемая в стиле Евклида, представляется нам систематически дедуктивной наукой. Но математика в процессе создания является экспериментальной, индуктивной наукой. Оба аспекта математики столь же стары, как и сама математическая наука. Однако второй аспект в одном отношении является новым: математику: « in stadu nascendi », - в процессе рождения, - никогда не показывали ни ученику, ни самому учителю, ни широкой публике» [3, с.5]. Он так же указывал на необходимость привлечения детей к исследованиям и подчеркивал, что в противоположность задачам с узкой областью применения, служащим иллюстрациями к определенным правилам, школа должна хотя бы «время от времени давать учащимся более глубокие задачи … с богатым фоном, заслуживающим дальнейшей разработки, а так же задачи, дающие возможность войти во вкус научной работы» [4, c .294].
«Открытый подход» в преподавании характерен для японского математического образования (Н.Нохда, С.Шимада) [5]. Согласно С.Шимаде, при «открытом подходе» к преподаванию деятельность учащихся должна включать в себя:
Умелое использование знаний и умений;
Поиск математических правил или отношений;
Видение «открытий» и результатов других учащихся;
Рассмотрение и сравнение различных идей, предложенных разными учениками (проверка «математического качества» этих идей);
Изменение и дальнейшее развитие идей учащихся.
Автор перечисляет основные виды математической деятельности, как присутствующие в процессе обучения независимо от выбранных форм и методов, так и связанные с ее исследовательским аспектом и творческими действиями. Именно последние характерны для «открытого подхода» и позволяют выделить его среди других подходов в преподавании математики. Особое внимание уделено совместной работе учащихся по формулировке, проверке и дальнейшему развитию предложенных ими идей.
Еще один японский исследователь Н.Нохда пишет, что идея «открытого подхода» заключается в том, что взаимодействия между математическими идеями и поведением учащихся при решении задач являются открытыми. Задача рассматривается ни просто как упражнение, а как проблема, которую ставит перед учениками учитель. Для ее решения нет предписанных способов. Таким образом « открытый подход» предполагает, что сами задачи должны заключать в себе математические идеи. Для его реализации используют задачи следующих типов:
Задачи – процессы (с неполным процессом данных; учащиеся должны добавить условие, сформулировать и решить задачу);
С открытыми концами (задачи, которые учащиеся могут переформулировать, получая новые);
Порождающие («углубляя» которые, можно получить новые, более сложные, иллюстрирующие интересные математические идеи задачи);
Со многими решениями;
О преимуществах «открытого подхода» говорит и другой американский исследователь – Дж. Беккер. Как и Шенфельд, он считает, что решение задач с «открытыми концами» ставит учащихся в «сердцевину» процесса решения, заставляет их делать математику и думать математически [цит. По 6].
Польский ученый М. Клякли в своей работе посвященной вопросам формирования творческой математической деятельности учащихся пишет, что одна из важнейших целей обучения математики – ознакомление школьников с математическим методом в его различных воплощениях. При обучении этому методу не допускается введение лишь готовых формулировок, определений, теорем и их доказательств, одним словом изучение «готовой математики».
Так же вопросом «открытых задач» занималась Галлиуллина Е.Н., которая в своей диссертации очень подробно разработала вопрос методической подготовки будущих учителей начальных классов к обучению младших школьников решению «открытых» задач. Она считает, что суть «открытого подхода» в обучении математике, заключается в приобщении учеников к самостоятельной добыче знаний путем имитирования процесса математического открытия и вовлечения школьников в деятельность, аналогичную творческой деятельности учено го-математика. [ 6]
Карпушина Н.М., которая разработала методику составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии в основной школе.
Таким образом, мы видим, что вопрос разработки «открытых» задач стал весьма актуальным направлением исследований. Однако до сих пор нет никаких разработок открытых задач по курсу математики непосредственно для 5-6 классов. В данной работе раскрыто понятие «открытая задача», ее особенности, разработана небольшую методика по решению открытых задач в курсе обучения математики для 5-6 классов.
Отметим т акже, ч то в м етодической л итературе н ередко и спользуются т ермины " открытая" и " закрытая" з адача. П оясним, ч то и меется в в иду. П од "открытостью" з адачи о бычно п онимают " размытость" е е у словия, п риводящую к м ноговариантности р ешения. П онятие " открытости" связывается с в озможностью и зменения ф ормулировки у словия ( перечня д анных и ли вопроса), а т акже с н еопределенностью м етода р ешения. Т аким обра-з ом, м ожно говорить о д вух в идах " открытых" з адач ( таблица 1 ).
Некоторые а вторы у казывают н а т о, ч то ш кольные з адачи (помещен-н ые в учебниках и ли в о бщедоступных с борниках з адач), к ак п равило, яв-л яются "закрытыми": в и х ф ормулировке т очно и звестно, ч то д ано и ч то н адо н айти, известен м етод р ешения, и п одчеркивают, ч то злоупотребле-н ие и ми в п роцессе обучения л ишает у чеников в озможности предприни-м ать и р азвивать ц енные виды т ворческой м атематической д еятельности. О днако э того н едостатка н ет у "открытых" з адач, н а н еобходимость ис-п ользования к оторых ч асто у казывается. Именно т акого т ипа з адачи входят в с остав м ногоэтажных з аданий. П одчеркнем, ч то о тличить и х о т "за крытых" з адач л егко п о ф ормулировкам, п римеры к оторых п риведены в таблице 1 .
Краткая характеристика и типы возможных формулировок
Точно известно условие задачи, т.е. что дано и требование, то что надо найти. Имеются все данные для решения они не являются ни избыточными, ни недостаточными. Типичные формулировки: «найдите то… , если то..», «вычислите, зная что…»
Требование или условие носит открытый характер, существуют возможности его изменения.
-выясните чем является;
Формулировка ни редко подсказывает, а иногда и указывает способ последующих действий.
Метод решения не известен, требует рассуждения, исследования.
Целью решения открытых «открытой задачи» - является ф ормирование с ильного т ворческого м ышления, развитие способности г енерировать и деи и г отовности к р ешению н естандартных з адач, возникающих в различ-н ых о бластях ч еловеческой д еятельности. О дним и з ведущих п ринципов п едагогической т ехники — принц ип открыт ости. А . А . Гин, с пециалист п о ТРИЗ-педагогике, ф ормулирует е го т ак: " Использовать в обучении откры-т ые з адачи; н е т олько д авать з нания, н о е ще и п оказывать и х границы; с талкивать у ченика с п роблемами, р ешения к оторых л ежат з а пределами и зучаемого к урса" [ 8, с . 1 4]. В своем комментарии он говрит: " В школе реша-ю т " закрытые" з адачи ( из п ункта А в п ункт В . ), а ж изнь с тавит перед че-л овеком о ткрытые з адачи", и в з азор м ежду п ервыми и в торыми зачастую п роваливается и нтерес у чеников и , с оответственно, н аши образовательные у силия" [ 8, с . 1 4].
Гин отмечает, что н аиболее б лизким к п онятию от крытая з адача яв-л яется п онятие " творческая з адача". Он п редлагает и спользовать в н астоящее в ремя т ермин о ткрытая з адача. Творческая задача ха-р актеризуется р азмытым ( недостаточным и ли и збыточным) у словием, ко-т орое у чащемуся н еобходимо о смыслить, переработать, д ополнить с амому. О на м ожет и меть м ножество р ешений, в ероятный ( а н е т очный) о твет, ч то я вляется е стественным с ледствием м ноговариантности ф ормулировки ус-л овия и о тсутствием и звестных з аранее с пособов р ешения. С оответственно " закрытыми" с читаются з адачи к огда-то к ем-то п оставленные, с ч етким у словием, к ак п равило, о дним о тветом, д ля к оторых с уществуют готовые алгоритмы р ешения. И менно н а т аких з адачах п родолжает с троиться обу-ч ение в ш коле, ч то никак не способствует развитию у учащихся творческого мышления, способности к исследованиям и развитию.
Анализ и стории в озникновения и р азвития и деи."открытого п одхода" в п реподавании м атематики п оказывает, ч то и сследователи с вязывают е е с п ривлечением ш кольников к творческой деятельности в о бласти матема-т ики ( к деланию м атематики), а в к ачестве с редства реализации "открыто-го п одхода" предлагают и спользовать р азного т ипа з адачи исследователь-с кого х арактера.
Методика составления задач.
Применение «открытых задач» при обучении учащихся 5-6 классов позволяет ни просто давать готовые знания, а сталкивать учеников с проблемами решение которых лежит за пределами изучаемого курса, заставляет включить ни только логическое, но и творческое мышление, готовят их к решению различных жизненных задач, однако они должны быть посильны для уровня развития школьников, чтоб пробуждать интерес, а ни подавлять его.
Общие требования к формулировке « открытых» задач
формулировка задач должна отражать цель исследования, которую нужно достигнуть или проблему, которую нужно преодолеть;
формулировка «открытых» задач может предполагать развитие в разных направлениях проведенные рассуждения, приводя к обобщению;
формулировка может содержать требование что-то обосновать, доказать, объяснить, исследовать;
формулировка «открытых» задач позволяет замечать некоторые закономерности, сталкивать с проблемой, выдвигать и проверять гипотезы;
формулировка «открытой» задачи создает возможность пользоваться разными математическими методами;
формулировка «открытых» задач вынуждает вести нестандартные, в отношении к находящимся в школьных учебниках, рассуждения;
она побуждает проводить работу по уточнению данных и т.д.[2]
Система подсказок и указаний в структуре задач, реализующих открытый подход в обучении математике
Если наша работа продвигается успешно, то у нас есть чем заниматься, приходится рассматривать новые моменты, наше внимание занято, и наш интерес к работе поддерживается. Но если не удается достичь успеха, то наше внимание колеблется, интерес падает, мы устаем от задачи, наши мысли начинают отвлекаться, и есть опасность, что мы совсем упустим задачу. В таких ситуациях учитель должен сделать указание или подсказку, которые будут направлять учащихся в правильном направлении при решении задачи. Их можно рассматривать как указания на правильный ответ и возможный способ его достижения. Они позволяют учителю контролировать процесс открытия какого-либо факта и корректировать его при необходимости, т.е. делать процесс обучения для учителя более контролируемым.
Заложенная таким способом в задачи помощь аналогична той, которую каждый учитель делает и при обучении стандартным задачам. Они призваны обеспечить наибольшую самостоятельность учащегося.
Формулирование требования самый важный этап составления задачи, моделирующий математическое открытие. При формулировке вопроса следует исходить из уже имеющихся данных об объекте исследования и его свойств. Составление самой задачи начинается с формулировки вопроса, потом под него «выстраивают» исходные данные. Целью учебного исследования является развитие мыслительной деятельности учащихся, способность открыть новый факт.
Человек должен уметь менять свой подход при решении задач, он должен уметь учиться на своих ошибках и недостатках, разумно видоизменяя (интерпретируя) свою задачу [7, с. 53-54]. Успех в решении задачи зависит от правильного выбора пути исследования задачи.
Приведем образцы переформулировки «закрытых» задач в «открытые» по учебнику математики для 5 классов авторов Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, К.А.Краснянская, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева, Л.О.Рослова и по учебнику математики для 6 классов авторов Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.
№ 398 Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две машины со скоростями 60 км/ч и 80км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2часа?
Две машины выехали из одного пункта со скоростями 60 км/ч и 80км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа? Какие варианты возможны?
№ 400 Две автомашины движутся на встречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 40 км/ч. Расстояние между ними 500км. Какое расстояние будет между ними через 3часа?
Движутся две машины со скоростями 60 км/ч и 40 км/ч. Расстояние между ними 500км. Какие вопросы можно сформулировать к этим данным?
№ 417 Собственная скорость теплохода равна 27 км/ч, а скорость течения реки 3км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между 2 пристанями, расстояние между которыми равно 120 км, если он будут плыть по течению?
Собственная скорость теплохода равна 27 км/ч, а скорость течения реки 3км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь между 2 пристанями, расстояние между которыми равно 120 км? Сколько решений имеет задача?
№ 486 Для варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара требуется взять для 2кг 600г ягод?
Для варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Какого продукта взято в избытке, если у нас есть 3кг. 600г сахара и 2кг 300г. вишни?
№ 521. Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.
Подумайте, можно ли подобрать два таких числа, что их сумма равна 96,разность 18? Если да, то объясните каким образом.
№ 524. Периметр участка треугольной формы равен 54 м. Одна его сторона равна 20м, другая на 5 м больше первой. Найди длину его третьей стороны.
Периметр участка треугольной формы равен 54м. Одна его сторона равна 20 м, другая на 5 м больше первой. Подумайте, какие вопросы можно поставить к данному условию.
№ для самопроверки 1, с.125. Дано выражение 42+61+28+39+31+19 вычислите, выбирая удобный порядок действий.
Дано выражение 42+61+28+39+31+19 какими способами можно скомбинировать числа, для удобного вычисления? Приведите все возможные комбинации.
№ 561. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 3 часа?
Подберите такое время, чтоб угол между часовой и минутной стрелкой был прямым. Сколько существует вариантов.
№ 642. Какие из чисел 132, 815, 26000, 551, 1000 делятся на 5?
Подберите такие трехзначные числа, которые бы делились на 5, но не делились на 2.
№ 51. Я задумал число. Если его увеличить на 9.2 и результат увеличить в 11 раз, то получится число 110. Какое число я задумал?
Какие два действия можно провести над числом 8, чтоб получить 117? Рассмотрите несколько возможных вариантов.
№ 344. Один мотор расходует полный бак бензина за 18ч., а другой за 12ч. Какую часть полного бака израсходуют оба мотора, если первый будет работать 5 ч., а второй 7ч.?
Один мотор расходует полный бак бензина за 18ч., а другой за 12ч. Какие вопросы можно поставить к этим данным?
№ 349 Фабрика сшила 4300 пар сапог. Из них 0,4 пар были на натуральном меху. Сколько пар было на натуральном меху?
Фабрика сшила 4300 пар сапог, более половины из них на натуральном меху. Какая часть всех сапог может быть на натуральном меху?
Проведенное исследование дает возможность сформулировать следующие выводы и подвести итоги.
В ходе анализа учебников для 5-6 классов были выявлены открытые задачи, однако их очень мало, что ни позволяет систематически приучать учащихся к работе с ними. Роль включения «открытых» задач в процесс математической подготовки учеников 5-6 классов заключается в повышении качества их математической подготовки, эффективности обучения решению любых задач, приучению к самостоятельному поиску знаний на уроках математики.
Выявлено, что за рубежом «открытые» задачи в обучении математики практикуются уже длительное время, а Российская школа занялась этой проблемой с большим опозданием.
В результате проведенного исследования раскрыта сущность понятия «открытые» задачи. Дана сравнительная характеристика формулировок «открытых» и «закрытых» задач, приведены возможные переформулировки задач для учащихся 5-6 классов.
Список литературы
Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В.Я., Луканкин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика./ Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение. 1980, – с. 383-415.
Нохда Н. Преподавание и оценивание, используя «открытые» задачи в классе/ Н. Нохда. – Университет Цукубы, 1991,. – с.5-8.
Пойя Д. Как решать задачу/ Д. Пойа// Квантор. – Львов: 1991, – 216 с.
Пойя Д. Математическое открытие, решение задач: основные понятия, изучения и преподавания/ Д. Пойа: пер. с англ. В.С.Бермана. 2 изд. – М: Наука, 1976, – 448с.
Сафуанов И.С., Теория и практика преподавания математических дисциплин в педагогических институтах/ И.С. Сафуанов// Монография. – Уфа: Изд-во «Магрифат», 1999, – 106 с.
Галлиуллина Е.Н. Диссертация на тему: Методическая подготовка будущих учителей начальных классов к обучеию младших школьников решению «открытых» задач.
Качалко В.Б. Поисковая деятельность учащихся начальных классов как средство повышения эффективности обучения математике/ В.Б Качалко// Совершенствование содержания и методики начального обучения. – М.: НИИ школ, 1977, – с.78-88.
Преемственность в обучении математике: Пособие для учителей. Сб. статей/ Сост. А.М. Пышкало. – М.: Просвещение, 1978, – 237 с.