ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЧЕГО КОЛЕСА И ЕЕ ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Теоретическая откачная характеристика рабочего колеса тур­бомолекулярного вакуумного насоса определяется, как сказано, максимальной быстротой откачки Smax при отношении давлений, равном единице, и максимальным отношением ттах давлений при быстроте откачки, равной нулю. Характеристика колеса зависит от отношения окружной скорости и скорости теплового движе­ния молекул, геометрии межлопаточного канала (угла а уста­новки лопатки или наклона паза, отношения ширины межлопа­точного канала к его длине), а также от закона взаимодействия молекул газа со стенками межлопаточного канала.

Ра межлопаточного канала

Построение теоретической модели перехода молекул газа через межлопаточные каналы или пазы рабочего колеса должно быть таким, чтобы при ряде допущений, существенно не иска­жающих сущности происходящих при откачивании газа явлений, оказалось возможным получение зависимостей для максимальной результирующей вероятности и максимального отношения давле­ний в форме, удобной для их теоретического анализа с целью определения оптимальной геометрии межлопаточного канала на заданные условия работы [14].

Величины потоков молекул газа, проходящего через рабочее колесо, во многом зависят от закона взаимодействия молекул со стенками межлопаточного канала или паза. Взаимодействие разреженных газов с твердой поверхностью часто удовлетвори­тельно описывается диффузным законом. В некоторых случаях, например при больших углах падения, закон отражения от шеро­ховатой поверхности близок к зеркальному, причем тем больше, чем больше скорость молекул.

Для описания взаимодействия молекул с поверхностью часто используют модель, предложенную Максвеллом, которую строят в предположении, что часть молекул о отражается от поверхности диффузно, а остальные (1 — о) — зеркально.

При построении теоретических моделей принимают, как пра­вило, следующие допущения: режим течения газа в рабочей по­лости молекулярный; распределение молекул по скоростям соот­ветствует закону Максвелла; движение молекул в канале рабо­чего колеса (т. е. в плоскостях, перпендикулярных торцовым по­верхностям колес) двухмерное; температура газа и внутренних поверхностей насоса не меняется в процессе откачивания; взаимо­действие молекул газа со стенками межлопаточного канала или паза при переходе на противоположные стороны рабочего колеса описывается диффузным или зеркальным законами, или тем и дру­гим одновременно.

Основные параметры откачной характеристики насоса при зеркальном законе взаимодействия молекул газа со стенками межлопаточного канала можно получить, рассмотрев теоретиче­ские модели, представленные на рис. 156.

Пусть молекула, относительная тепловая скорость которой С = V/VH меньше относительной скорости движения межлопаточ­ного канала сг = U/VH, попала в окрестность Dx точки D £ (ахх) (рис. 156, а). Молекула перейдет через межлопаточный канал, геометрические размеры которого удовлетворяют соотношению а b cos а, если вектор ее средней относительной скорости будет принадлежать области, ограниченной углом (я — 2ф). В этом случае с»

J cf (с) dc

CLcp — т, • J' f (с) dc О

Угол, при нахождении в плоскости которого вектора ср молеку­ла после столкновения со стенкой канала О^А отражается от нее на сторону /-/, ф = я/2 _ pv>

Где Рт = Arcsin ( —— Sin?) ;

Х — 2A sin2 А у — arcsin. .

V (2A sin a cos а)2 + (х — 2A sin2 а)2

Вероятность того, что молекула, средняя относительная ско­рость которой с1ср, попав на участок ахъ перейдет со стороны I—I на сторону II—II,

Яи = р(0<с<с,)^М Ndx—J2 (Pdxj,

Где P (0 с Cj = | F (C) Dc Хг — значение X, при котором угол ф равен нулю 0

Или изменяется в зависимости от соотношения скоростей (сх и с1Ср) и геометриче­ских параметров канала (а, Ь, а):

^ я а при A Sz ;

А при A<—G-, Я

Аг при А<—, с>Л1>В1;

Вг при а < , А1 ^ Bj

X + B Cos A — A

Если ^ Вг и л; < то молекула, попавшая в окрестность Dx точки D £ (хгхг), со средней относительной скоростью сг ср перейдет со стороны I—I на сторону II—II, если вектор ее ско­рости будет лежать в плоскости угла (л—2ф), где ф — значение угла ф при х < Вг (рис. 156, б):

Ф = - у - — pvl; pvl = arcsin sin Yi) ; Vi = arcsin -

V (A — X)2 — 2b (a — x) cos a + B2 '

Вероятность того, что молекула, средняя относительная ско­рость которой равна сг ср, попавшая на участок хгх2, перейдет со стороны I—I на сторону II—II,

Х2 Хг )

Где х2 — значение х, начиная с которого ф Ф 0:

А2 при Ах < В1ш А2^Вх,

Вг при Ах<Вх, А2> Вх, а ^ ;

Хг при а < —

(А2 — значение х, при котором сх ср= сд Siny1, т. е. при всех х А2 угол = = О, А2 = а — B cos а -(- ^ s'n а V(Ci!C ср)2 — !•

Молекула со скоростью с1ср, попавшая на участок х20 входа в межлопаточный канал OA, перейдет со стороны /—/ на сто­рону II—II, если вектор ее скорости будет лежать в плоскости развернутого угла я; вероятность перехода этой молекулы

Если тепловая скорость молекулы V > и (с > С]), то моле­кула, попавшая в окрестность Dx точки D £ (ах3) (см. рис. 156, а), перейдет со стороны I—I на сторону II—II, если вектор ее отно­сительной скорости с2 ср будет принадлежать плоскости угла

J cf (с) dc

J f (с) dc

Вероятность перехода молекулы со средней относительной скоростью с20р, попавшей на участок ах3,

Где Xs = Вл—значение х, при котором углы у и pv меняют значения, т. е. О В = ОС.

Вероятность перехода молекулы со средней относительной скоростью с2 ср, попавшей на участок х30 входа в межлопаточный канал OA (рис. 156, б),

Кк = Р (сг < с < сю) -L- J (у, + р;,) Dx,

Где р'j = arcsin sin Vj ) .

Таким образом, вероятность перехода молекул газа со сто­роны всасывания I—I на сторону нагнетания II—II

-f р (сг < с < оо) 1

Кг зеР = Кгг + Кц + Ki3 + Ки + ^15 = 1

TOC o "1-3" h z A a Xt

J я dx — J 2ф dx — J 2г|)dx +

0 Xi x2 J

A x „ "j

Аналогично определяется вероятность Кц аер перехода моле­кул со стороны нагнетания II—II на сторону всасывания I—I.

Пусть молекула, обладающая средней относительной ско­ростью сг ср, попала в окрестность Dx точки Юг £ (х4хб) входа в межлопаточный канал 01А1 со стороны II—II (рис. 156, е). Молекула перейдет на сторону I—I тогда, когда вектор ее ско­рости будет лежать в плоскости угла 2tp.

Вероятность того, что молекула, попавшая на участок х4хь Со средней относительной скоростью с10р, перейдет со стороны II—II на сторону I—I,

Где х4 — значение х, при котором для всех угол <р = 0:

А при А4^а; Хц= ■ Ац при а>А4>В1 . хъ при Ац Вг

(Ai — значение х, при котором С1СР = с1 Sin У, т. е. при всех х угол ф = 0, At = 2A Sin A [Sin А — Cos A LA(C1;/C1CJ))2 — 1]; хь — значение х, при котором угол ф меняет свою функциональную зависимость от соотношения скоростей и геометрических параметров межлопаточного канала:

' Вг при A4^s Вг; хъ= Аъ при А4 < Вц „ 0 при А4 <; 0

(Аь — значение х, при котором угол ф = 0, т. е. Clcp= Sin Vi. Аь = А — — B cosa — B sin a V(Cki cj>)2—1 (см. рнс. 156,6)].

Если молекула попадет на участок хьОг входа в межлопаточ­ный канал ОгАг со средней скоростью с10р, то вероятность ее перехода на сторону I—I (см. рис. 156, б)

Молекулы с относительной скоростью с > сх, попавшие в ок­рестность Dx точки Бг £ (ах3) (см. рис. 156, а) входа в межлопа­точный канал 01Л1, перейдут со стороны II—II на сторону /—I, Если векторы их скоростей с2ор будут принадлежать области, ограниченной углом у—а молекулы, попавшие на участок х30, Перейдут на сторону /—/, если векторы их скоростей будут лежать в плоскости угла Vi—Pvi-

В этом случае вероятность перехода со стороны II—II на сторону I—I

Таким образом, вероятность перехода молекул газа через межлопаточный канал со стороны II—II на сторону I—I

Ки зер = Кщ + Ки2 + Kus = р (0 < с < Сх) х

Xt хъ

Если геометрия межлопаточного канала удовлетворяет соот­ношению а < fc/cos а, то зависимость углов ф, у и от соотно­шения скоростей и геометрических параметров межлопаточного канала не изменяется. Однако в этом случае х2 = хи Вх = О,

XS — Xt)

= 0. Следовательно, для межлопаточных каналов, пара­метры которых удовлетворяют соотношению а < ЫCos а, вероят­ности Ki зер и Ки зер соответственно равны:

Ki Зер = р (0<с ^Jta — 2 J ф^ +

+ р (ci <с < оо) JL j (Y _j_ p;) dx-,

KIiЗер = P (0 <C < CX) — j ф Dx +

+ p (Ci < с < оо) J (y - p^,) dx.

Результирующая вероятность перехода молекул газа через рабочее колесо при зеркальном законе взаимодействия их со стенками межлопаточного канала или паза

Ктах зер = Ki зер "

А максимальное отношение давлений

Тщах зер = Ki вер/К и зер-

Рассмотрим возможность перехода молекул на противополож­ные стороны вращающегося рабочего колеса насоса при т = 1 с учетом диффузного закона взаимодействия молекул газа со стенками межлопаточного канала. При этом за направление отра­жения молекул газа будем принимать преимущественное, совпа­дающее с нормалью к поверхности стенок межлопаточного канала рабочего колеса. При такой модели отражения молекул от по­верхности сохраняются средние характеристики отражения и зна­чительно облегчаются аэродинамические расчеты в разреженном газе. Близость суммарных результатов для лучевого и диффузного отражений оправдывает метод усреднения функций отражений молекул газа от поверхности [3].

Определим вероятность перехода молекул со стороны /—/ на сторону II—II при следующей геометрии межлопаточного канала или паза (рис. 157, а): ЫCos а а B cos а.

Пусть молекула попала в окрестность точки С £ Ах0. Как следует из рис. 157, а, молекулы, обладающие тепловой ско­ростью

| Cf (с) Dc Clcp = Tt »

J f(c)dc

Перейдут со стороны I—/ на сторону II—II, если вектор их сред­ней скорости будет лежать в плоскости угла 2ф—2я];. В этом слу­чае вероятность перехода молекул со стороны I—I на сторону II—II

Где Хг = а; х0= а — 6 Cos а -F- 6 Sin а ^(Cj/Cj ср)2 —1 при 6 Cos а > 6Sin а х X LA(Cl/Cl ср)2 _J — значение х, при котором сг ср= Ct Sin У, т. е. угол я]) = 0.

Pi = Arcsin ( Sin i ) ; Py = Arcsin (—sin У ) ;

cicp / cicp J

(B — A cos a) sin a

+ 2Д:(b — a cos a) cos a + (b — A cos a)2' Bsina

У (a — X)2 — 26 (a — X)cosa+ i

Если молекула попала в окрестность Dx точки С £ (х0х4) со скоростью с1ср, то молекула перейдет со стороны I—/ на сто­рону II—II при условии, что вектор ее средней скорости будет лежать в плоскости угла 2ф.

Рис. 157. Теоретическая модель перехода молекул газа через межлопаточные каналы рабочего колеса с учетом диффузного закона взаимодействия

В этом случае вероятность перехода молекул со стороны /—I на сторону II—II

= р (0 < с < сг) — [ф Dx,

Где х4 — значение х, при котором сг ср = сх Sin I,

А при 0 ^ А ^ х0; О при А 0; Х0 при А^хО

[а = (Ь - A sin a) (sin а]/ - 1 - cos а) ] .

Если молекула попадает в окрестность точки С £ OA со ско­ростью с > сх (рис. 157, б), среднее значение отношения которой к наиболее вероятной скорости

То она пройдет со стороны /—/ на сторону II—II при условии, что вектор ее средней скорости будет лежать в плоскости угла

Вероятность перехода молекул со стороны I—I на сторону II—II

P (c1^c<oo) = | f (c) dc; Хг = А-, Хг = А—6 cos a; x3 = 0; P; =

= arcsin f—^i—sin I); pT = arcsin ( —-— sin У J .

Угол y в зависимости от геометрических параметров межлопа­точного канала может быть больше 90°. В этом случае вероятность перехода молекул

Г хг

Рассмотрим вероятность перехода молекул со стороны II—II на сторону /—I. Молекулы, обладающие скоростью с1ср, не пе­рейдут со стороны II—II на сторону I—I, если Сх £