ОПИСАНИЕ В СОБСТВЕННОМ ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ ТВёРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Путём замены независимой переменной описание специального случая движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки упрощается, а его специфика и сложность проявляются в характере зависимости ньютонового и собственного (внутреннего) времён, то есть старой и новой независимых переменных

Текст научной работы на тему «ОПИСАНИЕ В СОБСТВЕННОМ ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ ТВёРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2011, том 54, №9____________________________________

Академик АН Республики Таджикистан З.Д.Усманов

ОПИСАНИЕ В СОБСТВЕННОМ ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Институт математики АН Республики Таджикистан

Ключевые слова: твёрдое тело - неподвижная точка - движение - случай Эйлера - ньютоново время - собственное (внутреннее) время.

Известно, что динамика твёрдого тела с одной неподвижной точкой в случае, когда внешние силы отсутствуют или приводятся к равнодействующей, проходящей через неподвижную точку, в прямоугольной подвижной системе координат с осями, совмещенными с главными осями инерции твёрдого тела, описывается уравнениями Эйлера, см. [1]:

Adp + (C -B)qr = 0, dt

BdL + (A - C)rp = 0, (1)

C— + (B - A) pq = 0, dt

в которых p, q, r — проекции вектора мгновенной угловой скорости и A, B, C — моменты инерции тела относительно его главных осей инерции. Достаточно полное описание движения твёрдого тела в рассматриваемом случае получено на основе интегрирования системы (1) с помощью эллиптических функций [1].

В настоящей работе интерес к уже изученной задаче обусловлен тем, что на её примере иллюстрируются возможности нового метода исследования, основанного на определении и применении понятия собственного (внутреннего) времени процесса.

Переходя к изложению этого метода, прежде всего обратим внимание на независимую переменную t в уравнениях (1), которая по своей сути является ньютоновым временем, широко используемым при моделировании самых разнообразных динамических процессов. И.Ньютон определил его как “абсолютное, истинно математическое”, которое “. само по себе и по самой своей сущности, без

Адрес для корреспонденции: Усманов Зафар Джураевич. 734063, Республика Таджикистан, Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: zafar-usmanov@rambler.ru

всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью” [2]. Очевидно, что ньютоново время претендует на универсальность, на адаптируемость к описанию любого динамического процесса. Для проведения математических исследований, в особенности модельных, оно вполне приемлемо, поскольку позволяет концентрировать внимание на преодоление трудностей, возникающих в связи с решением математических проблем. Иные требования предъявляются в прикладных исследованиях, нацеленных на получение прогнозов и количественных результатов. В них ньютоново время может приобретать практическую ценность лишь тогда, когда оно приспосабливается к изучаемому процессу и, по сути дела, превращается в собственное (внутреннее) время процесса.

Введённое понятие, однако, является довольно расплывчатым и нуждается в конкретизации. Для механических движений, в частности и для интересующего нас случая, А.Пуанкаре сформулировал свою точку зрения: “Время должно быть определено так, чтобы уравнения механики были возможно более просты” [3]. Далее приводится один из возможных вариантов такой реализации, в которой собственное время т движения твёрдого тела, описываемого уравнениями (1), а точнее его дифференциал, определяется соотношением вида

Отметим, прежде всего, некоторые особенности собственного времени, обусловленные определением ёт по этой формуле. В то время как относительно Л , по крайней мере в неявном виде, предполагается, что & > 0, для ё т это не имеет место. Действительно, если хотя бы одна из проекций р, д, г вектора мгновенной угловой скорости при некотором значении т обратится в нуль, то в тот же момент и ёт = 0. Кроме того, в зависимости от знака произведения рдг возможны ситуации как с ёт > 0, так и с ёт < 0. Таким образом, на фоне ньютонового времени X, текущего “равномерно” и “безостановочно”, собственное время процесса т то “останавливается”, то движется вперёд, то возвращается назад.

В новой переменной система (1) записывается следующим образом

А pdp + (С - В) dт = 0,

Bqdq + (А - С) dт = 0,

Cгdг + (В - А) dт = 0

и легко интегрируется:

Ар' + (С - в) т = -Ас,, — д2 + (А - С) т = — С2 , (3)

— г 2 + (В - А) т = — с ,

где Cj , c2 , с3 - произвольные постоянные. Отметим, что из этих уравнений несложными арифме-

тическими процедурами извлекаются следующие соотношения:

A 2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r2 = l2,

первое из которых выражает постоянство кинетической энергии твёрдого тела (lx = const), а второе -постоянство момента количества движения тела относительно неподвижной точки (l2 = const). Таким образом, независимо от того, в каком времени описывается движение тела вокруг неподвижной точки, имеют место упомянутые два первых классических интеграла.

Полагая, что в начальный момент собственного времени т = 0 проекции вектора мгновенной

угловой скорости известны, то есть p = p0, q = q0, r = r0, из соотношений (3) выводим

Из полученных формул следует очевидное утверждение о том, что квадраты проекций вектора мгновенной угловой скорости твёрдого тела являются линейными функциями времени т .

Дальнейшие исследования свойств движения тела и хода собственного времени процесса зависят от взаимоотношений величин A, B , C — моментов инерции тела относительно его главных осей инерции. Будем различать четыре случая:

1. A > B > C, 2. A = B > C, 3. A = B < C, 4. A = B = C.

Другие возможности сводятся к перечисленным путём переобозначения величин A, B, C . Случай 1 (A > B > C). Прежде всего определим допустимые пределы изменения переменной т . Учитывая, что p2, q2, r2 > 0, из первого и третьего уравнений системы (4) вычисляем

а из второго уравнения - верхнюю границу области определения т :

Но тогда при те (г -, т + ) очевидно, что р(т) д(т) г(т) Ф 0. И если рдг > 0, то из (2) следует,

что собственное время г однонаправлено с ньютоновым временем ?. Если же рдг < 0, то из (2)

следует, что время г течёт в сторону, противоположную течению ?. В обоих случаях по достижению значений т = т или т = г + получается рдг = 0 и потому dт = 0 . Дальнейший ход собственного времени следует постулировать. Будем предполагать, что время т по достижению, например, граничного момента т = т

не останавливается, а разворачивается в своем течении в противоположную сторону, устремившись к моменту т = т +, и наоборот.

Случай 2 (А = В > С). Из двух первых уравнений системы (4) находим нижнюю и верхнюю границы области определения т :

а из третьего уравнения (4) получим г2 = г02. Полагая г02 Ф 0 и т е (т т + ), выводим

р(т) д(т) г0 Ф 0 . Последующие заключения вполне аналогичны случаю 1.

Если же г02 = 0, то из первого и второго уравнений системы (1) следует р = р0, д = д0 . Очевидно, что здесь нет никакой необходимости обращаться к понятию собственного времени процесса.

Случай 3 (А = В < С). Различие с предыдущим случаем не столь принципиальное. Оно просматривается в том, что из первого уравнения системы (4) получаем верхнюю границу, а из второго уравнения - нижнюю границу области определения т :

Что касается третьего уравнения системы (4), то из него, как и ранее, следует г2 = г02 .

Случай 4 (А = В = С) не представляет особого интереса, поскольку из (4), впрочем, также

как и из (1), следует р = р0, д = д0, г = г0.

Подытоживая для случаев 1 -3 результаты исследований, мы вправе сделать заключение о том, что рассматриваемое в собственном времени движение твёрдого тела с одной неподвижной точкой является периодическим с периодом, равным

Когда собственное время процесса изменяется на эту величину, проекции р, д, г угловой скорости на подвижные оси принимают прежние значения. В такие моменты мгновенная ось вращения занимает свое первоначальное положение в теле, но, вообще говоря, не в неподвижном пространстве.

Остается уточнить связь между т и t, которая устанавливается на основе формулы (2). Подставляя в правую часть (2) подсчитанные через т выражения p, q и r из интегралов (4), получим

Напомним, что знаки “+” или “-” применяются в случаях, когда собственное время т процесса сонаправлено или же противоположно течению ньютонова времени t.

Поступило 03.010.2011 г.

1. Аппель П. Теоретическая механика. - М.: Госиздат физико-математической литературы, 1960, 488 с.

2. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. - М.: Наука, 1989, 688 с.

3. Пуанкаре А. Ценность науки, часть 1, гл.2. Измерение времени. В книге: О науке - М.: Наука, 1983, 560 с.

ТАФСИРИ ХДРАКАТИ ЧИСМИ САХТ ДАР ВАЦТИ ХУСУСЙ ДАР АТРОФИИ НУЦТАИ СОКИТ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Бо рохд ивази тагйирёбандах,ои новобаста тасвири х,олати махсуси хдракати чисми сахт дар атрофи нуктаи бехаракат содда мешавад. Хусусият ва мураккабии ин холат дар табиати вобастагии вак,тх,ои нютонй ва хусусй (дохилй), яъне тагйирёбандах,ои нав ва кухда зохдр мешавад.

Калима^ои калиди: цисми сахт - нуцтаи беуаракат - уаракат - уолати Эйлер - вацти нютонй -вацти хусусй (дохилй).

INVESTIGATING A SPECIFIC CASE OF THE RIGID BODY MOTION WITH A FIXED POINT BY USING AN INTRINSIC TIME OF THE PROCESS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan By substituting an independent variable the description of a specific case to the rigid body motion round a fixed point is simplified. Complexity and specific character of the case appear in interrelation of the Newton and an eigen (intrinsic) times, i.e. between the old and new variables.

Key words: rigid body - fixed - point - motion - the Euler case - Newton time - eigen (intrinsic) time.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

ОПИСАНИЕ В СОБСТВЕННОМ ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ ТВёРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Усманов З. Д.

Текст научной работы на тему «ОПИСАНИЕ В СОБСТВЕННОМ ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ ТВёРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ»