1. Система координат. Описание движения точки.
1 1. Система координат. Описание движения точки Положение точки М задано в плоскости Оxy координатами х=5, у=5. Определите модуль радиус-вектора этой точки и угол между ним и осью X Вектор а лежит в плоскости Oxy. Найдите проекции этого вектора на оси х и у, если начальные координаты вектора (-4;1), а конечные (7;-2) Даны три взаимно перпендикулярные вектора а, b, с, модули которых равны соответственно 3, 6 и 2. Найдите модуль вектора d = a + b + с Радиус-вектор точки М составляет угол 30 0 с осью Х. Его модуль равен 6. Определить координаты х и у точки М Тело переместилось из точки с координатами х 1 =0, у 1 =2 м в точку с координатами х 2 =4 м, у 2 =-1 м. Сделайте рисунок, изобразите вектор перемещения, найдите его модуль и его проекции на оси координат Материальная точка переместилась из точки А с координатами х 1 =0, у 1 =5 м в точку с координатами х 2 =-3 м, у 2 =1 м. Сделайте рисунок, изобразите вектор перемещения, найдите его модуль и его проекции на оси координат Зависимость координаты материальной точки от времени имеет вид x = 5 2t(м). Определите положение точки в момент времени =4 с, а также перемещение и пройденный путь за первые 4 с Материальная точка движется в плоскости Оху согласно уравнениям x = 4 + 2t(м), y = 6t(м). Найдите уравнение траектории y = f(x) точки Материальная точка движется вдоль оси OX. Закон движения имеет вид имеет x(t) = α + βt (м), где =-1 м, =2 м/с. Найдите координату точки, векторы скорости и ускорения точки в момент времени =5с Материальная точка движется вдоль оси ОХ в соответствии с законом r = (α βt)ı (м), где =3 м, =4 м/с. Найдите перемещение точки за третью секунду движения, а также ее векторы скорости и ускорения в конце второй секунды Шарик движется равномерно и прямолинейно в плоскости XY со скоростью 1 м/с под углом 30 0 к оси х. Написать уравнения зависимости координат х и у от времени и уравнение траектории шарика y = y(x), если начальные координаты х 0 =0, у 0 =40 см.
2 2. Задачи на место и время встречи Движения двух велосипедистов заданы уравнениями: x = 5t, x = t. Найти время и координату места встречи. Построить графики зависимости координаты от времени Даны уравнения движения двух материальных точек: x = 20 t, x = 5 + 2t. Найти время и координату места встречи. Построить графики зависимости координаты от времени и решить задачу графически Точки М и К движутся согласно уравнениям: x = 2 3t, x = 3 + 5t. Встретятся ли эти точки? Если встретятся, то через сколько времени после начала движения? 2.4. По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого 10 м/с, второго 20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени равно 200 м. Найти время и координату места встречи мотоциклистов Точки М и К движутся согласно уравнениям: x = 2 3t, x = 3 + 5t. Встретятся ли эти точки? Если встретятся, то через сколько времени после начала движения? 2.6. Точки 1 и 2 движутся согласно уравнениям x = 2t, y = 5t и x = t + 1, y = t + 4. Встретятся ли эти точки, и если встретятся, то когда? 2.7. Две точки движутся так, что их радиус-векторы равны соответственно r = (2 + 3t)ı + 4t J (м), и r = (2t )ı + (1 t )J (м). Определите расстояние между точками через =1 с после начала движения Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью 1 м/с и ускорением 2 м/с 2, вторая с начальной скоростью 10 м/с и ускорением 1 м/с 2. Когда и где вторая точка догонит первую? 2.9. Два мяча брошены вверх вертикально вверх из одной точки с интервалом времени и скоростью v 0. На какой высоте h они столкнуться? Два автопоезда едут по дороге навстречу друг другу со скоростями 72 км/ч и 54 км/ч. В некоторый момент они оказываются на расстоянии 40 и 30 км соответственно от середины моста. На каком расстоянии от моста состоится их встреча и через сколько времени от замеченного момента?
3 3. Графики движения. v, м/с По графику скорости определите величину пройденного пути и средней путевой скорости t, с v, м/с По графику скорости определите величину пройденного пути и средней путевой скорости t, с v, м/с По графику скорости определите величину пройденного пути и среденй путевой скорости t, с v, м/с t, с По графику скорости определите величину пройденного пути и средней путевой скорости.
4 4. Средняя путевая скорость 4.1. Точка движется вдоль оси ОХ. Координата тела меняется со временем по закону x = 2 10t + 3t + t. Чему равна средняя путевая скорость движения за 10 с? 4.2. Определите среднюю путевую скорость поезда, если половину пути он шел со скоростью 50 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 100 км/ч Определите среднюю путевую скорость поезда, если половину времени он шел со скоростью 50 км/ч, а вторую половину времени со скоростью 100 км/ч Самолет пролетел расстояние из города А в город В со скоростью 800 км/ч, а обратно половину пути со скоростью 900 км/ч, а вторую половину 700 км/ч. Определите среднюю путевую скорость самолета и модуль вектора средней скорости за весь путь Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью 60 км/ч, остальную часть пути автомобиль проходил со скоростью 80 км/ч. Определите среднюю путевую скорость автомобиля Поезд прошел 200 км. В течение первого часа он двигался со скоростью 100 км/ч, затем сделал остановку на 30 мин. Оставшуюся часть пути он проходил со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость его движения? 4.7. Мотоциклист едет по шоссе из одного города в другой. Первые 2 часа он движется со скоростью 60 км/ч, а оставшиеся 160 км со скоростью 80 км/ч. Определите среднюю скорость движения мотоциклиста Два автобуса выехали одновременно из пункта А в пункт В. Первый автобус первую половину пути проехал со скоростью v, а вторую со скоростью v. Второй автобус ехал со скоростью v первую половину своего времени движения, а оставшееся время ехал со скоростью v. Какой из автобусов раньше прибудет в конечный пункт? 4.9. Тело последовательно совершает два одинаковых по величине перемещения со скоростями 10 м/с под углом 30 0 и 30 м/с под углом к направлению оси ОХ. Найдите среднюю путевую скорость тела и вектор средней скорости.
5 5. Относительность движения. Течение реки 5.1. От пристани А к пристани В моторная лодка шла 6 часов, а обратно 3 часа. Скорость лодки относительно воды оставалась все время одной и той же. За какое время проплывает лодка расстояние от В до А с выключенными двигателями? 5.2. От пристани А одновременно отчаливает плот и катер. Катер доплывает до пристани В и, сразу повернув обратно, возвращается в А. Какую часть пути от А до В проплывет за это время плот, если скорость катера относительно воды в 4 раза больше скорости течения? 5.3. Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии 100 км один от другого, курирует катер, который двигаясь по течению, проходит это расстояние за 4 часа, а против течения за 10 ч. Какова скорость течения и скорость катера? 5.4. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 3 часа, а плот за 12 часов. Какое время моторная лодка затратит на обратный путь? 5.5. Самолет летит из пункта А в пункт В и обратно со скоростью 300 км/ч относительно воздуха. Расстояние между пунктами А и В равно 900 км. Сколько времени затратит самолет на весь полет, если вдоль линии полета непрерывно дует ветер со скоростью 60 км/ч? эскалатор 5.6. Человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает на спуск 1 минуту. Если человек будет идти вдвое быстрее, он затратит на 15 с меньше. Сколько времени он будет опускаться, стоя на эскалаторе? 5.7. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек, пробежав весь эскалатор. Во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал 75 ступенек. Сколько бы ступенек он насчитал на неподвижном эскалаторе. Место встречи Расстояние между пунктами А и В равно 250 км. Одновременно из обоих пунктов навстречу друг другу выезжают два автомобиля. Автомобиль, выехавший из пункта А, движется со скоростью 60 км/ч, а выехавший из пункта В со скоро-
6 стью 40 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от пункта А встретятся автомобили? Длина поезда Товарный поезд длины 630 м и экспресс длины 120 м идут по параллельным путям в одном направлении со скоростями 48,6 км/ч и 102,6 км/ч соответственно. В течение какого времени экспресс будет обгонять товарный поезд? Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 36 км/ч и 54 км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 6 с. Какова длина второго поезда? Теплоход, имеющий длину 300 м, движется по прямому курсу в неподвижной воде с некоторой скоростью. Катер, имеющий скорость 90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за 37,5 с. Найдите скорость теплохода. Движение под углами Пловец переправляется через реку имеющую ширину h. Под каким углом к направлению течения он должен плыть, чтобы переправится на противоположный берег за кратчайшее время? Где он при этом окажется и какой путь проплывет, если скорость течения реки равна u, а скорость пловца относительно воды v? Лодочник, переправляясь через реку ширины h из пункта А в пункт В, лежащих на противоположных берегах напротив друг друга, все время направляет лодку под углом к берегу. Найдите скорость лодки относительно воды, если скорость течения реки равна u, а лодку снесло ниже пункта В на расстояние L Вагон шириной 2,4 м, движущийся со скоростью 15 м/с, булл пробит пулей, летевшей перпендикулярно движению вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно 6 см. Какова скорость пули? Корабль идет на запад со скоростью v. Известно, что ветер дует с югозапада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна u 0. Найдите скорость ветра относительно земли По шоссе со скоростью 16 м/с движется автобус, а человек находится на расстоянии 50 м от шоссе и на расстоянии 400 м от автобуса. В каком направлении со скоростью 4 м/с должен идти человек, чтобы выйти на шоссе одновременно с автобусом?
7 6. Движение тела в поле тяготения. Движение вдоль вертикальной оси 6.1 Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти высоту падения тела. 6.2 Тело падает с высоты 100 м. без начальной скорости. За какое время тело проходит первый и последний метры своего пути? Какой путь проходит тело за первую и последнюю секунду своего движения? 6.3 Тело, брошенное вертикально вверх с высоты 2 м, упало на землю через 2 с. Определите на какую максимальную высоту поднималось тело? Сопротивлением воздуха пренебречь. 6.4 Свободно падающее тело за последнюю секунду прошло треть своего пути. Найдите время падения и высоту с которой упало тело. 6.5 С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч, чтобы он подпрыгнул на вдвое большую высоту? Трением и другими потерями механической энергии пренебречь. 6.6 С каким промежутком времени оторвались от карниза две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстоянием между ними было 25 метров? 6.7 Два мяча брошены вертикально вверх из одной точки с интервалом времени с начальной скоростью v 0. На какой высоте h они столкнуться? Сопротивлением воздуха пренебречь. 6.8 Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток времени между двумя моментами, когда тело проходит точку В, находящуюся на высоте h. Найти начальную скорость тела v 0 бросания, и время всего движения t. 6.9 Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением 2 м/с 2. Через 5 с от начала его движения из него выпал предмет. Через какой промежуток времени этот предмет упадет на землю? 6.10 Тело падает свободно с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H>h) вертикально вниз. Оба тела упали на Землю одновременно. Определить начальную скорость второго тела. Проверить правильность решения на числовом примере h=10 м, H=20м Лифт поднимается с ускорением 2 м/с 2. В тот момент, когда его скорость стала равной 2,4 м/с, с потолка начал падать болт. Высота лифта 2,47 м. Вычислить время падения болта и расстояние, которое прошел лифт относительно шахты.
8 Тело брошено горизонтально С крыши дома высотой 20 м бросают горизонтально небольшое тело с начальной скоростью 3 м/с. Определите время его падения и величину вектора перемещения до точки приземления Мячик бросают горизонтально со скоростью 20 м/с. Через сколько времени она удвоится? Как она будет направлена в это время к горизонту? Чему будет равна величина полного ускорения в этот момент? 6.14 С невысокого холма горизонтально бросают тело. Определите его начальную скорость, если известно, что через 0,5 с она увеличилась в 1,5 раза по сравнению с начальной Из вертолета, летящего со скоростью v 0 горизонтально на высоте h падает груз. Определите модуль скорости груза в момент его падения на землю. Трением о воздух пренебречь Из самолета, летящего горизонтально со скоростью v 0 на высоте H, брошен груз. На какой высоте h скорость груза будет направлена под углом к горизонту? 6.17 Камень брошен горизонтально с вершины горы, имеющий уклон. С какой начальной скоростью должен быть брошен камень, чтобы он упал на расстоянии L от вершины? 6.18 Тело брошено горизонтально. Через 5 с после броска угол между направлением полной скорости и полного ускорения стал равен Определите полную скорость в этот момент Камень брошен горизонтально со скоростью 5 м/с. Найдите нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь С самолета, летящего со скоростью 720 км/ч, отделяется тело. Найдите радиус кривизны траектории движения тела в точке, которой оно достигает через 5 с после начала движения Пуля пробивает последовательно два вертикальных листа бумаги, расположенных на расстоянии 30 м друг от друга. При этом пробоина во втором листе находится на 2 мм ниже, чем в первом. С какой скоростью пуля подлетела к первому листу, если она подлетела к нему горизонтально? 6.22 Самолет летит на постоянной высоте H по прямой со скоростью v. Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом к вертикали он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы? Какое расстояние до цели в это момент от самолета?
9 Движение под углом к горизонту 6.22 С высоты 3 м под углом 60 0 к горизонту бросили мяч с начальной скоростью 8,7 м/с. Какое расстояние он пролетит прежде, чем упадет на землю? Чему будет равно это расстояние, если камень брошен вниз под этим же углом к горизонту? Из дула орудия под углом 30 0 к горизонту вылетает снаряд со скоростью 600 м/с. Через какое время и на каком расстоянии по горизонтали от места вылета будет находится снаряд на высоте 400м? Какова скорость снаряда в высшей точке своей траектории? 6.24 Снаряд вылетает из орудия под углом 45 0 к горизонту с начальной скоростью 500 м/с. Для момента времени, равного 20 с после начала движения, найти: а) модуль скорости снаряда б) угол, который составляет вектор скорости с осью Х в) модули нормального и тангенциального ускорения снаряда г) радиус кривизны траектории в этот момент времени 6.25 Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении со скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты брошено тело? 6.26 Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 9,8 м/с. Чему равна дальность и высота полета камня, если его максимальная скорость во время движения вдвое больше минимальной скорости? 7. Всякие задачи на равноускоренное движение. 7.1 Тело, имея некоторую начальную скорость, движется равноускоренно. За время тело t прошло путь s, причем его скорость увеличилась в n раз. Найти ускорение тела. 7.2 Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением a 1. Достигнув скорости v, он некоторое время едет равномерно, а затем тормозит с ускорением a 2, до остановки. Найти время t движения автомобиля, если он прошел путь s. 7.3 Поезд прошел путь 60 км за 52 минуты. Сначала он шел с ускорением +a, в конце движения с ускорением a, остальное время с максимальной скоростью 72 км/ч. Найти модель ускорения, если начальная и конечные скорости равны нулю. 7.4 Какая предельная скорость приземления паращютиста допустима, если человек, не имея парашюта может безопасно прыгать с высоты не боле 2 метров? Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстоянии, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?
10 8. Равномерное движение по окружности 8.1 Точка движется по окружности с постоянной скоростью 0,5 м/с. За 2 с вектор скорости изменяет свое направление на Чему равно центростремительное ускорение? 8.2 Линейная скорость точек обода вращающегося колеса равна 3 м/с, а точек, находящихся на 10 см ближе к оси вращения 2 м/с. Найти частоту вращения диска. 8.3 Найти частоту вращения барабана лебедки диаметром 16 см при подъеме груза со скоростью 0,4 м/с. 8.4 Угол поворота колеса радиусом 10 см изменяется по закону = t. Найти угловую и линейную скорости, центростремительное ускорение точке обода колеса, период и частоту его вращения. 8.5 Минутная стрелка часов в три раза длиннее секундной. Каково отношение между линейными скоростями концов этих стрелок? 8.6 Имеются четыре диска радиусами 8см, 32 см, 11 см, 55 см. Второй и третий диски имеют общую ось. Движения от первого диска к четвертому передается с помощью двух ременных передач: от первого ко второму, и от третьего к четвертому. Причем, первый диск делает 1200 об/мин. Найдите частоту вращения четвертого диска. 8.7 Циркулярная пила имеет диаметр 600 мм. На ось пилы насажен диск диаметром 300 мм, который приводится во вращение посредством ременной передачи от шкива радиусом 120 мм, насаженного на вал электродвигателя. Какова скорость зубьев пилы, если вал электродвигателя совершает 1200 об/мин? 8.8 Диаметр колеса велосипеда «Пенза» равен 70см, ведущая зубчатка имеет 48 зубьев, а ведомая 18 зубьев. С какой скоростью движется велосипедист по дороге, если частота вращения педалей 1 об/с? 8.9 С какой скоростью движется велосипедист на складном велосипеде «Кама» при частоте вращения педалей 1 об/с, если диаметр колеса велосипеда равен 50 см, ведущая зубчатка имеет 48 зубцов, ведомая 15 зубцов? 8.10 Каково центростремительное ускорение поезда, движущегося по закруглению радиусом 800 м со скоростью 20 м/с? 8.11 Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равна 2 км/ч. Найдите период обращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек на экваторе.
11 9. Равноускоренное движение по окружности 9.1 Материальная точка движется по окружности радиуса 20 см равноускоренно с касательным ускорением 5 см/с 2. Через какое время после начала движения центростремительное ускорение будет больше касательного в 2 раза? 9.2 Материальная точка, начала двигаться равноускоренно по окружности радиуса 1 м, и прошла за 10 с путь 50 м. С каким центростремительным ускорением двигалась точка спустя 5 с после начала движения? 9.3 При равноускоренном движении тела по окружности полное ускорение и линейная скорость образуют угол Найдите отношение центростремительного и касательного ускорений. 9.4 Маховое колесо, вращающееся с частотой 240 об/мин, останавливается в течение 0,5 мин. Найдите число оборотов, сделанных колесом до полной остановки. 9.5 Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит равноускоренно расстояние 600 м за 30с. Радиус закругления 1 км. Найдите скорость и полное ускорение поезда в конце этого участка Материальная точка движется по окружности радиусом 5 м. Когда нормальное ускорение становится равным 3,2 м/с 2, угол между векторами полного и нормального ускорения равен Найдите модуль скорости и тангенциального ускорения точки для этого момента времени. 9.7 Небольшое тело начинает движение по окружности радиусом 30 м с постоянным по модулю тангенциальным ускорением 5 м/ 2. Найти полное ускорение тела через 3 с после начала движения. 9.8 Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 об после начала вращения колеса. Найти угловое ускорение колеса. 9.9 Вал вращается с частотой 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с 2. Через какое время вал остановится? Найти число оборотов до полной остановки Точка движется по окружности радиуса 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с 2. Через какое время после начала движения нормальное ускорение точки будет а) равно тангенциальному б) вдвое больше тангенциального?