Геометрически нелинейная задача о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем Текст научной статьи по специальности «Физика»
Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Бадриев Ильдар Бурханович, Макаров Максим Викторович, Паймушин Виталий Николаевич
Рассмотрена задача об определении напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем в одномерной геометрически нелинейной постановке. Предполагаем, что в правом торцевом сечении края несущих слоев жестко защемлены и отсутствует адгезионное соединение заполнителя с опорным элементом, на левом торцевом сечении края несущих слоев пластины шарнирно оперты на абсолютно жесткие в поперечном направлении диафрагмы, склеенной с торцевым сечением заполнителя, к срединной поверхности первого несущего слоя с левого торца приложена нагрузка. Исходя из обобщенного принципа Лагранжа, обобщенная постановка сформулирована в виде операторного уравнения в пространстве Соболева. Установлены свойства оператора псевдомонотонность и коэрцитивность. Это дало возможность доказать теорему существования решения. Предложен двухслойный итерационный метод решения задачи. На основе дополнительных свойств оператора квазипотенциальности и ограниченной липшиц-непрерывности исследована сходимость метода. Установлены пределы изменения итерационного параметра, обеспечивающие сходимость. Разработан комплекс программ, с помощью которого для модельной задачи о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины проведены численные эксперименты . Проведено табулирование как по продольной, так и по поперечной нагрузкам. Полученные результаты показывают, что в плане весового совершенства при рассмотренном виде нагружения наиболее рациональной и равнонапряженной является трехслойная пластина несимметричного строения с неодинаковыми толщинами несущих слоев.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бадриев Ильдар Бурханович, Макаров Максим Викторович, Паймушин Виталий Николаевич
The problem of determining the stress-strain state a sandwich plate with a transversally soft core in one-dimensional geometrically nonlinear formulation has been considered. It has been assumed that in the right end section the edges of the carrier layers are rigidly clamped and there is no adhesive bond between the core and the support element, and in the left end section the edges of the carrier layers of the plate are hinged on an absolutely stiff in the transverse direction diaphragm glued to the end section of the core, the load is applied in the middle surface of the first carrier layer from the left side. On the basis of the generalized Lagrange principle, a general formulation has been created in the form of an operator equation in the Sobolev space. The properties of the operator have been established, i.e., its pseudo-monotonicity and coercivity.Thus, a theorem on the existence of a solution has been established. A two-layer iterative method has been suggested for solving the problem. Considering additional properties of the operator, i.e., its quasipotentiality and bounded Lipschitz continuity, convergence of the method has been investigated. The variation limits of the iteration parameter ensuring the method convergence have been established. A software package has been developed, with the help of which subsequent numerical experiments for the model problem of longitudinal-transverse bending of a sandwich plate have been carried out. Tabulation of both longitudinal and transverse loads has been carried out. The obtained results show that, in terms of weight perfection, the sandwich plate of an asymmetric structure with unequal thicknesses of the carrier layers is the most rational and equally stressed one under the considered loading.
Текст научной работы на тему «Геометрически нелинейная задача о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем»
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2016, Т. 158, кн. 4 С. 453-468
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ С ТРАНСВЕРСАЛЬНО-МЯГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ
И.Б. Бадриев1, М.В. Макаров1,2, В.Н. Паймушин1,2
1 Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия 2Казанский национальный исследовательским техническим университет им. А.Н. Туполева, г. Казань, 420111, Россия
Рассмотрена задача об определении напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем в одномерной геометрически нелинейной постановке. Предполагаем, что в правом торцевом сечении края несущих слоев жестко защемлены и отсутствует адгезионное соединение заполнителя с опорным элементом, на левом торцевом сечении края несущих слоев пластины шарнирно оперты на абсолютно жесткие в поперечном направлении диафрагмы, склеенной с торцевым сечением заполнителя, к срединной поверхности первого несущего слоя с левого торца приложена нагрузка. Исходя из обобщенного принципа Лагранжа, обобщенная постановка сформулирована в виде операторного уравнения в пространстве Соболева. Установлены свойства оператора - псевдомонотонность и коэрцитивность. Это дало возможность доказать теорему существования решения. Предложен двухслойный итерационный метод решения задачи. На основе дополнительных свойств оператора - квазипотенциальности и ограниченной липшиц-непрерывности - исследована сходимость метода. Установлены пределы изменения итерационного параметра, обеспечивающие сходимость. Разработан комплекс программ, с помощью которого для модельной задачи о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины проведены численные эксперименты. Проведено табулирование как по продольной, так и по поперечной нагрузкам. Полученные результаты показывают, что в плане весового совершенства при рассмотренном виде нагружения наиболее рациональной и равнонапряженной является трехслойная пластина несимметричного строения с неодинаковыми толщинами несущих слоев.
Ключевые слова: трехслойная пластина, трансверсально-мягкий заполнитель, обобщенная постановка, теорема разрешимости, итерационный метод, теорема сходимости, численный эксперимент
Разработка, внедрение и постоянное расширение сферы использования композитных материалов стимулируют развитие исследований по методам расчета конструкций из них. В последние десятилетия происходит рост производства искусственных композитов на основе высокопрочных волокон и различных полимерных матриц. Согласно прогнозам такая тенденция сохранится и далее. Интерес к композитным материалам вызван высоким уровнем их конструктивных свойств: прочности, жесткости и т. п. Для того чтобы облегчить конструкцию, не уменьшив при этом ее несущую способность, используются тонкостенные элементы в виде оболочек. Такие оболочки широко распространены в инженерных сооружениях,
Рис. 1. Трехслойная пластина с трансверсально-мягким заполнителем: 1 - подкрепляющая несущие слои диафрагма; 2 - жесткий опорный элемент; 3 - заполнитель; 4 - внешние несущие слои
машиностроении [1—3], судостроении [4, 5], авиационной промышленности и ракетной технике [6-8].
В настоящей работе изучается в одномерной постановке геометрически нелинейная задача о продольно-поперечном изгибе трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем. Для описания напряженно-деформированного состояния в несущих слоях используются уравнения нелинейной модели Кирхгофа-Лява, в заполнителе - уравнения теории упругости, упрощенные в рамках принятой модели трансверсально-мягкого слоя и проинтегрированных по толщине с удовлетворением условий сопряжения слоев по перемещениям в поперечном направлении. Схема нагружения и закрепления пластины представлена на рис. 1.
Обобщенная постановка сформулирована в виде операторного уравнения в пространстве Соболева, которое возникает при вычислении стационарных точек обобщенного функционала Лагранжа, построенного в [9, 10] для описания напряженнодеформированного состояния трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем. Исследована корректность обобщенной постановки на основе установленных свойств псевдомонотонности [11, 12] и коэрцитивности [12, 13] оператора. Для решения задачи используется предложенный в [14] двухслойный итерационный процесс. Исследована сходимость метода. Для модельной задачи проведены численные эксперименты и осуществлен анализ их результатов.
Случай жесткого закрепления трехслойной пластины с трансверсально-мягким заполнителем рассмотрен в работах [15-18], в которых изучались как вопросы корректности задач, так и численного моделирования. Геометрически линейные, но физически нелинейные задачи при ограничении, соответствующем идеальной упруго-пластической модели для заполнителя, изучены в [19-22].
Отметим, что в [24-27] исследованы обобщенные постановки задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии ограничений, а также методы их численного решения.
1. Постановка задачи
Пусть a - ширина пластины, 2t, 2t, - толщины заполнителя и к-го слоя соответственно (здесь и далее предполагаем, что к = 1, 2), X,, Х^,) - компоненты поверхностной нагрузки, приведенной к срединной поверхности к-го слоя, М, -поверхностные моменты внешних сил, приведенные к срединной поверхности к -го слоя, w(k) и u(k) - прогибы и осевые перемещения точек срединной поверхности к-го слоя соответственно, TЦ, М, - мембранные усилия и внутренние изгибающие моменты в к-м слое соответственно, H, = h + h,, q1 - контактные реактивные усилия взаимодействия (касательные напряжения) в заполнителе, постоянные по его толщине.
Предполагаем, что в правом торцевом сечении края несущих слоев жестко защемлены и отсутствует адгезионное соединение заполнителя с опорным элементом, на левом торцевом сечении края несущих слоев пластины шарнирно оперты на абсолютно жесткие в поперечном направлении диафрагмы, склеенные с торцевым сечением заполнителя, к срединной поверхности первого несущего слоя сЁлевого торца приложена нагрузка P, так что для уравнений уточненной теории трехслойных пластин и оболочек, предложенных в [9, 10], выполнены граничные условия
Т(о) = P, wk(0) = d2wk(0)/dx2 =0, к = 1, 2, dq1(0)/dx = 0,
wk (a) = dwk(a)/dx = 0, uk (a) = 0, к = 1, 2, q1(a)=0.
Рассматривается геометрически нелинейная постановка, то есть предполагаем,