Аэроупругая устойчивость круговых цилиндрических оболочек, содержащих текущую жидкость Текст научной статьи по специальности «Физика»
Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Бочкарёв Сергей Аркадьевич, Лекомцев Сергей Владимирович
Работа посвящена анализу панельного флаттера круговых цилиндрических оболочек, содержащих идеальную сжимаемую жидкость и обтекаемых сверхзвуковым потоком газа . Аэродинамическое давление вычисляется согласно квазистатической аэродинамической теории. Поведение жидкости описывается в рамках потенциальной теории. Соответствующее волновое уравнение совместно с условием непроницаемости и граничными условиями преобразуются к системе уравнений с использованием метода Бубнова-Галёркина. В качестве математической формулировки задачи динамики упругой конструкции используется классическая теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, и принцип возможных перемещений. В результате решение задачи, осуществляемое с помощью полуаналитического варианта метода конечных элементов , сводится к вычислению комплексных собственных значений связанной системы уравнений. Для этого используется итерационный алгоритм на основе метода Мюллера. Достоверность полученного численного решения задач аэроупругой и гидроупругой устойчивости оценена путём сравнения с известными теоретическими данными. Для оболочек с разными вариантами граничных условий и линейных размеров представлены результаты численных экспериментов по оценке влияния скорости внутреннего потока жидкости на величину статического давления в невозмущенном потоке газа, выступающего в качестве варьируемого параметра. Установлено, что с возрастанием скорости течения жидкости происходит видоизменение флаттерной потери устойчивости . Продемонстрировано, что с увеличением линейных размеров оболочки стабилизирующее воздействие внутреннего потока жидкости, приводящее к повышению границ аэроупругой устойчивости , сменяется на дестабилизирующее. Конкретные значения геометрических размеров, определяющих изменение в характере динамического поведения, зависят от заданной комбинации граничных условий.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бочкарёв Сергей Аркадьевич, Лекомцев Сергей Владимирович
An aeroelastic stability of the circular cylindrical shells containing a flowing fluid
The paper is concerned with the analysis of the panel flutter of circular cylindrical shells containing an ideal compressible liquid and subjected to the external supersonic gas flow . The aerodynamic pressure is calculated based on the quasi-static aerodynamic theory. The behavior of the liquid is described in the framework of the potential theory. Using the BubnovGalerkin method, the corresponding wave equation together with the impermeability condition and specified boundary conditions are transformed into the system of equations. The classical shell theory based on the Kirchhoff-Love hypotheses and the principle of virtual displacements are used as the mathematical framework for the elastic structure dynamic problem. A solution to the problem is searched for by a semi-analytical version of the finite element method and involves the calculation of the complex eigenvalues of the coupled system of equations using the Muller-based iterative algorithm. The reliability of the obtained numerical solution of the aeroelastic and hydroelastic stability problem has been estimated by comparing it with the available theoretical data. For shells with different dimensions and variants of boundary conditions the numerical experiments have been performed to estimate the influence of velocity of the internal liquid flow on the value of static pressure in the unperturbed gas flow, which is taken as a variable parameter. It has been found that a growth of liquid velocity causes a change in the flutter type of stability loss. It has been shown that with increase of linear dimensions of the shell the stabilizing effect of the internal liquid flow extending the boundaries of aeroelastic stability changes to the destabilizing effect. Specific values of geometrical dimensions determining the variation in the character of dynamic behavior of the system depend on the prescribed combination of boundary conditions.
Текст научной работы на тему «Аэроупругая устойчивость круговых цилиндрических оболочек, содержащих текущую жидкость »
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 4. С. 750—767
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1453
Механика деформируемого твёрдого тела
АЭРОУПРУГАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, СОДЕРЖАЩИХ ТЕКУЩУЮ ЖИДКОСТЬ
С. А. Бочкарёв, С. В. Лекомцев
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Россия, 614013, Пермь, ул. Акад. Королёва, 1.
Работа посвящена анализу панельного флаттера круговых цилиндрических оболочек, содержащих идеальную сжимаемую жидкость и обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Аэродинамическое давление вычисляется согласно квазистатической аэродинамической теории. Поведение жидкости описывается в рамках потенциальной теории. Соответствующее волновое уравнение совместно с условием непроницаемости и граничными условиями преобразуются к системе уравнений с использованием метода Бубнова—Галёркина. В качестве математической формулировки задачи динамики упругой конструкции используется классическая теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа—Лява, и принцип возможных перемещений. В результате решение задачи, осуществляемое с помощью полуаналитического варианта метода конечных элементов, сводится к вычислению комплексных собственных значений связанной системы уравнений. Для этого используется итерационный алгоритм на основе метода Мюллера. Достоверность полученного численного решения задач аэроупругой и гидроупругой устойчивости оценена путём сравнения с известными теоретическими данными. Для оболочек с разными вариантами граничных условий и линейных размеров представлены результаты численных экспериментов по оценке влияния скорости внутреннего потока жидкости на величину статического давления в невозмущенном потоке газа, выступающего в качестве варьируемого параметра. Установлено, что с возрастанием скорости течения жидкости происходит видоизменение флаттерной потери устойчивости. Продемонстрировано, что с увеличением линейных размеров
© 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Бочкарёв С. А., Лекомцев С. В. Аэроупругая устойчивость круговых цилиндрических оболочек, содержащих текущую жидкость // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, № 4. С. 750-767. аок 10.14498/vsgtu1453. Сведения об авторах
Сергей Аркадьевич Бочкарёв (к.ф.-м.н.; bochkarev@icmm.ru; автор, ведущий переписку), старший научный сотрудник, отдел комплексных проблем механики деформируемых твёрдых тел.
Сергей Владимирович Лекомцев (к.ф.-м.н.; lekomtsev@icmm.ru), научный сотрудник, отдел комплексных проблем механики деформируемых твёрдых тел.
оболочки стабилизирующее воздействие внутреннего потока жидкости, приводящее к повышению границ аэроупругой устойчивости, сменяется на дестабилизирующее. Конкретные значения геометрических размеров, определяющих изменение в характере динамического поведения, зависят от заданной комбинации граничных условий.
Ключевые слова: аэроупругость, сверхзвуковой поток газа, потенциальное течение сжимаемой жидкости, цилиндрическая оболочка, метод конечных элементов, устойчивость, флаттер.
Введение. Несмотря на то, что исследования панельного флаттера пластин, цилиндрических и конических оболочек вращения имеют уже более чем полувековую историю [1,2], общим аспектом для выполненных в этом направлении работ является то, что упругое тело обтекается сверхзвуковым потоком газа только со стороны одной поверхности — наружной или внутренней. Точно так же на протяжении нескольких последних десятилетий интенсивно изучается взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью. История вопроса с обширной библиографией отражена в монографии [3]. Обзор более современных работ, как правило, численных, приведён в [4]. В контексте настоящей статьи представляет интерес анализ гидроупругой устойчивости коаксиальных оболочек, взаимодействующих с внутренним и кольцевым потоками жидкости. Показано [5-8], что совместное течение обоих потоков для оболочек с разными граничными условиями может носить аддитивный характер, оказывая более сильное дестабилизирующее воздействие на исследуемую систему, а также приводить к повышению границ устойчивости в зависимости от скоростей каждого из потоков.
Относительно недавно появились немногочисленные статьи, в которых при исследовании аэроупругой устойчивости учитывается воздействие жидкости внутри конструкции. Первыми в этой области являются работы [9,10]. Здесь представлен анализ влияния плескания топлива внутри крыла на критические скорости потери устойчивости. Для расчётов использовалась аэродинамическая модель, основанная на методах вычислительной гидродинамики (СРБ). Топливо моделировалось двумя способами: в виде сосредоточенной массы и в рамках потенциальной теории с учётом гидроупругого взаимодействия. В последнем случае авторы утверждают, что принимают во внимание эффект плескания, хотя на свободной поверхности жидкости соответствующее граничное условие не задаётся. Многочисленными вычислениями показано, что упрощение расчётной модели за счёт исключения из неё влияния топлива приводит к ошибочным результатам. В работе [11] разработан гибридный конечно-элементный метод, предназначенный для исследования сверхзвукового флаттера частично заполненных неподвижной жидкостью конических оболочек. Здесь воздействие внутренней среды моделировалось в виде присоединённой массы, а свободная поверхность жидкости была перпендикулярна направлению потока газа. Необходимые коэффициенты в матрице масс были получены аналитически из уравнений потенциальной теории. Установлено, что низкий уровень заполнения оболочки жидкостью приводит к более сильному стабилизирующему эффекту для коротких конструкций. Этими же авторами предложена модель учёта влияния плескания жидкости на аэроупругие характеристики цилиндрических оболочек, частично заполненных жидкостью (свободная поверхность жидкости также перпендикулярна
направлению потока газа) [12]. Аналитическое выражение для потенциала возмущения скорости записано относительно функций Бесселя и функций формы элемента, найденных из точных решений теории оболочек (гибридный подход). Учёт плескания жидкости осуществлен через выражение для потенциальной энергии перемещающегося на свободной поверхности элемента жидкости и соответствующего граничного условия. Показано, что это приводит к снижению критических скоростей флаттера, особенно в случае коротких оболочек с высоким уровнем заполнения. Аэроупругая устойчивость панели с присоединенным слоем жидкости рассмотрена в работе [13]. Здесь к уравнениям потенциальной теории, описывающим несжимаемую жидкость с учётом эффекта плескания, применяется метод граничных элементов, а при численном моделировании упругого тела используется метод конечных элементов. Выполненными расчётами подтверждено, что присутствие слоя жидкости расширяет границу аэроупругой устойчивости. Однако конкретные значения критических скоростей газа существенно зависят от массы внешней жидкости и моделей, используемых для описания эффектов на свободной поверхности (неподвижная граница или поверхность с учётом плескания).
Из представленного обзора следует, что внимание исследователей было в основном сосредоточено на изучении влияния неподвижной жидкости со свободной поверхностью на аэроупругие характеристики тонкостенных конструкций. Анализ панельного флаттера цилиндрических оболочек, имеющих различные комбинации граничных условий и полностью заполненных неподвижной или текущей идеальной жидкостью, в литературе не представлен. Выполнение такого исследования является целью настоящей работы.
1. Постановка задачи. Рассматривается упругая цилиндрическая оболочка (рис. 1) длиной Ь, радиусом Я и толщиной Н. Снаружи оболочка обтекается сверхзвуковым потоком газа, имеющим скорость а внутри неё течёт поток идеальной сжимаемой жидкости со скоростью и. Целью работы является исследование влияния скорости внутреннего потока жидкости на границы аэроупругой устойчивости при различных вариантах граничных условий, задаваемых на краях оболочки, и линейных размерах.
Рис. 1. Цилиндрическая оболочка с жидкостью, обтекаемая потоком сверхзвукового газа [Figure 1. Cylindrical shell containing fluid and subjected to the external supersonic gas flow]
Компоненты вектора деформации е = [е\, е2, е12, к1, к2,2к12>Т в криволинейной системе координат (в, в, г) определяются с помощью классической теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа—Лява, и записываются следующим образом [14]:
ди 1 ( ду \ 1 ди ду
дв, £2 = ПШ + V, £12 = Кдв + д?
д 2— 1 (ду д 2и> \ 1 (ду д2 —
К1 = —, К2 = ттт; - т^г , К12 = — ■--
дв2' 2 К2\дв дв2 Г 12 Е\дв двдв, Здесь и, у и — — меридиональная, окружная и нормальная составляющие вектора перемещений оболочки.
Физические соотношения, устанавливающие связь между вектором усилий и моментов Т и вектором деформаций е, представляются в матричном виде
Ненулевые компоненты матрицы жесткостей Б определяются для изотропного материала через модуль упругости Е, коэффициент Пуассона V и модуль сдвига известным образом [14].
Математическая формулировка задачи основана на принципе возможных перемещений, который в матричной форме имеет вид
[ 5етТйБ + / ёй^роМБ — / 5йт РйБ = 0, (2)
й и Р = (0 0 ра + Р/ ) — векторы обобщённых перемещений и поверхностных нагрузок; ра и pf — аэродинамическое и гидродинамическое давления, действующие на наружную и внутреннюю поверхности оболочки; р8 —удельная плотность материала оболочки; Б5 — поверхность, ограничивающая объём оболочки.
Аэродинамическое давление, действующее со стороны потока газа на упругую поверхность, вычисляется согласно квазистатической аэродинамической теории с помощью приближенной формулы [15,16]
(д— д— \ 'а = Адв + 41Ж - Ч2—), (3)
Здесь М™ = и<х/с<х — число Маха в газе; р™, р™ и с™ — плотность, статическое давление и скорость звука в невозмущённом потоке газа; 9 — модифицированное динамическое давление; к — показатель адиабаты; в =