Методические разработки "Треугольники в курсе 5-6 класс" учебно-методический материал по геометрии (5 класс) по теме
Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.
Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта. Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур.
Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак вместо слова треугольник.
Прямоугольный треугольник занимал почетное место в Вавилонской геометрии. Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза и катеты.
Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».
Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».
В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга.
Какие древние математики изучали треугольник?
Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади. Астрологи рассчитывали расположение небесных светил – все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в египетских папирусах, которым более 4000 лет, в старинных индийских книгах и других древних документах. Уже тогда была известна теорема, получившая впоследствии название теоремы Пифагора, которая применялась для построения прямых углов на местности с помощью веревочного треугольника со сторонами 3, 4, 5 (египетский треугольник).
Великий древнегреческий ученый Пифагор родился на острове Самос в VI веке до н.э. Теорема Пифагора
Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
Через 2000 лет в древней Греции учение о треугольнике достигает высокого уровня. Известны такие древнегреческие ученые, как Архимед, Пифагор, Фалес. Учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, затем в школе Пифагора. Древние греки решили упорядочить накопленные сведения о треугольнике и написали много трудов. Наиболее совершенной оказалась работа Евклида "Начала"(365-300 до н.э.).
"Начала" Евклида состоят из тринадцати книг (отделов, или частей). В 1-ой книге рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора Интересно посмотреть, как строится геометрия Евклида. Там есть первая процедура: построение с помощью циркуля и линейки равностороннего треугольника.
Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.) родился в городе Сиракузы на острове Сицилия. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики
Важнейшей заслугой Фалеса в области математики, перенесение им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии.
- Вертикальные углы равны.
-Углы при основании равнобедренного треугольника равны;
-Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами.
- Диаметр делит круг на две равные части.
Фалес Милетский жил в самом конце 7 - первой половине 6 в. до н. э. Фалес был уроженцем греческого торгового города Милета, расположенного в Малой Азии на берегу Эгейского Моря.
Какие открытия совершили математики, изучая треугольник?
Рене Декарт (1596-1650) В "Геометрии" Декарт заложил основы аналитической геометрии. Геометрия" Декарта оказала огромное влияние на развитие математики, и почти 150 лет алгебра и аналитическая геометрия развивались преимущественно в направлениях, указанных Декартом .
ПОНСЕЛЕ (Poncelet) Жан Виктор (1788-1867) , французский математик и инженер. Заложил основы проективной геометрии. В 1822 году французский математик и механик Жан Виктор Понселе опубликовал «Трактат о проективных свойствах фигур».
Эйлер (Леонгард, Euler) один из величайших математиков XVIII столетия, родился в 1707 г.
Были открыты новые теоремы о свойствах треугольника: Теоремы Эйлера об окружности.
Йоганн МЮЛЛЕР 1436-1476
В Европе аналогичное открытие сделал немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476) в сочинении «О треугольниках всех видов».
Красивая теорема Наполеона.«Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника»
Наполеон I, - Наполеон Бонапарт (NapolйonBonaparte) (15.8.1769, Аяччо, Корсика, — 5.5.1821, о. Св. Елены),
Морли (Morley) Эдвард Уильямс (29.I.1839–1923)
Открытие в геометрии треугольника есть и в нашем веке. В 1904 году американский математик Ф.Морли вывел теорему теоремы о замечательных точках треугольника.
Какие выводы можно сделать?
Треугольник - простейшая плоская фигура: три вершины и три стороны. Но с древнейших времен и до наших дней математики занимаются изучением треугольника. За это время было сделано много важных открытий и даже создана новая наука – тригонометрия…Можно сделать вывод: треугольник важнейшая и неисчерпаемая фигура в геометрии.
Лабораторные и практические работы по теме «Треугольники»
Лабораторная работа, служащая для установления того или иного факта или положения.
5 класс. Тема «Треугольник».
Цель: Установить, что в любом треугольнике сумма длин двух любых его сторон больше третьей, сумма всех углов треугольника равна 180ْ. 1. Начертите какой-нибудь треугольник. Обозначьте его.
2. Измерьте длины всех его сторон.
3. Сравните длину какой-либо стороны его с суммой длин двух других его сторон.
4. Измерьте все его углы и найдите сумму их градусных мер.
5. Сделайте выводы.
Лабораторная работа по теме «Треугольник»
1. Начертите какой-нибудь треугольник. Обозначьте его АВС.
2. Измерьте длины всех его сторон
(В треугольнике АВС сумма длин двух любых его сторон больше третьей)
3. Сравните длину какой-либо стороны его с суммой длин двух других его сторон
4. Измерьте все его углы и найдите сумму их градусных мер
(В треугольнике АВС сумма всех его углов близка к 180º)
5. Начертите тупой угол РLS
6. Попробуйте изобразить треугольник PLS у которого два тупых угла
(Мы не можем построить треугольник, у которого больше одного тупого угла)
7. Начертите прямой угол MNK
8. Изобразите MNK, у которого был бы один прямой и один тупой угол
(Мы не можем построить треугольник, содержащий прямой и тупой угол одновременно)
9. Изобразите треугольник МNК, у которого было бы два прямых угла
(Мы не можем построить треугольник с двумя прямыми углами)
10. Изобразите треугольник, в котором против угла 90º лежала бы сторона, равная 6 см., а один острый угол был бы равен 60º
11. Измерьте сторону, лежащую против угла 30º
(Длина стороны, лежащей против угла 30º, равна половине длине стороны, лежащей против угла 90º)
Лабораторная работа «Треугольник»
Цель: научить учащихся изображать и различать на чертеже прямоугольный, остроугольный, тупоугольный треугольники; сформировать понятия «равнобедренный треугольник» и «равносторонний треугольник», сформулировать их свойства. Вывести неравенство треугольника и научить его использовать.
1. Постройте ΔАВС, в котором угол А равен 90°; ΔMNK c углом М, равным 100°; ΔPQT, у которого все углы острые. Измерьте каждый угол в треугольниках и найдите сумму углов для каждого треугольника: - сумма углов треугольника равна 180°; - если один из углов тупой – треугольник тупоугольный; - если один из углов прямой – треугольник прямоугольный; - если все углы острые – треугольник остроугольный.
2. Постройте треугольник, у которого две стороны равны. Ввести понятие «равнобедренный треугольник». Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, равнобедренный остроугольный треугольник, равнобедренный тупоугольный треугольник. Сделайте вывод об углах при основании.
3. Постройте треугольник, у которого все три угла равны (почему по 60°?). Сделать вывод о равенстве сторон треугольника, ввести понятие «равносторонний треугольник».
4. Постройте ΔАВС, измерьте его стороны. Сравните длину одной его стороны с суммой длин двух других. Сделайте вывод, обоснуйте его. Рассмотрите случай а=b+c. 5. Попробуйте построить треугольник, у которого два тупых угла. Сделайте вывод, обоснуйте его.
5. Попробуйте построить треугольник, у которого два прямых угла. Сделайте вывод, обоснуйте его.
6. Попробуйте построить прямоугольный треугольник из веревки, на которой завязаны 13 узелков на одинаковом расстоянии друг от друга.
Лабораторная работа, подводящая ученика к установлению определенной зависимости между величинами математического факта, требующего строгого доказательства .
6 класс. Тема «Свойства треугольников».
Цель: Опытным путем установить зависимость между сторонами и углами треугольника.
1. Постройте треугольник со сторонами 4, 5, 6 см.
2. Измерьте все углы треугольника.
3. Сделайте вывод, как связаны между собой углы и стороны треугольника.
Лабораторная работа, которая содержит элементы исследовательского характера.
6 класс. Тема «Свойства высоты, биссектрисы, медианы в равнобедренном треугольнике».
Цель: установление свойств равнобедренного треугольника.
I. Постройте равнобедренный треугольник ABC (AB=BC).
1. Проведите высоту из вершины B к стороне AC.
2. Проведите медиану из вершины B к стороне AC.
3. Проведите биссектрису ÐB.
II. Постройте равнобедренный треугольник НМК (НМ=МК).
1. Проведите высоту из вершины М к стороне НК.
2. Проведите медиану из вершины М к стороне НК.
3. Проведите биссектрису ÐМ.
Математическое исследование «Осевая симметрия»
Темы: осевая симметрия, равнобедренный треугольник , перпендикулярные прямые.
Постройте отрезок АВ на листе бумаги. Перегните лист бумаги так, чтобы точки А и В совпали.
Как расположена линия пересечения m относительно отрезка АВ? Измерьте полученный угол.
Проведите прямую m и разверните лист. Возьмите точки С и D на прямой m.
Соедините их с концами отрезка. Что можно сказать о полученных треугольниках? Ответ объясните.
Измерьте их стороны. Что можно сказать о точке пересечения прямой m и отрезка АВ – точке О?
Рассмотрите треугольники АОС и ВОС. Что можно о них сказать? Назовите все равные элементы у треугольников АОС и ВОС. Рассмотрите треугольники АОD и ВОD. Что можно о них сказать?
Назовите все равные элементы у треугольников АОD и ВОD.
1. Ученикам раздается комплект разноцветных треугольников, выполненных из цветного картона: остроугольные, тупоугольные, прямоугольные, равнобедренные, равносторонние.
а) остроугольные треугольники;
б) тупоугольные треугольники;
в) прямоугольные треугольники;
г) равнобедренные треугольники;
д) равносторонние треугольники;
е) у равнобедренного треугольника покажите боковые стороны, основание.
2. Раздаются произвольные вырезанные треугольники на каждую парту. На треугольниках углы обозначены: 1, 2, 3. Учащимся предлагается отрезать эти углы, затем проложить сторона к стороне. Сделайте выводы о сумме углов треугольника.
3. Определите вид треугольника, если дано:
а) угол А равен 132 0 , угол В равен 15 0 , сторона ВС=4 см;
б) угол К равен 90 0 , сторона АК=18 см, КВ=18 см;
в) угол М равен 30 0 , угол N равен 60 0 , угол B равен 85 0 ;
г) угол S равен 20 0 , угол O равен 55 0 , угол P равен 95 0 .
4. Возьмите 5 спичек и постройте из них какой-нибудь треугольник. Сравните длины сторон этого треугольника.
5. Отметьте какие-нибудь точки А, В, D, так чтобы они не лежали на одной прямой и соедините их попарно. Назовите треугольник, который построили. Перечислите его вершины и стороны. Сравните на глаз стороны
треугольника. Проверьте свой глазомер с помощью циркуля и линейки.
6. Периметр треугольника 20 см, одна сторона 7 см, другая 9 см. Найдите третью сторону.
7. Как из проволоки длиной 20 см сделать два треугольника, у которых каждая сторона равна 4 см?
8. Периметр равнобедренного треугольника 25 см. Боковая сторона 10 см. Найдите длину основания.
9. Периметр равнобедренного треугольника 30 см. Одна из его сторон 12 см. Какой длины может быть его боковая сторона?
10. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна а, а основание b. Чему равен периметр треугольника? Вычислите периметр треугольника, если а=10 см, b=2 см.
11. В равностороннем треугольнике сторона на 16 см меньше периметра. Найдите сторону треугольника и его периметр.
Задачи на разрезание треугольника
Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома Х века, жившего в Багдаде. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них той или иной новой фигуры лишь в начале ХХ века. Одним из основоположников этого увлекательного раздела геометрии был знаменитый составитель головоломок Генри Э. Дьюдени.
В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. Поскольку здесь не требуется глубокое знание геометрии, то любители иногда могут даже превзойти профессионалов-математиков. Вместе с тем, задачи на разрезание не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач.
Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.
1. Можно ли провести разрез произвольного треугольника так, чтобы получить два треугольника?
2. Можно ли провести разрез треугольника так, чтобы получить три треугольника?
3. Можно ли провести два разреза треугольника, чтобы получить три треугольника?
4. Можно ли проведением двух разрезов треугольника получить четыре треугольника?
5. Можно ли провести два разреза треугольника так, чтобы получить пять треугольников?
6. Как нужно провести два разреза треугольника, чтобы получить шесть треугольников?
7. Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на семь треугольников?
8. Можно ли двумя разрезами разбить треугольник на восемь треугольников?
9. Какое количество треугольников можно получить при проведении трех разрезов данного треугольника
10. Сколько треугольников изображено на рисунке? Назовите их.
11. Сколько углов вы видите на рисунке? Назовите их.
12. Сосчитайте сколько треугольников изображено на рисунке?
Оценка выполнения задания
1) Если учащийся увидел большой треугольник, состоящий из двух маленьких, т.е. всего три треугольника, то он получает 1 балл
2) Если учащийся не видит какой-либо из трех треугольников, то он получает 0 баллов
Схема рассуждений и ход решения
1. Сосчитаем все маленькие треугольники, их всего шесть
2. Сосчитаем треугольники, состоящие из двух маленьких, их всего три
3. Сосчитаем треугольники, состоящие из трех маленьких, их всего шесть
4. Треугольник, состоящий из шести маленьких треугольников – 2
Всего получилось 16 треугольников
Оценка выполнения задания
1) Учащиеся сосчитали (увидели) все взаимопроникающие треугольники, подсчет вели с помощью алгоритма – 2 балла.
2) Задача решалась без применения алгоритма (какие треугольники учащийся увидел, такие и сосчитал, но нашел больше семи треугольников – 1 балл).
3) Учащийся при решении насчитал меньше семи треугольников, т.е. не увидел взаимопроникающих треугольников, - оценка 0 баллов.
На данном рисунке изображен большой треугольник, состоящий из трех маленьких, всего четыре треугольника. Такое решение оценивается в 1 балл.
Схема рассуждений и ход решения
1) Сосчитаем треугольники в «нижней» части рисунка, их всего шесть, причем все они состоят только из треугольников.
2) Добавляем «верхнюю» часть, получаем треугольники, состоящие из треугольников и четырехугольника.
Всего получилось: (3+2+1)+(3+2+1)=12 треугольников.
Оценка выполнения задания
1) Учащийся подсчитал все треугольники с помощью алгоритма (выбор алгоритма значения не имеет) – оценка 3 балла.
2) Учащийся применил для решения алгоритм, не позволяющий выделить все имеющиеся на рисунке треугольники – оценка 2 балла.
3) Учащиеся, не увидевшие взаимопроникающих треугольников, получают 1 балл.
4) Учащиеся, увидевшие на рисунке меньше семи треугольников, получают 0 баллов.
13. Начертите треугольник. Пересеките его двумя прямыми так, чтобы на рисунке оказалось:
а) Пять треугольников
Надо получить пять треугольников. Один треугольник уже есть, он построен по условию задачи. Если из любой вершины провести прямую, пересекающую противоположную сторону, то получим еще два треугольника. В одном из полученных треугольников через вершину, лежащую на стороне исходного треугольника, проведем прямую, пересекающую противоположную сторону этого треугольника, получим еще два треугольника.
б) Восемь треугольников
Чтобы получилось семь треугольников (один уже есть), достаточно провести прямые через две вершины, пересекающие противоположные им стороны исходного треугольника.
Оценка выполнения задания:Верное решение оценивается в 3 балла. Попытки, близкие к верному решению, - 1 балл и неверно решенная задача – 0 баллов.