Открытый урок по алгебре "Примеры комбинаторных задач (9 класс)"
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой. В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.
Познакомимся с некоторыми приемами решения комбинаторных задач решение методом перебора; решение с помощью дерева возможных вариантов; решение с помощью комбинаторного правила умножения; решение с помощью таблиц; решение с помощью графов.
№715 У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов? Замечание. При решении для краткости будем писать первые буквы имен.
Составим сначала все пары, в которые входит Вера. ВЗ, ВМ, ВП, ВС Выпишем теперь пары, в которые входит Зоя, но не входит Вера. Далее составим пары, в которые входит Марина, но не входят Вера и Зоя. Еще одна пара ЗМ, ЗП, ЗС МП, МС ПС Всего существует 4+3+2+1=10 Решение Ответ:10 вариантов Вера Зоя Марина Полина Света Получим 4 пары. Таких пар три. Их две. Далее составим пары, в которые входит Полина.
Рассмотрим еще одну задачу. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов? Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов. ш ж б м
Решение Всего 3+2+1=6 Ответ:6 вариантов ш ш ш ж ж б б б ж м м м
Приемы решения комбинаторных задач дерево возможных вариантов Решим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7, так чтобы цифры не повторялись. Для её решения построим схему - дерево возможных вариантов. число 1 4 7 4 4 7 7 1 1 7 7 1 1 4 4 Ответ: числа 147;174;417;471;714;741 6 чисел (вариантов)
У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?
Решите задачи, используя дерево возможных вариантов В класс пришли четыре новых ученика Миша, Катя, Вася, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора будет? Л В К М
Ответ: 15 вариантов Решение
Ответ: 12 вариантов Решение
Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать двумя способами. Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению
«Если объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект «А и В» можно выбрать m ∙ k способами». Мы нашли ответ на вопрос, используя так называемое комбинаторное правило умножения
Домашнее задание: п. 30 1 группа -№ 716 (перебор), 2 группа - 720 (дерево), 1+2 группа вместе 727 (умножение).
Существует много видов комбинаторных задач, это лишь некоторые из них. Спасибо за внимание!
Ответ: 10 способами.
2. Даны цифры 1, 3, 5. В записи числа каждая используется не более одного раза.
2) 15 А. Наибольшее из возможных чисел
3) 31 Б. Наименьшее из возможных чисел
4) 35 В. Не является двузначным числом
Ответ: 21 вариант заказа
2. Даны цифры 2, 4, 8. В записи числа каждая используется не более одного раза.
2) 24 А. Наибольшее из возможных чисел
4) 42 Б. Наименьшее из возможных чисел
6) 82 В. Не является двузначным числом
Отметка о выполнении («+», «-»)
Задача с насекомыми
Работа в группах
Работа с мини-тестом
Мое мнение об уроке
Отметка о выполнении («+», «-»)
Задача с насекомыми
Работа в группах
Работа с мини-тестом
Мое мнение об уроке
Отметка о выполнении («+», «-»)
Задача с насекомыми
Работа в группах
Работа с мини-тестом
Мое мнение об уроке
МКОУ Ныгдинская средняя общеобразовательная школа
Конспект открытого урока по алгебре
"Примеры комбинаторных задач"
с использованием учебника Макарычева Ю.М., Миндюк Н.Г. и др.
Нехланова Галина Анатольевна
Конспект открытого урока по математике
Тема: "Введение в комбинаторику"
Место урока: начальный (1 урок в главе 5 "Элементы комбинаторики и теории вероятности")
Тип урока: урок «открытия новых знаний».
Продолжительность: 40 минут
Цель урока: ввести понятие науки "комбинаторика", комбинаторной задачи; познакомить с историей возникновения; показать учащимся на примерах практическое применение в повседневной жизни.
Образовательная: познакомить учащихся с правилами суммы и произведения, методом перебора для решения комбинаторных задач, формировать навыки их применения при решении простейших задач;
Развивающая: развивать математическое мышление и логическую речь учащихся; мотивацию к познанию социокультурной среды;
Воспитательная: формировать навыки самоконтроля, воспитывать чувство ответственности за качество и результата выполняемой работы, вырабатывать партнерские отношения.
Методы обучения: проблемный, частично – поисковый, объяснительно – иллюстративный, исследовательский.
Используемые формы организации познавательной деятельности учащихся: коллективная форма работы, групповая, индивидуальная работа.
Оборудование и основные источники информации: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, раздаточный материал
I. Организационный момент
Вступительное слово учителя:
- Доброе день, ребята! Сегодня у нас открытый урок
II. Активизация познавательной деятельности
Учитель (постановка проблемы урока):
- Ребята у меня возникла проблема. Мне Евгения Владимировна позволила воспользоваться компьютером, назвала пароль, а я в нем забыла две последних цифры. Что делать? Может подскажите, какую пару чисел набрать? А сколько таких способов или вариантов надо перебрать, чтоб найти подходящий?
Сегодня на уроке мы познакомимся с наукой, которая поможет ответить нам на эти вопросы. А чтобы узнать какое название носит данная наука предлагаю вам решить небольшой ребус ( раздаются листы с ребусом и на слайде 1). (комбинаторика).
Тема нашего урока: "Примеры комбинаторных задач" (слайд 2)
"Учимся не для школы, а для жизни" (Сенека Люций Анней - римский философ и поэт ). Записать на доске . Эти слова, я хочу взять эпиграфом к нашему уроку. Так как при изучении нового материала ребята часто задают вопросы: "А зачем она нужна?", "Может ли она чем-то помочь в реальной жизни?"
Поэтому для начала предлагаю поиграть в игру.
Игра "Верите ли вы, что. "
Верите ли вы, что…
с этой наукой вы сталкиваетесь каждый день?
комбинаторика поможет стать востребованным в реальной жизни?
достаточно купить три билета для "крупного" выигрыша в лото?
и в игре, и в жизни можно предугадать действия соперника?
комбинаторика применима практически во всех сферах жизнедеятельности человека?
Я выслушала ваше мнение и в конце урока мы вернемся к этим вопросам.
III. Подготовка к основному этапу изучения нового материала.
Учитель: В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь, доехав до распутья, читает на камне: "Вперёд поедешь – голову сложишь, направо поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из этого положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из этих комбинаций выбрать наилучшую.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. Первые упоминания о вопросах близких к комбинаторным, встречаются в китайских рукописях 12-13 вв до н.э. В древней Греции изучали фигуры, которые можно было составить из частей квадрата, разрезанного особым образом. Позже появились такие игры как нарды, карты, шашки, шахматы и т.д. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д. Многие ученые проводили исследования по комбинаторике. И только в 1666 г. была опубликована работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Об искусстве комбинаторики». С этого момента комбинаторику рассматривают как самостоятельный раздел математики. (Слайд 3)
Задача, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. (Слайд 4)
И сегодня мы научимся находить возможные комбинации для решения элементарных комбинаторных задач и рассмотрим сферы их применения.
IV. Открытие нового знания.
Учитель: Скажите, а вам приходиться делать выбор, подсчитывать способы? В каких ситуациях?
Рассмотрим некоторые способы решения комбинаторных задач: Слайд 5
Пример №715 (прочитайте задание) (Слайд 6)
Решение на слайде 7
Примеры на слайдах, 1 решаем вместе
Пример с насекомыми (Слайд 8) Примеры метод перебора
Слайд 10 (пример дерево возможных вариантов)
Слайд 11-12 (способ комбинаторное правило умножения)
VI. Закрепление знаний и способов действий.
Делятся на две группы (решают две задачи) (1 группа – про девочку), вторая группа про класс (составить дерево возможных вариантов) (Слайды 13-14)
Работают на листочках. Потом вывешивают на доску и сверяются с ответами (Слайд 15-16)
Мини тест (выполняют, меняются с соседом и сверяются с ответами)
Учитель: Каждый из нас хочет быть востребован в жизни. Представьте, что вы решили заняться бизнесом (частный ресторан, туристическое агентство, спортивный клуб). Для того, чтобы ваше заведение было конкурентоспособным необходимо знать, что ваших клиентов интересует больше всего. Предлагаю провести опрос аудитории, обработать полученную информацию и сделать рекламу своего заведения.
Учитель: навыки решения комбинаторных задач в дальнейшем помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через невозможное вперед.
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…
Я предлагаю вернуться к нашей игре "Верите ли вы, что. " и переосмыслить свои ответы.
Учитель: Так может ли комбинаторика помочь в реальной жизни? В чем?
Я рада слышать ваши ответы. Я сегодня увидела в вас энергичных, предприимчивых, ярких личностей. Я уверена, что каждый из вас найдет достойное место в жизни.