Урок алгебры в 10-м классе. Тема: "Примеры решения тригонометрических уравнений"

Литература: Учебник Колмагорова “Алгебра и начала анализа, 10-11 класс”.

I. Повторение

1. sin x = a, cos x = a, tg x = a

При каких значениях а эти уравнения имеют решения? [sin x и cos x при /а/ 1 tg x при любом a]

2. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (на карточках):

sin x = а х = (-1) к arc sin a+ к, к z sin x = 0 sin x = 1 sin x = -1

cos x = a x=± arc cos a + 2 , n z cos x = 0 cos x = 1 cos x = -1

tg x = a x = arc tg a + n, n z

arc sin (-а) = - arc sin а arc cos (-а) = - arc cos а arc tg а (-а) = - arc tg а

II. Проверка домашнего задания.

Игра “Поле чудес”. Правила игры несколько изменены, а название оставлено.

• Учитель берет понравившееся ему высказывание или слова из песни, стихотворения, пословицу. По количеству букв в этом высказывании подбирается столько же примеров или задач так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы.
• Каждому ученику учитель дает карточку с заданиями и ученик сразу начинает решать.
• На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам.
• Ниже записаны числа по порядку (по количеству букв в высказывании).
• Ученик, выполнявший задание, называет номер своей карточки и букву, под которой записан ответ.
• Учитель под числом (…) ставит букву (…). И так далее. Ученики стараются быстрее решить, чтобы получить следующую карточку.
• За правильно решенные 2-3 задания он может получить оценку. Поэтому желательно карточек иметь более чем число.

Ум хорошо, а два лучше 12 3 45 67 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 17

III. Объяснение нового.

• В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a
• К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства из них требуется применение формул преобразований тригонометрических выражений.
• Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение, сводящиеся к квадратным.

• На доске записаны уравнения:

• Какие из них являются квадратными?
• Общий вид квадратного уравнения:

Корни квадратного уравнения, приведенного, т.е. х 2 +рх+q=0 можно находить по теореме Виета:

• х 4 -5х 2 +4=0 – квадратное уравнение относительно х 2 . Это уравнение назвали биквадратным. Общий вид ах 4 +вх 2 +с=0, где а± 0.
• Его легко решить методом введения новой переменной, т.е. х 2 =а и уравнение принимает вид: а 2 -5а+4=0

3. Последнее уравнение тоже квадратное, относительно cosx. Для его решения введем новую переменную. Пусть y=cosx, тогда уравнение можно записать виде: 2у 2 -у-1=0. Получили квадратное уравнение.

Ответ: 2 n, n z; , n z

4. Решим уравнение:

Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos 2 x на 1-sin 2 x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:

Пусть xinx=у, тогда 2у 2 +5у-3=0

Получили квадратное уравнение

а) б) xinx=-3 – решение не имеет

5.

tgx-2ctgx=-1. Функции разные. Используя тождество tgx? ctgx=1, выразим , заменим ctgx через tgx.

пусть tgx=у, то у 2 +у-2=0 (дальше, как в предыдущем случае).

6. Для закрепления

4 xin 2 x- cosx-1=0 Заменим xin 2 x на 1- cos 2 x. Получим 4(1- cos 2 x)- cosx-1=0 4-4 cos 2 x- cosx-1=0 -4 cos 2 x- cosx+3=0 4 cos 2 x+ cosx-3=0

пусть cosx=у, то

7. №164 (в) - cамостоятельно

2 xin 2 x- xinx-1=0 пусть xinx=у, то 2у 2 -у-1=0

2 xin 2 x+3 cosx=0

Заменим xin 2 x на 1- cos 2 x получим

2(1- cos 2 x)+3 cosx=0 2-2 cos 2 x+3 cosx=0 -2 cos 2 x+3 cosx+2=0, т.е. 2 cos 2 x-3 cosx-2=0