Лабораторные работы / ЛаборРаб_2

Цель работы: изучение понятия спектра периодического сигнала, приобретение практических навыков разложения сигналов в ряд Фурье, вычисления, построения графиков и анализа спектров периодических сигналов в среде MATLAB.

Задание и порядок выполнения работы.

Познакомьтесь с разложением периодических сигналов в ряд Фурье и понятиями амплитудного и фазового спектров сигнала по лекционному курсу или учебной литературе, например, [1] стр. 21 -30 или [3] стр. 19 – 27 .

Ознакомьтесь с демонстрацией MATLAB | Graphics | Square Wave from Sine Waves на вкладке Demos справочной системы MATLAB.

Эта демонстрация в наглядной форме иллюстрирует идею гармонического синтеза сигнала в виде прямоугольной периодической волны из гармоник сигнала. Обратите внимание на изменение характера аппроксимации сигнала при увеличении числа членов ряда и явление Гиббса, заключающегося в появлении пульсаций (выбросов) вблизи точек разрыва сигнала.

Получите аналитически коэффициенты разложения в ряд Фурье (тригонометрический или комплексный) для сигнала, заданного в индивидуальном задании (Приложение 1).

Для сигналов с четной или нечетной симметрией удобнее использовать тригонометрическую форму ряда, а для сигналов без симметрии - комплексную форму. После определения коэффициентов запишите ряд Фурье сигнала. Сопоставьте результат с видом ряда Фурье, приведенным в ответе к заданию. Постройте приближенные графики (эскизы) амплитудного спектра сигнала в виде набора линий в среде MS WORD. При выполнении задания п.3 можно ориентироваться на пример, приведенный в Приложении 2. Полезно использовать также соответствующие примеры из методических указаний [2].

Напишите и выполните файл-сценарий (М-файл), позволяющий построить в MATLAB графики амплитудного и фазового спектров сигнала на основе вычислений в п.3. Соответствующий пример представлен в Приложении 3. Его следует соответствующим образом модифицировать. Объясните поведение полученных спектров, в частности, изменение спектра в зависимости от номера гармоники,

Как изменяется амплитудный спектр с увеличением периода сигнала? Изменения спектра можно пронаблюдать, изменив значение периода в файл – сценарии.

Определите спектр Фурье сигнала с помощью функции fft() MATLAB. Эта функция является основной процедурой спектрального анализа в MATLAB. Ознакомьтесь по справочной системе с синтаксисом данной функции. Процедура fft() вычисляет дискретное преобразование Фурье сигналов по выражению дискретного ряда Фурье . При этом приближенные значения коэффициентов комплексного ряда Фурье периодического сигнала равны fft()/N, где N – размер (длина) вектора fft(). Определите коэффициенты ряда Фурье с помощью fft() для сигнала, заданного в п.3, постройте и сопоставьте графики амплитудного спектра по п.4 и п.5. Для генерирования периода сигнала x[n] прямоугольной формы можно использовать функцию rectpuls, треугольной формы – функцию tripuls MATLAB. В Приложении 4 приведен пример соответствующей процедуры. Оба способа разложения в ряд Фурье и вычисления спектров (аналитический и с помощью fft) должны давать одинаковые результаты с точностью до погрешностей вычислений. Поясните характер и особенности получившихся спектров. Обратите внимание на периодический характер спектра, вычисленного с помощью fft(). Он объясняется периодичностью дискретного ряда Фурье. Из-за этой периодичности fft-спектр используется только до половины числа отсчетов (размера) fft.

Составьте и выполните файл-сценарий для исследования сходимости ряда Фурье к исходному периодическому сигналу (индивидуальное задание, п.3) в соответствии с примером, приведенным в Приложении 5. Постройте при этом также график исходного периодического сигнала, к которому сходится ряд.

Пронаблюдайте сходимость ряда для трех - четырех значений числа членов ряда и явление Гиббса, возникающее при конечном числе членов ряда Фурье у сигналов с разрывами поведения функций. У непрерывных сигналов этого явления нет. Объясните характер и особенности среднеквадратичной сходимости ряда Фурье к сигналу.

Факультативное задание. Это задание иллюстрирует использование спектрального анализа в анализе звуков. Рассмотрите периодический сигнал x(t) в виде квадратной волны c периодом T0, такой, что Можно вычислить аналитически (сделайте это!), что ряд Фурье этого сигнала имеет вид , где коэффициенты bk=0 для четных k и bk = 4/(πk) для нечетных k. Используя в качестве прототипа процедуру Приложения 5, сгенерируйте приближенную аппроксимацию квадратной волны длительностью 2 с и периодом T0, соответствующим ноте Ре первой октавы (частота тона (ноты) 293,66 Гц). Количество гармоник при аппроксимации возьмите равным десяти, т.е. используйте гармоники с номерами k = 1,3,5,…,19.

Квадратная волна в этом случае может трактоваться как нота Ре (гармоника определенной частоты) с обертонами (высшими гармониками). Сгенерируйте также гармонический сигнал, соответствующий чистой ноте Ре первой октавы длительностью 2 с. Постройте в MATLAB и сопоставьте графики первых 100 отсчетов для обоих сигналов при частоте отсчетов 8192 Гц. Постройте также графики их спектров. Прослушайте звучание обоих сигналов, используя функцию sound(). Имеются ли различия в звучании сигналов?

Оформите отчет по лабораторной работе. В отчете должны быть представлены

название и цель работы,

формулировки (названия) пунктов работы, команды и .m – файлы, графики, комментарии, выводы по работе.

Проверьте свою подготовку по контрольным вопросам, отчитайтесь в выполнении работы.

Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов / СПб.: Питер, 2007.

Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов. Методические указания к решению задач и упражнений по курсу.- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007.

Голышев Н.В., Щетинин Ю.И. Теория и обработка сигналов.: Уч. пособие.- Новосибирск. Изд-во НГТУ, 1998 - ч.1.