Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье

В предыдущем разделе было рассмотрено разложение периодических сигналов в ряд Фурье. Были приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также введено понятие спектра периодического сигнала.

Показано, что спектр периодического сигнала представляет собой дискретную (линейчатую) функцию , определенную на равноотстоящей сетке частот ,

В данном разделе мы рассмотрим некоторые свойства спектров периодических сигналов. Как мы увидим позже, аналогичными свойствами обладают преобразование Фурье непериодических сигналов, а также дискретное преобразование Фурье.

Пусть имеются два периодических сигнала и с равными периодами повторения , причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле [1, стр. 165]. Сигналы и могут быть представлены рядом Фурье с коэффициентами разложения и , где ,

Везде далее в этом разделе мы будем считать сигналы и периодическими с равными периодами повторения , причем оба сигнала удовлетворяют условиям Дирихле. Тогда сигнал также является периодическим сигналом с периодом , и может быть представлен рядом Фурье с коэффициентами:

Рассмотрим сигнал как результат циклического временного сдвига исходного сигнала , как это показано на рисунке 1 для положительных и отрицательных значений .

Циклический сдвиг характерен периодическим сигналам. Спектр сигнала с циклическим временным сдвигом равен:

Пусть сигнал представляет собой циклическую (периодическую) свертку [2, стр. 362] сигналов и

Это одно из важнейших свойств спектрального анализа, которое позволяет анализировать системы обработки сигналов в частотной области, заменяя трудоемкое вычисление свертки сигналов, произведением их спектров.

Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и . Сигнал также представляет собой периодический сигнал с периодом , и его спектр равен:

Пусть представляет собой вещественный периодический сигнал. Рассмотрим подробнее его спектр:

Если же периодический сигнал — комплексный, то симметрия спектра сигнала нарушается, что будет показано в следующем параграфе.

Пусть сигнал представляет собой произведение сигналов и комплексной экспоненты с частотой , где — произвольное целое число. Выбор частоты обеспечивает периодичность сигнала , поскольку на одном периоде укладывается целое число оборотов комплексной экспоненты .

Таким образом, сигнал удовлетворяет условиям Дирихле, и его спектр равен:

На рисунке 2 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на комплексную экспоненту при рад/c.

Можно видеть, что спектр смещенного по частоте сигнала есть смещенная на частоту копия спектра .

При этом важно отметить, что сам сигнал стал комплексным (на графике показана отдельно реальная и мнимая части сигнала), его амплитудный спектр при этом перестал быть симметричным, а фазовый — антисимметричным относительно нулевой частоты.

Рассмотрим теперь умножение сигнала не на комплексную экспоненту, а на гармоническое колебание , где , — произвольное целое число, — произвольная начальная фаза.

В этом случае мы также сохраняем периодичность сигнала , и его спектр равен:

На рисунке 3 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении на при рад/c (5 Гц), и рад.

Из рисунка 3 можно видеть, что спектр смещенного по частоте сигнала есть сумма смещенных на частоты спектров половинной амплитуды. При этом заметим, что вещественный сигнал остается вещественным с симметричным амплитудным и антисимметричным фазовым спектром.

Подставим в (19) вместо выражение ряда Фурье в комплексной форме:

Если учесть, что у вещественного периодического сигнала амплитудный спектр является симметричным относительно нулевой частоты, то можно заключить, что спектральные составляющие в отрицательной области частот несут ту же мощность, что и спектральные составляющие с положительными частотами . Поэтому отрицательные частоты, которые появились при переходе к ряду Фурье в комплексной форме, это не просто математическая абстракция, а физическая сущность, несущая практически половину мощности вещественного сигнала.

Пусть сигнал представляет собой непрерывный дифференцируемый на всей числовой оси периодический сигнал (не имеет разрывов первого рода), чей спектр равен . Тогда сигнал также представляет собой периодический сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле и его спектр равен:

Наличие множителя приводит к тому, что спектр с ростом частоты затухает слабее чем спектр исходного сигнала . Поэтому изначально мы наложили ограничение на исходный сигнал: он должен быть непрерывным и дифференцируемым, тогда его спектр будет затухать быстрее чем , и умножение на не приведет к росту с увеличением частоты.

\label Пусть теперь представляет собой сигнал с нулевой постоянной составляющей. Спектр сигнала равен нулю на нулевой частоте: .

Заметим, что при наличии постоянной составляющей в сигнале , интегратор от минус бесконечности накопит бесконечную составляющую сигнала . На рисунке 4 показан пример периодического сигнала с нулевой постоянной составляющей и результат его интегрирования.

Рассмотрим спектр сигнала . Для этого заметим, что сигнал ничто иное, как производная сигнала . Тогда использую свойство спектра производной сигнала (26) можно записать:

В данном разделе мы рассмотрели некоторые свойства спектров периодических сигналов: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов. Мы также проанализировали свойство симметрии спектра вещественного сигнала и получили, что амплитудный спектр периодического сигнала является симметричным, а фазовый спектр — антисимметричным относительно нулевой частоты. Также мы рассмотрели равенство Парсеваля, которое устанавливает соотношение средней мощности сигнала во временной и частотной областях, и свойство дифференцирования и интегрирование исходного сигнала.

В следующем разделе мы проанализируем разложение непериодических сигналов по системе комплексных экспонент и получим непрерывное преобразование Фурье.

Данные для построения рисунков данного раздела были просчитаны при использовании библиотеки DSPL-2.0