Свойства функции минимума в задаче оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

В настоящей статье исследованы свойства функции минимума в некоторых задачах оптимального управления . Приведены достаточные условия липшицевости и дифференцируемости функции минимума.

Текст научной работы на тему «Свойства функции минимума в задаче оптимального управления»

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ МИНИМУМА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Ключевые слова: задача оптимального управления; квадратичное отображение. В настоящей статье исследованы свойства функции минимума в некоторых задачах оптимального управления. Приведены достаточные условия липшицевости и диффе-ренцируемости функции минимума.

Пусть заданы симметричные матрицы Qo, Ql, . Qk размерности п х п с действительными элементами. Определим квадратичную форму до : Мп ^ М и квадратичное отображение Q : Мп по формулам

Обозначим образ квадратичного отображения Q через imQ, т.е. imQ = Q(Мn) = Q(x). Рассмотрим следующую задачу оптимального управления.

х = Ах + Ви, г е [0,1], ж(0) = 0, Q(x(l)) = у.

Здесь ж е Мп - фазовая переменная; и е Мт - управляющий параметр; д0 : Мп ^ М - заданная квадратичная форма; Q : Мп ^ - заданное квадратичное отображение; А и В - матрицы соответствующих размерностей; у - заданный вектор из М^. Допустимым процессом в задаче (1) назовем пару (х(-),и(-)) такую, что абсолютно непрерывная функция х(') является решением задачи Коши ж = Ах + Ви, ж(0) =0, и удовлетворяет условию Q(ж(1)) = у, а управление и(-) является измеримым существенно ограниченным. Под решением задачи (1) будем понимать допустимый процесс (х(-),и(-)), на котором достигается глобальный условный минимум функционала (х(-),и(-)) ^ д0(х(1)).

т. е. ш : imQ ^ М^- функция минимума в задаче (1).

Целью настоящей работы является исследование дифференциальных и топологических свойств функции ш. Свойства функции минимума в различных задачах оптимизации и оптимального управления изучаются во многих работах. Так, например, в [1] исследована функция минимума для задачи минимизации функционала / : Мп ^ М при ограничениях типа равенств и неравенств и геометрических ограничениях ж е С С Мп. В предположении, что значение функции минимума конечно в нуле и множества компактны для всех г е М, получена формула для обощенного градиента функции минимума, а также условия строгой дифференцируемости функции минимума (см. [1], §6.5).

В [2] используется несколько другой подход к изучению поведения функции минимума -теория чувствительности (см. [2], глава 5). Рассматривается задача условной минимизации в функциональных пространствах. Приводятся оценки функции минимума, зависящие от параметра. В статье [3] исследованы свойства функции минимума для квадратичной задачи минимизации. В настоящей работе мы получим условия выпуклости, липшицевости, дифференцируемости функции минимума для задачи (1). Всюду далее будем предполагать, что

• матрицы Qo, Qi, . Qk попарно коммутируют.

Тогда, как известно, они одновременно диагонализируемы, т. е. существует ортогональное преобразование, которое одновременно приводит все матрицы Qo, Qi, Qk к диагональному виду.

Тео р е м а 1. Предположим, что выполняются следующие условия:

а) rank(B, AB. A(n-i)B^j = n;

б) qo(x) > 0 Vx : Q(x) = 0. Тогда

1) функция ш выпукла;

2) функция ш удовлетворяет условию Липшица;

3) функция ш дифференцируема во всех точках int(imQ), кроме, быть может, точек, принадлежащих объединению конечного числа собственных подпространств.

Доказательство. В силу условия а) теоремы 1 система X = Ax + Bu управляема (см. [4], гл. 2, п. 2.3). Следовательно, для любого вектора % € Rn существуют измеримое существенно ограниченное управление u(-) и абсолютно непрерывная функция x(-) такие, что x(t) = Ax(t) + Bu(t), t € [0,1], x(0) =0 и x(1) = %. Значит, функция минимума в задаче (1) совпадает с фукцией минимума в задаче

Как было отмечено выше, матрицы Qo, Qi, . Qk одновременно диагонализируемы, т. е. существует ортогональное преобразование O, которое одновременно приводит все матрицы Q0, Qi, . Qk к диагональному виду. Следовательно, матрицы S0 := OTQ0O, Si := OTQiO, . Sk := OTQkO являются диагональными. После замены переменных % = Oß задача (2) примет вид:

где po и P - соответствующие квадратичные форма и отображение. Очевидно, функция минимума в задаче (3) совпадает с фукцией минимума в задаче (2). Из условия б) теоремы 1 следует, что р0(ц) > 0 для всех ц таких, что P(ц) = 0. Отсюда в силу следствия 1, теорем 1 и 5 из [5] получаем утверждения 1)-3) теоремы 1. □

Исследуем теперь задачу (1) в случае, когда матрицы A и B зависят от времени, т. е.

x = A(t)x + B(t)u, t € [0,1], (4)

Определим функцию минимума ш : imQ ^ RU в задаче (4) следующим образом: ш(у) = inf , y € imQ.

где E - единичная матрица. Решение Ф системы (5) является фундаментальной системой решений уравнения рр = —A*(t)р. Обозначим через £i(t), i = 1,n, столбцы матрицы B*(t)Ф(t), t € [0,1].

Теорема2. Предположим, что выполняются следующие условия:

а) Y1 Xi&(t) ^ 0 для A = (Ai. An) = 0;

б) qo(x) > 0 Vx : Q(x) = 0. Тогда

1) функция ш выпукла;

2) функция ш удовлетворяет условию Липшица;

Доказательство. Из условия а) теоремы 2 следует, что система X = A(t)x + B(t)u управляема. Действительно, любое ненулевое решение p(t) системы рр = —A*(t)p имеет

вид Ф^)А, A = 0. Следовательно, B*(t)p(t) = B*(t^(t)A = ^ Ai(i(t). Значит, выполнено

условие управляемости из [6] (см. лекция 9, условие невырожденности (9.2)).

В силу управляемости для любого вектора % € Rn существуют измеримое существенно ограниченное управление u(-) и абсолютно непрерывная функция x(-) такие, что X(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t € [0,1], x(0) = xo и x(1) = Значит, функция минимума в задаче (4) совпадает с функцией минимума в задаче

Далее, совершая замену переменных аналогично тому, как это было сделано в доказательстве теоремы 1, в силу следствия 1, теорем 1 и 5 из [5] получаем утверждения 1)-3) теоремы 2. □

Замечание! Теорема 1 является следствием теоремы 2. Действительно, если A(t) = A, B(t) = B, то условие а) теоремы 2, означающее управляемость системы дифференциальных уравнений x = Ax + Bu, эквивалентно условию а) теоремы 1 (см. [4], с. 91, теорема 55).

1 . Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

2 . Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ

чувствительности. М.: Мир, 1987.

3 . Арутюнов А. В. Свойства функции минимума в квадратичной задаче // Матем. за-

метки. 2013. Т 94. № 1. С. 36-45.

4 . Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

5. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е., Мингалеева З.Т. Дифференциальные свойства функции минимума для диагонализируемых квадратичных задач // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 10. С. 1768-1777.

6 . Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Издательство Московского университета, 1970.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках реализации государственного задания министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности, проект № 1.333.2014/К и при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14-01-31185.

Поступила в редакцию 5 февраля 2015 г.

Zhukovskaya Z.T. PROPERTIES OF THE MINIMUM FUNCTION IN AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM

The properties of the minimum function in a certain optimal control problem are studied. Sufficient conditions for minimum function to be continuous and Lipschitzian are obtained.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

Свойства функции минимума в задаче оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Жуковская Зухра Тагировна

Текст научной работы на тему «Свойства функции минимума в задаче оптимального управления»