6. Декартово умножение множеств
Операцию, при помощи которой находят декартово произведение, называют декартовым умножением множеств.
Декартово умножение множеств не обладает ни свойством коммутативности, ни свойством ассоциативности, но связано с операциями объединения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами:
для любых множеств А, В, С имеют место равенства:
(А В) С = (АС) (ВС),
(А\В)С = (АС)\(ВС).
Для наглядного представления декартова произведения числовых множеств часто используют прямоугольную систему координат.
Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.
Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:
a) A = ; B =, б) А = ; В = [1,4], в) А = [2, 6]; B =[1,4].
В случае а) данные множества конечны и можно перечислить элементы декартова произведения.
АВ = . Построим оси координат и на оси ОХ отметим элементы множества А, а на оси ОУ – элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел множества АВ точкам на координатной плоскости (рис.7). Полученная фигура из четыре точек и будет наглядно представлять декартово произведение данных множеств А и В.
В случае б) перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, т.к. множество В – бесконечное, но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 2, либо 6, а вторая компонента – действительное число из промежутка [1,4].
Все пары, первая компонента которых есть число 2, а вторая пробегает значение от 1 до 4 включительно, изображаются точками отрезка СД, а пары, первая компонента которых есть число 6, а вторая – любое действительное число из промежутка [1,4], – точками отрезка РS (рис.8). Таким образом, в случае б) декартово произведение множеств А и В на координатной плоскости изображается в виде отрезка СД и РS.
Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
Случай в) отличается от случая б) тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А, поэтому, первой компонентой пар, принадлежащих множеству А В, является любое число из промежутка [2, 6]. Точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат СДЕL (рис. 9). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.
Контрольные вопросы
Покажите, что решение следующих задач приводит к образованию декартова произведения множеств:
а) Запишите все дроби, числителем которых является число из множества А = , а знаменателем – число из множества В = .
б) Запишите различные двузначные числа, используя числа 1, 2, 3, 4.
Докажите, что для любых множеств А, В, С справедливо равенство (А В)С = (АС) (ВС). Проиллюстрируйте его выполнимость для множеств А = , В= , С = .
Какую фигуру образуют точки на координатной плоскости, если их координаты являются элементами декартова произведения множеств А = и В = R
Определите, декартово произведение каких множеств А и В изображено на рисунке 10.
112. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых принадлежат множеству А = , а цифры единиц – множеству В = .
113. Напишите все дроби, числители которых выбираются из множества А= , а знаменатель – из множества В= .
114. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А = , а знаменатель – из множества В= .
115. Даны множества Р = , К= . Найдите все декартова произведения множеств Р К и KР.
116. Известно, что АВ = . Установите, из каких элементов состоят множества А и В.
117. Запишите множества (АВ)С и А(ВС) перечислением пар, если А=, B = ,C=
118. Составьте множества АВ, ВА, если:
119. Известно, что АВ = . Установите, из каких элементов состоят множества А и В.
120. Найдите декартово произведение множеств А = и В = и выделите из него подмножество пар, в которых:
а) первая компонента больше второй; б) первая компонента равна 5; в) вторая компонента равна 7.
121. Перечислите элементы, принадлежащие декартову произведению множеств А, В и С, если:
а) А = , В = (7, 8, 9>, С = ;
б) А = В = С = ;
в) А = , B = , С =
122. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова про изведения множеств А и В, если:
в) А = [2, 4]; В = [1,2].
123. Все элементы декартова произведения двух множеств A и B изображены точками в прямоугольной системе координат. Запишите множества A и В (рис. 11).
124. Изобразите на координатной плоскости элементы декартова произведения множеств X и Y, если:
в) Х = [–1;2], Y = ;
г) Х = [1;7], Y = [2; 6];
д) X = [–3; 2], Y = [0; 5[;
е) X = R, Y = [–2; 2];
ж) Х = ]–3;2[, Y=R;
з) Х=, Y=R;
и) Х= R, Y = .
125. Фигуры, приведенные на рис. 14, являются результатом изображения на координатной плоскости декартова произведения множеств X и Y. Укажите для каждой фигуры эти множества.
126. Выясните, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полуплоскости. Рассмотрите все случаи.
127. Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде прямого угла, который образуется при пересечении координатных осей.
128. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОХ и проходящую через точку Р (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.
129. На координатной плоскости постройте прямую, параллельную оси ОY и проходящую через точку Р (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде этой прямой.
130. На координатной плоскости постройте полосу, ограниченную прямыми, проходящими через точки (–2, 0) и (2, 0) и параллельными оси ОY. Опишите множество точек, принадлежащих этой полосе.
131. На координатной плоскости постройте прямоугольник, вершинами которого служат точки А (–3, 5), В (–3, 8), С (7, 5), D (7, 8). Опишите множество точек этого прямоугольника.
132. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) х R, у = 5;
б) х = –3, у R;
в) хR, |у| = 2;
г) |x| = 3, у R;
д) х R, y≥ 4;
е) x R, y 4;
ж) х R, |у| 4;
з) |x| 4, |у| 3;
и) |х| ≥1, |у| ≥ 4;
к)|х| ≥ 2, у R.
133. На координатной плоскости изобразите элементы декартова произведения множеств X и Y, если:
а) X = R, Y = ; б) X = R, Y = [–3; 3]; в) X = [0; ),Y = ( , 0].
134. На координатной плоскости постройте фигуру F, если
135. Постройте прямоугольник с вершинами в точках (–3, 4), (–3, –3), (1, –3), (1, 4). Укажите характеристическое свойство точек, принадлежащих этому прямоугольнику.
136. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОХ и проходящие через точки (2, 3) и (2, –1). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.
137. На координатной плоскости постройте прямые, параллельные оси ОY и проходящие через точки (2, 3) и (–2, 3). Установите, декартово произведение каких двух множеств изображается на координатной плоскости в виде полосы, заключенной между построенными прямыми.
138. Изобразите в прямоугольной системе координат множество XY, если:
По теме данной главы студент должен уметь:
- задавать множества разными способами;
- устанавливать отношения между множествами и изображать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна;
- доказывать равенство двух множеств;
- выполнять операции над множествами и геометрически их иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна;
- производить разбиение множества на классы с помощью одного или нескольких свойств; оценивать правильность выполненной классификации.