Статистические свойства суммы членов усеченного вариационного ряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

Введено понятие усеченной порядковой статистики . Выведены аналитические выражения для математических ожиданий и дисперсий усеченных порядковых статистик для двух вариантов задания порога отсечения: порога, определяемого квантилем функции распределения, и порога, определяемого номером члена вариационного ряда.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рудько Игорь Михайлович

Statistical characteristics to sum of terms of truncated variational series

The concept of truncated order statistic is introduced. Analytical expressions for the mean value and the variance of truncated order statistic are derived for the two version of a threshold: for a threshold determined by the distribution function quantile and for a threshold determined by the number of member of the variational series.

Текст научной работы на тему «Статистические свойства суммы членов усеченного вариационного ряда»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Управление, вычислительная техника и информатика № 1(22)

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СУММЫ ЧЛЕНОВ УСЕЧЕННОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

Введено понятие усеченной порядковой статистики. Выведены аналитические выражения для математических ожиданий и дисперсий усеченных порядковых статистик для двух вариантов задания порога отсечения: порога, определяемого квантилем функции распределения, и порога, определяемого номером члена вариационного ряда.

Ключевые слова: порядковая статистика, моменты случайной величины, системы обнаружения, математическое моделирование.

Рассматривается задача определения математического ожидания и дисперсии суммы членов вариационного ряда (порядковой статистики) в случае, когда отбрасывается фиксированное число меньших членов вариационного ряда (усеченная порядковая статистика (УПС)) для двух вариантов задания порога отсечения: порога, фиксированного по заданному квантилю функции распределения, и порога, фиксированного по заданному номеру члена вариационного ряда, при условии, что статистические свойства членов вариационного ряда могут быть описаны центральным ^-распределением с п степенями свободы.

Задачи, которые могут быть описаны такой моделью, возникают при обработке результатов спектрального анализа, вибрационных испытаний, обработке гидроакустической информации и в других задачах, в которых используется энергетический критерий обнаружения [1]. Ранее в работе [2] методами математического моделирования была исследована модель эвристической двухпороговой системы обнаружения сигнала, в которой применение усеченной порядковой статистики в случае, когда известны дисперсии сигнала и шума, позволяет при фиксированной вероятности ложных тревог получить существенный выигрыш в вероятности обнаружения по сравнению с традиционной системой обнаружения. В настоящей работе приводится теоретическое обоснование алгоритма работы этой эвристической двухпороговой системы обнаружения сигнала.

1. Моменты усеченной порядковой статистики

Рассмотрим выборку, состоящую из т случайных величин X: . Пусть случайная величина X описывается функцией плотности распределения

/ (X) = -1 кп (С2), х > 0 , (1)

где &„(•) - плотность центрального х2-распределения с п степенями свободы, с2 -дисперсия.

Сравним статистические свойства случайных величин 2, V и Ж, сформированных из случайной выборкиX (1 ^ ^ т) тремя различными способами:

1) 2 = ^ Х1 имеет центральное х2-распределение с пт степенями свободы,

|az = nmo , o2Z = 2nmo4,

и в силу центральной предельной теоремы при достаточно больших значениях т ее функция плотности распределения нормализуется, т.е. 2

где Х(.) (1 < / < т) - упорядоченные величины (порядковые статистики) статистики Х, такие, что Х(1) < Х(2) <. <Хо <. < Х(т). Если случайные величины Х статистически независимы и одинаково распределены, то случайные величины Хо зависимы из-за неравенств между ними, 1 выбирается из условия Х(1 -1) - Х(

h = const - фиксированный порог. Таким образом, l - случайная величина, зависящая от порядковых статистик выборки Xi>

Рассмотрим случайную величину Y , которая связана со случайной величиной Х нелинейным преобразованием

Функция плотности g(x) случайной величины определяется следующим об-

g (х) = 5(0)а + / (х) I (х),

а = | f (x)dx , индикатор I (x) = Г

0 при 0 < x<h, при x > h,

h - порог, 5 - дельта-

функция, введенная для сохранения условий нормировки J g (x)dx = 1.

Рис. 1. Функции плотности случайных величин f (x) и g (x)

Математическое ожидание случайной величины Y определяется следующим образом: