Тема 2. Квантовые свойства частиц. П.1. Моделирование вещества. Волна де Бройля

1 Тема. Квантовые свойства частиц П.1. Моделирование вещества. Волна де Бройля П.. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. П.3. Волновая функция (ВФ), ее основные свойства. П.4. Свободная частица. П.5 Уравнение Шредингера. 1

2 П.1. Моделирование вещества. Волна де Бройля Проблема: Как моделировать частицы, из которых состоит обычное вещество? Известно, как моделировать ЭМИ в различных ситуациях. Дифракция электронов это явление, при котором поток электронов надо моделировать как волну. Рассмотрим устройство электронно-лучевой трубки, в которой наблюдается явление дифракции электронов.

3 диафрагма люминесцентный экран пушка катод P ДО P X P вакуумированная колба ПОС ϕ Х Такая картина устойчивого перераспределения интенсивности свечения экрана наблюдается в эксперименте. Волна, описывающая наблюдаемую дифракцию электронов, имеет длину волны h λ =. mэлv ТЕСТ эл 3

4 Волна, имеющая λ = h p и моделирующая движение частицы через отверстие, получила название волны де Бройля. Замечание: Взаимодействие электрона с люминофором требует модели частица. При попадании электрона на люминофор наблюдается вспышка зерна люминофора. Модель «поток частиц» применяется для электронов, движущихся от пушки до диафрагмы и от диафрагмы до экрана. Интенсивность свечения экрана (количество вспышек на единицу площади экрана за 1 сек) пропорциональна плотности вероятности попадания электрона в область вблизи данной точки х на экране трубки. 4

5 Вывод: Волна, моделирующая электрон, есть волна плотности вероятности. ТЕСТ 5

6 П.. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Проблема: Что происходит с корпускулярными характеристиками частицы, когда применима волновая модель? Известно, что у дифрагировавшего на щели электрона проявляется вертикальная составляющая импульса P ПОСЛЕ X, которой не было до щели (см. рисунок). Ее можно считать неопределенностью импульса, т.к. после щели импульс равен ПОСЛЕ P = P ± P. ПОСЛЕ ДО X 6

7 Из анализа дифракционной картины можно получить следующее соотношение: P ПОСЛЕ X Отсюда Р ПОСЛЕ X х, d где ширина щели в диафрагме d = x. Аналогично для трехмерного случая: P Y y, P Z z. соотношение неопределенностей для проекций импульса и координаты на ОХ. Для энергии ТЕСТ 7 E Соотношения неопределенностей Гейзенберга позволяют сопоставить характеристики волновой и корпускулярной сторон универсальной модели (волна и поток частиц корпускул). t.

8 П.3. Волновая функция (ВФ), ее основные свойства. Любые движущиеся частицы можно моделировать с помощью волновых функций ψ(,t). r Волновая функция есть волна плотности вероятности, моделирующая движение любого материального объекта. Проблема: Какими свойствами обладает ВФ, каков ее физический смысл? Для элементарного объема dv dp элементарная вероятность попадания туда частицы пропорциональна dv: dp = ψ dv 8

9 Физический смысл ВФ: квадрат модуля волновой функции есть плотность вероятности обнаружения частицы вблизи данной точки. ψ Условие нормировки волновой функции: Если частица действительно присутствует в данном объеме V, то имеет место стопроцентная вероятность (полная достоверность) обнаружить ее в этом объеме. Если частица в объеме V есть, то P(V)=100%=1, или V ψ dv = 1 - условие нормировки. Замечание: Волновая функция должна быть непрерывной и гладкой функцией координат и времени. ТЕСТ ТЕСТ 9 = dp dv

10 П.4. Свободная частица. Задача: построить квантовомеханическое описание наиболее простого объекта. Решение: наиболее простым объектом является свободная частица, движущаяся в свободном пространстве. Свободной называется частица, на которую, нет никаких воздействий. Из классической механики мы знаем, что такая частица в инерциальной системе отсчета движется равномерно и прямолинейно, либо покоится: V = const, если F = СУМ 0. ЗАМЕЧАНИЕ: Для свободной частицы с неизменной массой не будут меняться также импульс и кинетическая энергия: P = const и E = К const. 10

11 h СЛЕДСТВИЕ: Для свободной частицы λ = = const, P и при волновом моделировании свободная частица выглядит, как гармоническая волна (λ = const). Запишем общий вид гармонической волны: ψ ( r, t) = A0 cos( ω t kr), где k = π волновое число, λ 1 циклическая частота ω, обычная частота ν =. T Длина волны λ - расстояние проходимое волной за период. Замечание: Гармоническая волна абстракция, она нигде не начинается и нигде и никогда не заканчивается. Область, которую занимает волна (частица), равна бесконечности. Получается противоречие со здравым смыслом частица занимает все пространство, т.е. вероятность найти ее везде одна и та же. 11

12 Замечание: В комплексном виде волновая функция для свободной частицы выглядит так: i( ω t kx) ψˆ (x,t) = ψ e. Выход из противоречия: локализация волны и частицы. Рассмотрим, как моделировать с помощью волны частицу, которая локализована, т.е. находится в определенной области пространства. Попробуем ограничить синусоиду. Моделью реальной частицы является «волновой пакет». x, p 0. Частица в данном случае локализована на отрезке x. Неопределенность импульса определяется соотношением (неопределенностей Гейзенберга): p =. ТЕСТ x 1 0

13 Это означает, что у частицы нет точной координаты и точного значения скорости. Бессмысленно говорить и о траектории движения частицы. Можно говорить только о вероятности найти частицу в той или иной области. Ее определяет квадрат модуля волновой функции. Проблема: Как движется волновой пакет, описывающий локализованную частицу? Из теоремы Фурье справедливо представление волнового пакета в виде интеграла Фурье по гармоническим волнам: ψ (x, t) = ω 0 + ω ψ ω 0 ω 0( ω )cos( ω t kx)dω. 13

14 Вывод: Совокупность синусоид с частотами, близкими к ω 0, является моделью, описывающей реальную частицу, локализованную на отрезке x. Ее импульс имеет неопределенность p. Скорость движения частицы есть групповая скорость для волнового пакета. Противоречие: Фазовая скорость отдельных составляющих оказывается различной, что приводит к дисперсии даже в вакууме. Форма пакета с течением времени «размывается». 14

15 П.5 Уравнение Шредингера. Проблема: Какое уравнение справедливо для ВФ в конкретных случаях? Решение: Возьмем простой частный случай свободную частицу (фотон) i( ω t kx) ψˆ (x,t) = ψ e. Преобразуем это выражение: циклическую частоту и волновое число свяжем с энергией Е и импульсом Р. hω E E = hν = = ω, ω = = const. π π h P По определению k =, λ =, отсюда: k = = const. λ P 0 15

16 Подставим в ВФ и получим Продифференцируем по t и по x: ψˆ (x, t) = ψ dψˆ i d ψˆ 1 = Eψˆ, = P ψˆ. dt dx 1 dψˆ 1 dψˆ E = = i, = i ψˆ dt ψˆ dt 0 e i (Et Px). Отсюда 1 ψˆ d ˆ dx ψ P. P Из механики для МТ имеем: + U E. m = Подставим и получим 1 d ψ 1 dψ Домножим на ψˆ слева и U = i. m ψ dx ψ dt справа, перегруппируем и получим нестационарное d ψ dψ + i Uψ = 0. уравнение Шредингера: m dx dt 16

17 ЗАДАЧА: Получить уравнение, в котором не было бы времени. Такие уравнения называются стационарными. Их решения не зависят от времени и описывают неменяющееся, устойчивое состояние частицы. Частица, движущаяся в потенциальном поле с потенциальной энергией U(x,y,z), имеет ВФ вида ψˆ (x,t) = ψ i Px i Et e 0 e = ψˆ (x) ψˆ (t). У каждого слагаемого в уравнении Шредингера - одинаковый общий множитель, и, если он не равен 0, то на него можно разделить все слагаемые. Получим: d ψ dx + 8π h m (E U) ψ = 0 - стационарное уравнение Шредингера. ТЕСТ 17