Тренировочные варианты «Школково». Официальный пробный ЕГЭ. 21 апреля 2017

В магазине вся мебель продается в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет \(20\%\) от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 4100 рублей. Во сколько рублей обойдется покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Найдем стоимость сборки: \(4100\cdot 20:100=820\) рублей. Следовательно, за шкаф и сборку покупатель заплатит \(4100+820=4920\) рублей.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, в каком месяце среднемесячная температура впервые превысила \(14^\circ C\) . В ответе запишите номер месяца. (Например, ответ 1 обозначает январь.)

По диаграмме видно, что впервые температура превысила \(14^\circ C\) в мае:

Это 5-ый по счету месяц.

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

По теореме синусов отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности: \[\dfrac a=2R\] Возьмем за угол \(\alpha\) угол \(A\) , тогда \(a=BC\) . Заметим, что \(\alpha=45^\circ\) , так как \(\triangle B'AC'\) прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, \(\sin\alpha=\dfrac2\) .

Найдем из прямоугольного \(\triangle BHC\) по теореме Пифагора \(BC\) : \[BC=\sqrt=5\sqrt2\] Следовательно, \[R=\dfrac=5\]

В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты.

Событие “все три продавца одновременно заняты” равно событию “занят первый продавец И занят второй продавец И занят третий продавец”. Так как каждый продавец занят с вероятностью 0,7 независимо от других, то вероятность этого события равна произведению вероятностей событий “занят первый продавец” , “занят второй продавец” и “занят третий продавец”: \[0,7\cdot 0,7\cdot 0,7=0,343.\]

Найдите корень уравнения \[\log_(9-5x)=-3\]

ОДЗ данного уравнения: \(9-5x>0\) . Решим на ОДЗ: \[\log_(9-5x)=-3 \quad\Rightarrow\quad 9-5x=\left(\dfrac14\right)^ \quad\Leftrightarrow\quad 9-5x=64 \quad\Leftrightarrow\quad x=-11.\] Данный ответ подходит по ОДЗ.

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AB\) боковая сторона равна \(16\sqrt7\) , \(\sin\angle BAC=0,75\) . Найдите длину высоты \(AH\) .

Проведем \(CK\perp AB\) . Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC=\angle ABC\) , следовательно, \(\sin \angle ABC=0,75=\frac34\) .Тогда из \(\triangle CKB\) : \[\dfrac34=\dfrac \quad\Rightarrow\quad CK=12\sqrt7.\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle CKB\) : \[KB=\sqrt=\sqrt= 4\cdot 7=28.\] Следовательно, так как \(CK\) также является и медианой, то есть \(AK=KB\) , имеем: \(AB=2KB=56\) .Тогда из \(\triangle AHB\) : \[\dfrac34=\dfrac \quad\Rightarrow\quad AH=42.\]

На рисунке изображен график функции \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\) . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции \(y=f(x)\) параллельна прямой \(y=10-7x\) или совпадает с ней.

Необходимо найти \(x_0\) , в которой к \(f(x)\) проведена касательная, причем эта касательная параллельна или совпадает с \(y=10-7x\) .Пусть уравнение касательной: \(y=kx+b\) . Так как она параллельна или совпадает с \(y=10-7x\) , то их угловые коэффициенты равны, то есть \(k=-7\) .Угловой коэффициент касательной к \(f(x)\) равен значению \(f'(x)\) в точке касания \(x_0\) , то есть \(k=-7=f'(x_0)\) .

Так как на графике как раз дана производная, то необходимо найти такую точку с абсциссой \(x_0\) , у которой значение ординаты \(y_0=f'(x_0)\) равно \(-7\) . Из рисунка видно, что на графике есть только одна точка с ординатой -7 – это точка \((-2;-7).\)

Даны два цилиндра. Объем первого цилиндра равен \(8\) . У второго цилиндра высота в 4 раза меньше, а радиус основания в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.

Объем цилиндра с высотой \(h\) и радиусом основания \(R\) вычисляется по формуле \[V=\pi R^2\cdot h\] Следовательно, для первого цилиндра имеем равенство: \[8=\pi R^2\cdot h\] У второго цилиндра высота равна \(\frac14h\) , а радиус основания равен \(3R\) . Следовательно, его объем: \[V_2=\pi (3R)^2\cdot \dfrac14h=\dfrac94\cdot \pi R^2\cdot h=\dfrac94\cdot 8 =18.\]

Найдите значение выражения \[\dfrac\]

Автомобиль, масса которого равна \(m=2000\) кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение \(t\) секунд остается неизменным, и проходит за это время путь \(S=1000\) метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю (тяга двигателя), равно \(F=\dfrac\) .

Определите время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила \(F\) , приложенная к автомобилю, равна \(1600 H\) . Ответ выразите в секундах.

Подставим значения в формулу: \[1600=\dfrac \quad\Rightarrow\quad t^2=\dfrac \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac=50,\] так как \(t>0\) – время.

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте 3 секундам. Ответ дайте в метрах.

Фраза “пассажирский поезд прошел мимо товарного” означает, что в начале наблюдения нос пассажирского находился напротив хвоста товарного, а в конце – хвост пассажирского находился напротив носа товарного:

Зафиксируем две точки: нос пассажирского и хвост товарного. Тогда в начале наблюдения расстояние между ними было равно 0 м, а в конце наблюдения расстояние между ними было равно длине товарного поезда плюс длина пассажирского.Заметим, что нос пассажирского поезда удаляется от хвоста товарного на \(90-30=60\) км за каждый час. Следовательно, скорость удаления равна \[v_=60 \ \dfrac= \dfrac \ \dfrac=\dfrac3 \ \dfrac\]

Пусть \(l\) м – длина пассажирского поезда. 1 минута 3 секунды равна 63 секундам, следовательно: \[l+900=63\cdot \frac3 \quad\Rightarrow\quad l=150 \ ()\]

Найдите точку минимума функции \(y=x^3-4x^2-3x-13.\)

Найдем производную: \[y'=3x^2-8x-3\] Найдем нули производной: \[3x^2-8x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=-\dfrac13 \quad \quad x_2=3.\] Найдем знаки производной на промежутках:

Точка минимума – это точка, в которой производная меняет свой знак с минуса на плюс, следовательно, \(x_=3\) .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi; -\dfrac2\right].\)

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac2+x\right)=\sin x\) , следовательно, уравнение примет вид: \[\dfrac1-\dfrac3+2=0\]

Сделаем замену \(t=\dfrac1\) , тогда \[t^2-3t+2=0 \quad\Rightarrow\quad t_1=1 \quad \quad t_2=2.\] Следовательно, \(\sin x=1\) , что равносильно \(x=\dfrac2+2\pi m, m\in\mathbb\) ;

\(\sin x=\dfrac12\) , что равносильно \(x=\dfrac6+2\pi k\) и \(x=\dfrac6+2\pi n\) , \(k,n\in\mathbb\) .

б) Отберем корни.

\(-2\pi \leqslant \dfrac6+2\pi k\leqslant -\dfrac2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac\leqslant k\leqslant -\dfrac13\) . Так как \(k\) – целое, то \(k=-1\) , следовательно, \(x=-\dfrac6\) .

\(-2\pi \leqslant \dfrac6+2\pi n\leqslant -\dfrac2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac\leqslant n\leqslant -\dfrac23\) . Так как \(n\) – целое, то \(n=-1\) , следовательно, \(x=-\dfrac6\) .

\(-2\pi \leqslant \dfrac2+2\pi m\leqslant -\dfrac2\quad\Rightarrow\quad -\dfrac54\leqslant m\leqslant -\dfrac12\) . Так как \(m\) – целое, то \(m=-1\) , следовательно, \(x=-\dfrac2.\)

а) \(\dfrac6+2\pi k; \dfrac6+2\pi n; \dfrac2+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb\)

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со стороной \(AB=5\) и диагональю \(BD=9\) . Все боковые ребра пирамиды равны \(5\) . На диагонали \(BD\) основания \(ABCD\) отмечена точка \(E\) , а на ребре \(AS\) – точка \(F\) так, что \(SF=BE=4\) .

а) Докажите, что плоскость \(CEF\) параллельна ребру \(SB\) .

б) Плоскость \(CEF\) пересекает ребро \(SD\) в точке \(Q\) . Найдите расстояние от точки \(Q\) до плоскости \(ABC\) .

а) Продлим \(CE\) до пересечения с \(AB\) в точке \(K\) . Получим отрезок \(FK\) , по которому плоскость \(CEF\) пересекает грань \(SAB\) . Рассмотрим основание пирамиды:

\(DE=9-4=5=DC\) , следовательно, \(\triangle DEC\) равнобедренный. Тогда \(\angle DCE=\angle DEC=\angle BEK=\angle BKE\) , следовательно, \(\triangle BEK\) тоже равнобедренный и \(BE=BK=4\) . Тогда \(AK=5-4=1\) .

Заметим, что боковые грани \(ASB\) и \(CSD\) представляют собой равносторонние треугольники со стороной \(5\) . Таким образом, в \(\triangle AFK\) \(AF=AK=1\) и \(\angle FAK=60^\circ\) , следовательно, он также равносторонний, то есть \(FK\parallel SB\) ( \(\angle AKF=\angle ABS=60^\circ\) как соответственные при секущей \(AB\) ). Таким образом, в плоскости \(CEF\) есть прямая \(FK\) , параллельная \(SB\) . Следовательно, по признаку плоскость \(CEF\) параллельна \(SB\) .

б) Так как плоскость \(CEF\parallel SB\) , то она пересечет плоскость \(BSD\) по прямой \(EQ\) , параллельной \(SB\) (в противном случае \(EQ\) будет пересекать \(SB\) , следовательно, и плоскость \(CEF\) будет пересекать \(SB\) ). Рассмотрим \(\triangle BSD\) :

Заметим, что так как все боковые ребра пирамиды равны, то высота \(SO\) упадет в точку пересечения диагоналей основания (все треугольники \(SAO\) , \(SBO\) , \(SCO\) и \(SDO\) будут равны как прямоугольные по катету и гипотенузе, следовательно, \(AO=BO=CO=DO\) , следовательно, \(O\) – точка пересечения диагоналей).Проведем \(QH\parallel SO\) . Так как \(SO\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) , то и \(QH\perp (ABC)\) . Таким образом, необходимо найти \(QH\) .Так как \(EQ\parallel SB\) , то по теореме Фалеса: \[\dfrac54=\dfrac=\dfrac \quad\Rightarrow\quad \dfrac=\dfrac59\] Так как \(\triangle DQH\sim \triangle DSO\) (по двум углам), то \[\dfrac=\dfrac \quad\Rightarrow\quad QH=\dfrac59SO\] Таким образом, необходимо найти \(SO\) .Из прямоугольного \(\triangle SOB\) : \[SO=\sqrt=\sqrt=\dfrac2\] Следовательно, \[QH=\dfrac.\]

Найдем ОДЗ логарифмов: \[\begin 9x>0\\ 64x>0 \end \quad\Leftrightarrow\quad x>0\] Заметим, что на этом ОДЗ \(|x|=x\) . Тогда на ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно: \[\dfrac\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:

Следовательно, решением будут \(x\in \left(0;\dfrac1\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\) .Пересекая данный ответ с ОДЗ \(x>0\) , получаем окончательный ответ: \[x\in \left(0;\dfrac1\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\]

Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) , перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\) . При этом \(AK:KC=1:2\) .

а) Докажите, что \(\angle BAC=30^\circ\) .

б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\) , а прямые \(AP\) и \(BK\) – в точке \(Q\) . Найдите \(KQ\) , если \(BC=2\sqrt3\) .

а) Пусть \(AK=x, \ KC=2x\) . Проведем \(BL\parallel MK\) . Тогда по теореме Фалеса \[\dfrac=\dfrac11=\dfrac \quad\Rightarrow\quad LK=KA=x \quad\Rightarrow \quad CL=x.\]

Тогда также по теореме Фалеса: \[\dfrac=\dfrac11=\dfrac \quad\Rightarrow\quad CO=OM.\] Следовательно, \(BO\) – медиана и высота ( \(MK\perp CM, \ BO\parallel MK \quad\Rightarrow\quad BO\perp CM\) ), следовательно, \(\triangle CBM\) равнобедренный и \(CB=BM\) . Следовательно, \(CB=\frac12BA\) . Так как катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла в \(30^\circ\) , то \(\angle BAC=30^\circ\) .

б) Рассмотрим \(\triangle PMC\) : \(\angle PMC=90^\circ\) . Так как \(BM=BC\) , то \(BM=BC=BP\) , то есть \(B\) – середина \(CP\) ( \(\angle BCM=\angle BMC=60^\circ\) , следовательно, \(\angle CPM=30^\circ=\angle PMB\) , следовательно, \(BP=BM\) ).Проведем \(BS\parallel AP\) . Тогда \(BS\) – средняя линия треугольника \(APC\) . Значит, \(CS=SA\) .

Из прямоугольного \(\triangle ABC\) : \[\mathrm\,30^\circ=\dfrac \quad\Rightarrow\quad AC= BC\cdot \sqrt3=6.\] Следовательно, \(CS=SA=3\) , а так как \(CK:KA=2:1\) , то \(KA=2\) и \(SK=1\) .Заметим, что \(\triangle BKS\sim \triangle QKA\) по двум углам ( \(\angle BKS=\angle QKA\) как вертикальные, \(\angle BSK=\angle QAK\) как накрест лежащие при \(AQ\parallel BS\) и \(SA\) секущей). Следовательно, \[\dfrac=\dfrac12=\dfrac \quad\Rightarrow\quad KQ=2BK.\] Найдем \(BK\) .По теореме Пифагора из \(\triangle BKC\) : \[BK=\sqrt=\sqrt=2\sqrt\] Следовательно, \[KQ=4\sqrt7.\]

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку \(r\) , если известно, что последний платеж будет не менее 0,92 млн. рублей.

Фраза “на начало июля каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.Составим таблицу (ведя вычисления в млн. рублей), обозначив величину \(\dfrac=0,01r=t\) : \[\begin \hline \text & \text\% & \text\% & \text\\ \hline 1 & 8 & 8+t\cdot 8 & \frac1\cdot 8+t\cdot 8\\ \hline 2 & \frac9\cdot 8 & \frac9\cdot 8+t\cdot \frac9\cdot 8 & \frac1\cdot 8 + t\cdot \frac9\cdot 8\\ \hline . & . & . & . \\ \hline 10 & \frac1\cdot 8 & \frac1\cdot 8+t\cdot \frac1\cdot 8 & \frac1\cdot 8+t\cdot \frac1\cdot 8\\ \hline \end\] Таким образом, последний платеж равен \(\frac1\cdot 8+t\cdot \frac1\cdot 8\) . Следовательно, из условия получаем: \[\frac1\cdot 8+t\cdot \frac1\cdot 8\geqslant 0,92 \quad\Leftrightarrow\quad t\geqslant \dfrac3 \quad\Rightarrow\quad r\geqslant \dfrac\] Значит, наименьшая процентная ставка равна \(15\%\) .

Найдите все значения \(a\) , для каждого из которых уравнение \[25^x-(a+6)\cdot 5^x=(5+3|a|)\cdot 5^x-(a+6)(3|a|+5)\]

имеет единственное решение.

Сделаем замену \(t=5^x, t>0\) и перенесем все слагаемые в одну часть: \[t^2-\bigg((a+6)+(5+3|a|)\bigg)\cdot t+(a+6)(3|a|+5)=0\] Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\) и \(t_2=5+3|a|\) . Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\) тоже имело один (положительный!) корень.Заметим сразу, что \(t_2\) при всех \(a\) будет положительным. Таким образом, получаем два случая:

1) \(t_1=t_2\) : \[a+6=5+3|a| \quad\Leftrightarrow\quad 3|a|=a+1 \quad\Leftrightarrow\quad \begin \left[\begin\begin & 3a=a+1\\ &3a=-a-1 \end \end \right. \\ a+1\geqslant 0 \end\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin & a=\dfrac12\\[2ex] &a=-\dfrac14 \end \end \right.\]

2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\) : \[a+6\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad a\leqslant -6.\]

Известно, что \(a, b, c, d\) – попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство \(\dfrac=\dfrac7 \ ?\)

б) Может ли дробь \(\dfrac\) быть в 12 раз меньше, чем сумма \(\dfrac ab+\dfrac cd \ ?\)

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\dfrac\) , если \(a>4b\) и \(c>7d \ ?\)

а) Предположим, что выполняется равенство \[\dfrac=\dfrac7\] Тогда \(a+c=7k\) , \(b+d=23k\) , где \(k\) – натуральное число. Так как \(a, c\) – двузначные числа, то наименьшее значение \(a+c\geqslant 10+11=21\) , следовательно, \(7k\geqslant 21 \quad\Rightarrow\quad k\geqslant 3\) .Возьмем \(k=3\) . Тогда \(a+c=21\) , \(b+d=69\) . Следовательно, можно взять, например, \(a=10\) , \(c=11\) , \(b=16\) , \(d=53\) .Ответ: да.

б) Предположим, что может быть \[12\cdot \dfrac=\dfrac ab+ \dfrac cd\] Перепишем это равенство в другом виде: \[12\cdot \dfrac a+12\cdot \dfrac c = \dfrac ab+\dfrac cd\] Докажем, что \[12\cdot \dfrac a>\dfrac ab \quad \quad 12\cdot \dfrac c>\dfrac cd\] Из этого будет следовать, что предположение неверно и такое равенство невозможно. Рассмотрим первое неравенство. \[12\cdot \dfrac a>\dfrac ab \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac a>\dfrac a=\dfrac a\] Так как все числа двузначные, то \(11b \geqslant 11\cdot 10=110\) . Следовательно, \(d<11b\) , а значит и левая дробь всегда строго больше правой.Аналогично доказывается второе неравенство.Следовательно, ответ: нет.

в) Так как все числа натуральные, то из \(a>4b\) можно сделать вывод, что \(a\geqslant 4b+1\) . Аналогично \(c\geqslant 7d+1\) . Подставим: \[\dfrac \geqslant \dfrac=4+\dfrac\] Таким образом, наименьшее значение выражение будет принимать при наименьшем значении выражения \(\dfrac\) . Так как дробь тем меньше, чем больше ее знаменатель (при фиксированном числителе), то максимизируем знаменатель (то есть максимизируем \(b\) ).Так как \(a\) – двузначное, то максимальное значение для \(a\) – это 99, следовательно, \(4b+1\leqslant 99\) , следовательно, \(b\leqslant 24\) . Таким образом, получаем: \[\dfrac \geqslant 4+\dfrac=4+\dfrac =4+3-\dfrac\]

Теперь для того, чтобы полученное справа выражение было как можно меньше, нужно сделать как можно больше \(\dfrac\) , то есть сделать как можно меньше \(d\) .Наименьшее значение для \(d\) – это \(10\) . Следовательно: \[\dfrac \geqslant4+3-\dfrac=4\frac\] Таким образом, если наименьшее значение \(4\frac\) достигается, то \(b=24\) , \(d=10\) , \(a= 4\cdot 24+1=97\) , \(c= 7\cdot 10+1=71\) .