ПОСТРОЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ТОЧЕК КВАДРАТИЧНОГО КРЕМОНОВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ЗАДАННОГО СЕМЬЮ ПАРАМИ СООТВЕТСТВЕННЫХ ТОЧЕК

Предлагается конструктивное решение задачи построения фундаментальных точек квадратичного бирационального преобразования, заданного семью парами со-ответственных точек. Для точного решения задачи используются средства компьютерного геометрического моделирования.

Ключевые слова: пучок кривых второго порядка, центральное квадратичное преобразование, инвариантная коника, проективные пучки, преобразование Гирста.

Введение

Развитие средств компьютерной графики приводит не только к появлению принципиально новых методов геометрического моделирования [1], но и предоставляет возможность конструктивного решения классических задач теоретической и прикладной геометрии. Одна из таких задач, связанная с теорией бирациональных (кремоновых) преобразований плоскости, была поставлена еще в 19 веке российским геометром К.А. Андреевым: требуется найти способ построения восьмой пары соответственных точек в квадратичном преобразовании, заданном семью парами точек. Решение сводится к построению двух корреляций, в которых искомая восьмая пара точек определяется с помощью линейного построения [2].

Обобщая задачу К.А. Андреева, приходим к проблеме поиска фундаментальных точек (F-точек) квадратичного преобразования, заданного семью парами соответственных точек. Почти полтора столетия обобщенная задача К.А. Андреева оставалась нерешенной. Формирование конструктивного алгоритма решения задачи и его практическая реализация стали возможны лишь с помощью средств компьютерного геометрического моделирования.

Постановка задачи

Выполним проективное преобразование плоскости П, переводящее четырехугольник ABCD в четырехугольник, конгруэнтный четырехугольнику A′B′C′D′ поля П′. Совместим плоскости П и П′ до совмещения конгруэнтных четырехугольников. Получаем задачу: на совмещенной плоскости П=П′ требуется найти F-точки преобразования, заданного семью парами точек, из которых четыре пары точек совпадают.

Вспомогательная задача

Из трех пар не совпадающих соответственных точек выделим какие-либо две пары, например, E-E′, R-R′, не принимая во внимание оставшуюся пару T-T′. Сформулируем вспомогательную задачу: на совмещенной плоскости П=П′ надо найти F-точки квадратичного преобразования wER, заданного шестью парами соответственных точек A=A′, B=B′, C=C′, D=D′, E

Ассоциированные точки F1, F′1 преобразования wER определяются на пересечении прямых, соединяющих соответственные точки E

R′. Проективные пучки (F1) и (F′1) тождественны. Получаем центральное квадратичное преобразование с центром F1=F′1=EE′∩RR′. Произвольное коническое сечение, проходящее через совпадающие соответственные точки, представляет собой инвариантную конику преобразования wER. Через четыре точки можно провести пучок конических сечений Ф, поэтому существует однопараметрическое множество квадратичных преобразований, удовлетворяющих условиям вспомогательной задачи.

Выделяя произвольное коническое сечение k1 пучка Ф, получаем центральное квадратичное преобразование (wER)1, заданное центром F1=F′1=EE′∩RR′, инвариантной коникой k1 и двумя парами соответственных точек E-E′, R-R′. Ассоциированные точки F2, F′2 этого преобразования принадлежат конике k1. Действительно, соответственные лучи проективных пучков (F2) и (F′2) должны пересекаться в совпадающих соответственных точках на k1, следовательно, вершины F2, F′2 этих пучков должны быть инцидентны k1. Ассоциированные точки F3, F′3 преобразования (wER)1 также инцидентны k1.

Конструктивный алгоритм построения F-точек

Совмещаем поля П, П′ до совпадения каких-либо четырех пар соответственных точек, например, A=A′, B=B′, C=C′, D=D′. Для обеспечения такого совмещенного положения полей требуется предварительно выполнить коллинеарное преобразование одного из полей.

Действие 1. Исключаем из рассмотрения какую-либо пару не совпадающих соответственных точек, например, T-T′. Рассматриваем однопараметрическое семейство квадратичных преобразований ωER, заданное четырьмя парами совпадающих соответственных точек и двумя парами не совпадающих соответственных точек E-E′, R-R′. Выделяя три произвольных конических сечения k1, k2, k3=AC∩BD пучка Ф(ABCD), получаем три центральных квадратичных преобразования (wER)1, (wER)2, (wER)3 с общим центром F1=F′1 и инвариантными кониками k1, k2, k3 (рис. 1).

Решая вспомогательную задачу, на каждой конике k1, k2, k3 находим две пары ассоциированных точек F2

F′3, из которых все соответственные точки (кроме исключенной пары T

Лемма 1. Хорды fi и f′i образуют пучки прямых, проективные пучку конических сечений ki. Доказательство леммы основано на теореме Паскаля и на свойствах проективных соответствий в образах второго порядка.

Таким образом, согласно лемме 1, пучки хорд (QER) и (Q′ER) проективны пучку коник Ф.

Действие 2. Исключаем из рассмотрения другую пару не совпадающих соответственных точек, например, R

Решая вспомогательную задачу, на каждой конике находим две пары ассоциированных точек F2

F′3, из которых все соответственные точки (кроме исключенной пары R

Примечание. Если в действиях 1…3 используются вырожденные коники пучка Ф, то построение F-точек и пучков хорд в преобразованиях w выполняется геометрически точно (“одной линейкой”).

Действие 4. Рассмотрим пару w-преобразований, например, wER и wET. Пучки хорд, порожденные этой парой преобразований, проективны пучку коник Ф, следовательно, проективны между собой.

Примечание. В результате выполнения действий 4, 5 получены две пары вспомогательных кривых второго порядка gE

g′T. Далее будет показано, что решение задачи поиска F-точек преобразования Ω сводится к построению точек пересечения gE∩gT, g′E∩g′T этих кривых. Задача построения точек пересечения кривых второго порядка не может быть решена геометрически точно (“линейкой и циркулем”).

Действие 6. Возвращаемся к рассмотрению исходного квадратичного преобразования, заданного семью парами соответственных точек, из которых четыре пары совпадают.

Доказательство леммы 2 основано на том обстоятельстве, что проективно соответственные лучи в пучках (Fi), (F′i) определяют конику fi, проходящую через базисные точки пучка Ф (рис. 3).

Таким образом, для окончательного решения поставленной задачи достаточно отметить точки пересечения gE-gT, g′E-g′T вспомогательных конических сечений. В соответствии с леммой 2, эти точки являются искомыми F-точками преобразования Ω на совмещенной плоскости П=П′.

Исследование

Вспомогательные кривые второго порядка gE, gT пересекаются в четырех точках. Чтобы выбрать из них искомые точки F1, F2, F3, заметим, что коника gE образована проективными пучками (QET) и (QER), а коника gT – проективными пучками (QET) и (QRT). Вспомогательные кривые gE, gT проходят через вершину QET общего для обеих коник пучка (QET). Следовательно, QET – одна из четырех точек пересечения вспомогательных кривых. Оставшиеся три точки пересечения указывают искомые F-точки исследуемого квадратичного преобразования.

Чтобы из найденных F и F′ точек выделить ассоциированные пары, напомним, что ассоциированные пары F-точек располагаются на одной и той же конике пучка Ψ (см. рис. 3). Поэтому для выделения точки F′1, ассоциированной с точкой F1, достаточно начертить коническое сечение f1, проходящее через F1 и через базисные точки пучка Ф. Коника f1 пройдет через искомую точку F′1. Точно так же определяются две другие пары ассоциированных F-точек.

Две точки пересечения вспомогательных коник могут быть мнимыми. В этом случае получаем квадратичное преобразование с двумя парами мнимых сопряженных F-точек, которое может быть приведено (посредством специально подобранного проективного преобразования одного из полей П, П′) к преобразованию Гирста с центром внутри инвариантной коники. Преобразование Гирста с внутренней центральной точкой, в свою очередь, может быть сведено к инверсии относительно окружности.

Графический эксперимент

Искомые F-точки найдены на пересечении двух пар вспомогательных коник gE-g′E и gT-g′T. Конические сечения gE и g′E образованы проективными пучками, порожденными преобразованиями wER и wET (см. действие 4). Коники gT и g′T образованы проективными пучками (QRT) и (QET), порожденными преобразованиями wRT и wET (см. действие 5). Для проверки решения найдем еще одно вспомогательное коническое сечение gR, образованное проективными пучками хорд (QRT) и (QER) в преобразованиях wRT и wER. Коническое сечение gR проходит через точку R, через вершины проективных пучков QRT, QER и через ранее найденные F-точки, что подтверждает достоверность разработанного алгоритма и правильность найденного решения (рис. 4). Особо отметим замечательную конструктивную точность найденного решения: три конических сечения четко (с точностью “до привязок”) пересекаются в искомых точках!

Заключение

Предложен алгоритм построения фундаментальных точек квадратичного бирационального (кремонова) преобразования, заданного семью парами соответственных точек. Для реализации алгоритма требуется вычерчивать вспомогательные кривые второго порядка и отмечать точки их пересечения. Эти операции выполняются с помощью компьютерной программы “Универсальный коникограф” [4, 5]. Отличительная особенность программы состоит в том, что она выполняет геометрически точное построение не кривой второго порядка, а ее метрики – главных осей, фокусов и асимптот. Только после определения метрики вычерчивается непрерывная кривая. Очевидно, если известна метрика (главные оси и др.) кривой второго порядка, то последующее ее вычерчивание не вызывает затруднений и может быть выполнено на компьютере с любой заранее заданной степенью точности. В качестве исходных данных для определения метрики конического сечения может быть задан любой внутренне непротиворечивый набор точек и касательных, в том числе – мнимых [6].

Практическая значимость предложенного алгоритма связана с принципиальным свойством кремонова преобразования: образом рациональной кривой является рациональная кривая. Рациональные кривые наилучшим образом подходят для конструирования технических форм, так как в силу рациональности расчет их локальных геометрических характеристик осуществляется наиболее просто. В связи с этим кремоновы преобразования широко применяются для конструирования рациональных кривых с заданными динамическими свойствами [3]. Полученный в статье результат служит развитию теории кремоновых преобразований и применению их в практике геометрического компьютерного моделирования.

Список литературы

1. Толок, А.В. Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании: монография / А.В. Толок. – М.: Физматлит, 2016. – 112 с.

2. Андреев, К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий / К.А. Андреев – М.: Издание Московского Математического общества, состоящего при Императорском Московском Университете, 1879. – 168 с.

3. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей: монография / Г.С. Иванов. – М.: Машиностроение, 1987. – 192 с.

4. Короткий, В.А. Универсальный компьютерный коникограф / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Труды 26-й Международной научной конференции GraphiCon 2016 (19-23 сентября 2016), ННГАСУ, Нижний Новгород, Россия. – С. 347-351.

5. Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011. Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых (программа для ЭВМ) / Короткий В.А.

6. Короткий, В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. 2016. Т. 4. № 4. С. 19-30. DOI: 10.12737/22840.

Рисунки к докладу

Коники, образованные проективными пучками хорд в преобразованиях wER и wET: а – коника gE в поле П; б – коника g′E в поле П′