Свойства уравнений с запаздыванием и примеры их применения в моделировании опто-электронных и нейронных систем

1 Свойства уравнений с запаздыванием и примеры их применения в моделировании опто-электронных и нейронных систем Сергей Янчук Институт математики Технический Университет, г. Берлин, Германия Нелинейные волны 2016

2 Содержание 1 Уравнения с запаздыванием и их основные свойства Начальная задача, примеры, пространства Устойчивость Большoe запаздывание 2 Рост числа периодических решений (reappearance) Рост числа решений с увеличением запаздывания Устойчивость 3 Преобразование временных запаздываний в динамических сетях Преобразование временных сдвигов Создание структур с помощью запаздываний Структуры на двухмерной решетке

3 Outline 1 Уравнения с запаздыванием и их основные свойства Начальная задача, примеры, пространства Устойчивость Большoe запаздывание 2 Рост числа периодических решений (reappearance) Рост числа решений с увеличением запаздывания Устойчивость 3 Преобразование временных запаздываний в динамических сетях Преобразование временных сдвигов Создание структур с помощью запаздываний Структуры на двухмерной решетке

4 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Начальная задача x (t) = f (x(t),x(t τ)) x(θ) = φ(θ), τ θ 0 x t := x(t + θ), τ θ 0 x(t) R n : конечномерный вектор x t C ([ τ,0],r n ): функция Начальная задача для уравнений с запаздыванием общего вида x (t) = F (x t ), x 0 = φ Бесконечномерное фазовое пространство Hale, Lunel, Эльсгольц, Норкин, Bellman, Cooke.

5 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Начальная задача x (t) = f (x(t),x(t τ)) x(θ) = φ(θ), τ θ 0 x t := x(t + θ), τ θ 0 x(t) R n : конечномерный вектор x t C ([ τ,0],r n ): функция Начальная задача для уравнений с запаздыванием общего вида x (t) = F (x t ), x 0 = φ Бесконечномерное фазовое пространство Hale, Lunel, Эльсгольц, Норкин, Bellman, Cooke.

6 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Начальная задача x (t) = f (x(t),x(t τ)) x(θ) = φ(θ), τ θ 0 x t := x(t + θ), τ θ 0 x(t) R n : конечномерный вектор x t C ([ τ,0],r n ): функция Начальная задача для уравнений с запаздыванием общего вида x (t) = F (x t ), x 0 = φ Бесконечномерное фазовое пространство Hale, Lunel, Эльсгольц, Норкин, Bellman, Cooke.

7 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Начальная задача x (t) = f (x(t),x(t τ)) x(θ) = φ(θ), τ θ 0 x t := x(t + θ), τ θ 0 x(t) R n : конечномерный вектор x t C ([ τ,0],r n ): функция Начальная задача для уравнений с запаздыванием общего вида x (t) = F (x t ), x 0 = φ Бесконечномерное фазовое пространство Hale, Lunel, Эльсгольц, Норкин, Bellman, Cooke.

8 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Начальная задача x (t) = f (x(t),x(t τ)) x(θ) = φ(θ), τ θ 0 x t := x(t + θ), τ θ 0 x(t) R n : конечномерный вектор x t C ([ τ,0],r n ): функция Начальная задача для уравнений с запаздыванием общего вида x (t) = F (x t ), x 0 = φ Бесконечномерное фазовое пространство Hale, Lunel, Эльсгольц, Норкин, Bellman, Cooke.

9 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Лазер с обратной связью; взаимодействующие лазеры «Классический» пример, отрицательная обратная связь дестабилизирует систему Нейронные сети

10 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Лазер с обратной связью; взаимодействующие лазеры «Классический» пример, отрицательная обратная связь дестабилизирует систему Нейронные сети

11 Уравнения с запаздыванием Начальная задача, примеры Лазер с обратной связью; взаимодействующие лазеры «Классический» пример, отрицательная обратная связь дестабилизирует систему Нейронные сети x (t) = αx(t τ) неустойчивость при τ > π 2α

12 Outline 1 Уравнения с запаздыванием и их основные свойства Начальная задача, примеры, пространства Устойчивость Большoe запаздывание 2 Рост числа периодических решений (reappearance) Рост числа решений с увеличением запаздывания Устойчивость 3 Преобразование временных запаздываний в динамических сетях Преобразование временных сдвигов Создание структур с помощью запаздываний Структуры на двухмерной решетке

13 Устойчивость x (t) = f (x(t),x(t τ)) x положение равновесия, f (x,x ) = 0, не зависит от величины запаздывания τ локальная устойчивость определяется линеаризованным уравнением x (t) = Ax(t) + Bx(t τ), A = 1 f (x,x ), A = 2 f (x,x ) характеристическoe уравнение det [ λi A Be λτ] = 0 квазиполином, в общем случае счетное количество корней дискретный спектр конечное число корней в любой полосе α Reλ β ограничены «справа», т.е. найдется такое M, что Reλ k M классические бифуркации: Андронов-Хопф, транскр., седлоузел, pitchfork.

14 Устойчивость x (t) = f (x(t),x(t τ)) x положение равновесия, f (x,x ) = 0, не зависит от величины запаздывания τ локальная устойчивость определяется линеаризованным уравнением x (t) = Ax(t) + Bx(t τ), A = 1 f (x,x ), A = 2 f (x,x ) характеристическoe уравнение det [ λi A Be λτ] = 0 квазиполином, в общем случае счетное количество корней дискретный спектр конечное число корней в любой полосе α Reλ β ограничены «справа», т.е. найдется такое M, что Reλ k M классические бифуркации: Андронов-Хопф, транскр., седлоузел, pitchfork.

15 Устойчивость x (t) = f (x(t),x(t τ)) x положение равновесия, f (x,x ) = 0, не зависит от величины запаздывания τ локальная устойчивость определяется линеаризованным уравнением x (t) = Ax(t) + Bx(t τ), A = 1 f (x,x ), A = 2 f (x,x ) характеристическoe уравнение det [ λi A Be λτ] = 0 квазиполином, в общем случае счетное количество корней дискретный спектр конечное число корней в любой полосе α Reλ β ограничены «справа», т.е. найдется такое M, что Reλ k M классические бифуркации: Андронов-Хопф, транскр., седлоузел, pitchfork.

16 Устойчивость x (t) = f (x(t),x(t τ)) x положение равновесия, f (x,x ) = 0, не зависит от величины запаздывания τ локальная устойчивость определяется линеаризованным уравнением x (t) = Ax(t) + Bx(t τ), A = 1 f (x,x ), A = 2 f (x,x ) характеристическoe уравнение det [ λi A Be λτ] = 0 квазиполином, в общем случае счетное количество корней дискретный спектр конечное число корней в любой полосе α Reλ β ограничены «справа», т.е. найдется такое M, что Reλ k M классические бифуркации: Андронов-Хопф, транскр., седлоузел, pitchfork.

20 Outline 1 Уравнения с запаздыванием и их основные свойства Начальная задача, примеры, пространства Устойчивость Большoe запаздывание 2 Рост числа периодических решений (reappearance) Рост числа решений с увеличением запаздывания Устойчивость 3 Преобразование временных запаздываний в динамических сетях Преобразование временных сдвигов Создание структур с помощью запаздываний Структуры на двухмерной решетке

21 Пределы малого (τ 0) и большого (τ ) запаздывания Малoe запaздывание Спектр [ det λi A Be λτ] det[λi A B] для Reλ > const σ(a + B) + корни с Reλ. В общем случае, динамика может быть приближена ОДУ - конечномерная Рябов, Chicone. x (t) = f (x(t),x(t)) Большoe запаздывание сингулярное уравнение, после скалирования времени 1 τ x (t) = f (x(t),x(t 1)) многомерная динамика подобно распределенным системам

22 Пределы малого (τ 0) и большого (τ ) запаздывания Малoe запaздывание Спектр [ det λi A Be λτ] det[λi A B] для Reλ > const σ(a + B) + корни с Reλ. В общем случае, динамика может быть приближена ОДУ - конечномерная Рябов, Chicone. x (t) = f (x(t),x(t)) Большoe запаздывание сингулярное уравнение, после скалирования времени 1 τ x (t) = f (x(t),x(t 1)) многомерная динамика подобно распределенным системам

23 Спектр систем с большим запаздыванием Пример λ a be λτ = 0 Спектр λ(τ) Спектр масштабированный τ Reλ + Imλ Асимптотическое поведение λ = γ(ω) + iω τ [ Аналогично в общем случае квазиполинома det λi A Be λτ] = 0 λ = γ j (ω) + iω, 1 j n τ

24 Спектр систем с большим запаздыванием Пример λ a be λτ = 0 Спектр λ(τ) Спектр масштабированный τ Reλ + Imλ Асимптотическое поведение λ = γ(ω) + iω τ [ Аналогично в общем случае квазиполинома det λi A Be λτ] = 0 λ = γ j (ω) + iω, 1 j n τ

25 Спектр систем с большим запаздыванием Пример λ a be λτ = 0 Спектр λ(τ) Спектр масштабированный τ Reλ + Imλ Асимптотическое поведение λ = γ(ω) + iω τ [ Аналогично в общем случае квазиполинома det λi A Be λτ] = 0 λ = γ j (ω) + iω, 1 j n τ

26 Спектр систем с большим запаздыванием Асимптотика λ = γ j (ω) + iω τ [( γ det )I τ + iω A Be ( γ +iω)τ] τ det iωi A B e > γ iωτ γ iωτ γ iωτ γ iωτ