Разностные схемы второго и четвертого порядков точности для уравнений математической физики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Крысько Вадим Анатольевич, Вахлаева Людмила Федоровна, Молоденкова Татьяна Викторовна

При решении начально-краевых задач для уравнений математической физики разностным методом важным вопросом является выбор порядка аппроксимации по пространственным координатам, а также поиск экономичного алгоритма решения соответствующих систем разностных уравнений. В работе построены схемы повышенной точности для многомерного слабонелинейного уравнения теплопроводности, волнового уравнения, уравнения колебания пластинки, уравнения движения пластинки в кинематической гипотезе Кирхгофа. Проведено сравнение со схемами второго порядка точности на модельных задачах. Выявлен экономичный алгоритм решения нелинейных разностных уравнений для каждой задачи.

Текст научной работы на тему «Разностные схемы второго и четвертого порядков точности для уравнений математической физики»

В.А. Крысько, Л.Ф. Вахлаева, Т.В. Молоденкова РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ ТОЧНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

V.A. Krysko, L.F. Vakhlaeva, T.V. Molodenkova DIFFERENCE SCHEMES OF SECOND AND FOURTH ORDERS OF ACCUARANCY FOR EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS

At the decision of initial value or boundary value problems for the equations of mathematical physics by difference method the important question is the choice of approximation order on spatial coordinates, and also search of economic algorithm of the decision of corresponding systems of difference equations. Schemes of the raised accuracy for many-dimensional weakly nonlinear equations of heat conductivity, the wave equation, the equation of fluctuation of a plate, the equation of movement of a plate in Kirhgof's kinematics hypothesis are constructed in this work. Comparison with circuits of the second order of accuracy on modelling problems is carried out. The economic algorithm of decision of nonlinear difference equations for each problem is revealed.

При численном решении начально-краевых задач для уравнений математической физики разностным методом возникает проблема выбора того или иного порядка аппроксимации разностной схемы. Чем выше порядок аппроксимации по пространственным координатам, тем меньше порядок системы разностных уравнений. При решении нестационарных задач аппроксимация второй производной по времени в уравнении и первой производной в начальном условии имеет только второй порядок. Поэтому для получения требуемой точности приходится выбирать достаточно мелкий шаг по времени. Повысить порядок аппроксимации по времени возможно, если применить метод прямых в сочетании с разностным методом по пространственным координатам, а для решения системы дифференциально-разностных уравнений использовать метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В этом случае начальные условия (dwldt=ty2(x,y)) аппроксимируются точно. Исследования разностных схем проводи-

лись на модельных задачах для следующих уравнении: одномерного и двумерного волновых уравнений, уравнения колебания пластинки, уравнения движения пластинки в кинематической гипотезе Кирхгофа и слабонелинейного многомерного уравнения теплопроводности. По каждой задаче был найден оптимальный алгоритм.

1. Начально-краевая задача для одномерного волнового уравнения: д Т д Т

ди = ди + /(X, 0,0 < X < 1,0 < і < Т, (1)

и(х,0) = ио (х), 50(Х,0) = и1 (х), 0 < х < 1 , (2)

и(0,і) = д1(і), и(1,і) = д2(і), 0 < і < Т . (3)

Введем сетку тоИт = (х; = іИ, і = 0,Ы, И = 1/N; іі = jт, ] = 0,М, т = Т/М> и сеточную функцию у/ = у (хі ,і>.) . Задаче (1)-(3) сопоставим разностную схему с весами

Уіі =ЛУ(а) +Ф, (х,і) є®ит , (4)

У00 = дl(ti), yN = Д2(tj), j = 0M , (5)

у-- = (У/+1 - 2yi + У/-1 Vт2 , ЛУг = Ухх = (Уі-1 - 2Уг + Уг+l Vh2, y(a) = ay1+1 + (1 - 2a)y1 + ay1-1, a = const > 0.

Вводя функцию погрешности решения z=y-U, подставляя в (4) вместо y=z+U, получим разностное уравнение относительно погрешности z: z-tt = Лz(a) + у, (x,t) єшйт, где

у = ф + Ли(a) - U-tt является погрешностью аппроксимации разностной схемы (4) на решении

U(x,t) исходной задачи (1). Если схема аппроксимирует исходную задачу и устойчива, то она сходится, и порядок точности схемы совпадает с порядком аппроксимации [1]. При a=0 схема (4) - явная, она условно устойчива при T<h, погрешность аппроксимации y=0(T2+h2), если фі = f (хг ,tj). При a>l/4 схема неявная, безусловно устойчива, погрешность аппроксима-

2 2 1 h2 i r/ \ h2 д2f

ции y=0(h +т ), если ф1 = f (хг ,ti). При a = a, =------------- и (f)J = f (Хг, t i ) +-----—

V 7 V, V . 4(1 -Є) 12т^ 12 дх2

погрешность аппроксимации y=0(h4+T2), это схема повышенной точности. Для определения yj+1 получаем из (4)-(5) трехточечную разностную краевую задачу

aY2 (yd1 + У?!) - (1 + 2aY2)У/+1 = -F , г = 1N -1, У0+1 = дГ1, УЇЇ1 = д2+1 ,

F, = (2 у, - y/-1 + т 2(1 - 2a) Л у1 +aт2Л у1-1 +т2ф, у = т

которая решается методом прогонки.

Исследования на модельных задачах показали, что оптимальным алгоритмом среди неявных схем является схема повышенной точности 0(И4+т2), т.к. шаг по пространственной координате в 10 раз больше, чем для схем 0(И +т ), что приводит к уменьшению в 10 раз порядка системы разностных уравнений, а, следовательно, к уменьшению затрат машинного времени.

Модельные задачи соответствуют точным решениям:

1. и ( х, і) = х2 і2 + 5 х +і;

2. и (х, і) = (бій пх)і + х2;

3. и (х, і) =х4і + хі3 + 2;

Результаты исследований приведены в табл. 1, где 1ЫГ' = тах у/- и/

ность решения на сетке ш*т, £=1,2,3 - номер задачи.

Влияние порядка аппроксимации на шаги сетки Л и т

Порядок аппроксимации 0(Л4+т2) 0(Л2+т2)

Л; т 0.1 ; 0.01 0.01; 0.01 0.01; 0.01

N1 И,Т 0.037 0.040 0.039

N1ИТ 0.025 0.031 0.030

N1И3Т 0.042 0.045 0.043

Лі; ті 0.05; 0.001 0.001; 0.001 0.001; 0.001

ИИ1,т1 0.009 0.012 0.012

Применим теперь к задаче (1) метод прямых

Г = Ухх,г +Ф(X,г), X . аг

Порядок системы дифференциально-разностных уравнений равен 2^-1). Начальные условия (2) задаются точно.

У (0) = и0( х), Р (0) = ^( X), 1 < г < N -1. (7)

Решая систему дифференциально-разностных уравнений (6)-(8) методом Рунге-Кутта 4-го порядка, получим окончательно погрешность аппроксимации у=0(Л4+т2), если Ф=(х, г);

Решение системы дифференциально-разностных уравнений (6) находим по формулам Рунге-Кутта 4-го порядка

УҐ = У/ +т( + 2к2 + 2кз + к4), і = 1,N -1 , (9)

где У1 = (у/, у2. у]ы-1,Р11 ,Р/. Р^) - искомый вектор решения системы (6), записанной в векторном виде:

В (9) кг вычисляются по формулам

£3 = Р| г1 + ^,у1 + -Гк2 | , £4 = Р(г1 +т,у1 +т£3).

Методы Рунге-Кутта являются явными (о=0) и одношаговыми, счет идет по явным формулам. На практике рекомендуется проводить расчеты на нескольких сгущающихся сетках. Если при сгущении сетки решение мало меняется, то требуемая точность достигнута.

Для решения модельных задач 1, 2, 3 применим метод Рунге-Кутта (9) с аппроксимацией по пространственной координате 0(к4) и 0(к2). Результаты приведем в табл. 2. Сравнение табл. 1 и 2 показало, что наиболее экономичным алгоритмом является метод прямых с погрешностью аппроксимации у=0(т4+к4), т.е. метод Рунге-Кутта 4-го порядка 0(т4) с аппроксимацией по х 0(к4).

Влияние порядка аппроксимации в методе Рунге-Кутта на число уравнений

Порядок аппроксимации Рунге-Кутта 0(Л4+т4) Рунге-Кутта 0(Л2+т4)

Л; т 0.1; 0.001 0.01; 0.001

Число уравнений 2(^-1) в (10) 18 198

N11д 0.009 0.0097

2. Начально-краевая задача для двумерного волнового уравнения:

и(х,0) = и0(х), ди(х,0) = и1(х), 0 < х = (х1,х2) < 1,

где ьи = ьи + ь2и, ьаи = ^, а = 1,2.

Введем сетку токт = , и в узлах сетки сеточную функцию у£ = у (гк, ,'к, гк ) .

Поставим в соответствие задаче (12)-(13) разностную схему с весами [1]

У-П = (Л1 +Л2)У(a) +Ф, (х-) Є «йт, х = (xl(г),х21 ^ тойт = «йт +Yйт , (14)

у(х,0) = U0(х), У-(х,0) = U(х) + 0,5т(LU(х,0) + f (х,0)) + 0(т2),

где ЛaУ = y*a*a, a= 1,2, ф= f (хЛ), У(a) = ayk+1 +(l - 2a)yk + ayk-l.

По аналогии с одномерным волновым уравнением вычислим погрешность аппроксимации

у = (Л1 + Л 2 )U (a) - U-t + ф .

При a=0 получим явную схему, она условно устойчива при т< h/V—, у=0(й2+т2),

z=0(h2+т2) [1]. При a<l/4 схема неявная, условно устойчива при т< I (1 - 4a)— I . При

l/4<a<l/2 схема неявная, безусловно устойчива, у=0(й2+т2), z=0(h2+т2).

Исходную схему (14) можно переписать в виде

— k1 , (1б) -(E-т a(Al + Л2))y +т ф.

Оператор B=E-т2a(Л1+Л2) можно приближенно заменить факторизованным оператором С

C = (E-т 2a^)(E-т ^Л 2) = E-т 2a (Л1 +Л 2) + т 4aЛ1Л 2) = B + 0(т4) . (17)

Заменяя в (1б) оператор В на С, получим факторизованную схему

(E - т^Л1)(E - тЪЛ2)ykdl = [2E + т2(1 - 2a) (Л1 + Л2)]yk - (E - т 2a(^ + Л2))yk-l + т 2ф . (18)

Преобразуя факторизованную схему (18) к форме типа (14) и учитывая соотношение (17), получим

уь = (Лі +Л—Xay^1 + (1 - 2a) yk +ayk-1) + ф-т 2aЛlЛ -у^ ,

что отличается от схемы (14) на члены 0(т2). Поскольку схема (14)-(15) имеет второй порядок аппроксимации, то факторизованная схема (18) также имеет аппроксимацию 0(т2+й2). Таким образом, из сказанного выше следует безусловная сходимость факторизованной схемы (18) со скоростью у=0(й2+т2) при l/4<a</2.

Решение разностных уравнений сводится к последовательности одномерных прогонок по направлениям х1 и х2. В самом деле, факторизованный оператор С есть произведение одномерных трехточечных операторов E-т^Л^ а каждый такой оператор обращается одномерной прогонкой, тем самым схема (18) экономична.

Так же, как в случае одномерного волнового уравнения, задачу (12)-(13) можно решить методом прямых с применением к системе дифференциально-разностных уравнений (количество уравнений равно 2(N-l)2) метода Рунге-Кутта четвертого порядка с аппроксимацией по пространственным переменным х1, х2, 0( I h4 I ) и 0( I h2 I ). Исследования на модельных задачах показали, что оптимальным является метод прямых с аппроксимацией по пространственным координатам 0( I h4 I ).

Рассмотрим следующие модельные задачи, соответствующие точным решениям:

При к=0,1 для аппроксимации 0( | к4 | ) число уравнений 2(#-1)2=2-92=162. При к=0,05 для аппроксимации 0( | к2 | ) число уравнений 2(#-1)2=2-192=723, т.е число уравнений при аппроксимации 0( | к2 | ) в 4,5 раз больше, чем для 0( | к4 | ).

Из табл. 3 на основании проведенных исследований для волновых уравнений можно сделать вывод, что оптимальным является метод прямых с методом Рунге-Кутта 4-го порядка с аппроксимацией у=0(к4+т4).

Влияние порядка аппроксимации на точность метода

Метод одном* у=0 эрных прогонок Ь2+т2) Мете \ >д Рунге-К |/=0(Ь2+т4 т т ш Метод Рунге-Кутта у=0(Ь4+т4)

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

Разностные схемы второго и четвертого порядков точности для уравнений математической физики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Крысько Вадим Анатольевич, Вахлаева Людмила Федоровна, Молоденкова Татьяна Викторовна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Крысько Вадим Анатольевич, Вахлаева Людмила Федоровна, Молоденкова Татьяна Викторовна

Текст научной работы на тему «Разностные схемы второго и четвертого порядков точности для уравнений математической физики»