Расчет на прочность ортотропных локально нагруженных оболочек Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Аннотация научной статьи по строительству и архитектуре, автор научной работы — Виноградов Ю. И.

Слоистые ортотропные композиционные оболочки как элементы тонкостенных конструкций, к которым предъявляется требование по весовому совершенству при малых запасах прочности, вытесняют аналогичные из других материалов. При этом не удается избежать нежелательного локального нагружения оболочек. С целью частичного решения проблемы оценки прочности по напряжениям строится алгоритм аналитического решения краевых задач для оболочек локально нагруженных по площадкам, границы которых не совпадают с их линиями главных кривизн. Приводятся результаты решения задач для цилиндрических, конических, сферических и тороидальных оболочек.

Похожие темы научных работ по строительству и архитектуре , автор научной работы — Виноградов Ю. И.

Текст научной работы на тему «Расчет на прочность ортотропных локально нагруженных оболочек»

Наука к Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 03. С. 68-84.

Представлена в редакцию: 04.03.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

Расчет на прочность ортотропных локально

ruviiio Gambier JU

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Слоистые ортотропные композиционные оболочки как элементы тонкостенных конструкций, к которым предъявляется требование по весовому совершенству при малых запасах прочности, вытесняют аналогичные из других материалов. При этом не удается избежать нежелательного локального нагружения оболочек. С целью частичного решения проблемы оценки прочности по напряжениям строится алгоритм аналитического решения краевых задач для оболочек локально нагруженных по площадкам, границы которых не совпадают с их линиями главных кривизн. Приводятся результаты решения задач для цилиндрических, конических, сферических и тороидальных оболочек.

Ключевые слова: слоистые ортотропные оболочки, локальное нагружение

Слоистые композиционные оболочки, как элементы летательных аппаратов, вытесняют аналогичные из других материалов. Однако их эффективное в весовом отношении использование требует повышенного внимания при расчетах к виду нагрузки, величине и характеру распределения напряжений [1]. При этом механические характеристики, необходимые для расчетов, также определяются с учетом вида нагрузки [2]. Анализ прогрессирующего разрушения определяется с учетом концентраторов напряжений [3]. Строятся теории для анализа напряженного состояния и оценки прочности слоистых композитов [4]. Определяется стратегия и развитие композиционных и функциональных материалов [5]. Исследуются критерии разрушения образцов композитов с концентраторами напряжений [6].

Известно, что оболочки в конструкциях летательных аппаратов часто нагружены локально по малым площадкам. Возникает концентрация напряжений. Как следствие возникает проблема оценки их прочности по напряжениям в зависимости от структуры материала, формы и параметров оболочек, а также от формы площадок нагружения, границы которых не совпадают с линиями главных кривизн оболочек.

С целью частичного решения проблемы оценки прочности по напряжениям строится алгоритм аналитического решения краевых задач для локально нагруженных оболочек классических форм из ортотропных композиционных материалов.

В качестве математической модели механики деформирования слоистых ортотропных оболочек принимаются результаты работы Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко.

Особенностями уравнений Григоренко, Василенко [7], отличающими их от аналогичных уравнений, полученных другими авторами, являются непрерывность их решений при произвольной форме меридиана, в том числе и с угловыми точками, а также то, что в уравнения не входят кривизна меридиана и производная от толщины h оболочки. Граничные условия накладываются непосредственно на основные неизвестные -перемещения и соответствующие им усилия.

1. Каноническая матричная форма дифференциальных уравнений

Рассматриваются замкнутые в окружном направлении цилиндрические, конические, сферические и тороидальные оболочки.

Используется метод Фурье разделения переменных. Поскольку физические соотношения не позволяют разделить все факторы на две группы, соответствующие симметричному (без штрихов) и антисимметричному ( со штрихами) случаям относительно начала окружной координаты, то разложения всех факторов и внешней нагрузки для каждого номера n гармоники содержат cosnp и sin np .

Таким образом, получается система обыкновенных дифференциальных уравнений шестнадцатого порядка в канонической матричной форме [8].

y(s)= Nx,N:,S,M:,iix,ii:,v,3s,Nx,N:,S\Mx,iix,ii_,v ,Ss - столбец силовых и

кинематических параметров, характеризующих состояние сечения оболочки нормального к ее оси;

■ -матрица размерности 16x16, элементами а = a„(s)/,j = 1,2. 16 которой

являются коэффициенты разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, записанной в канонической матричной форме;

f(s) f (s). f 6(s)|| -столбец параметров внешнего поверхностного воздействия на оболочку.

Матричное уравнение (1) решается аналитически [9].

2. Математическое моделирование локальной поверхностной нагрузки

Представляет интерес рассмотреть задачи, когда оболочка подвергается локальной нагрузке по площадке, границы которой не совпадают с линиями главных кривизн.

Допустим, что граница площадки приложения нагрузки в области изменения

координат s, р < £ < ,0 < р < 2л) исходной поверхности описывается уравнением Г(ь\р) = 0 для ^ < £ < ^,(<(<(. Кривая Г(£\р) = 0 допускает

разбиение на отдельные участки, на которых ее уравнение может быть записано различным образом. Уравнение ^ (¿р) =0 разрешается относительно р. Рассматриваемую кривую, ограничивающую поверхность приложения нагрузки, целесообразно представлять состоящей из двух участков, описываемых уравнениями р = Ми р = /2(8) , рис.1.

Рис. 1 Схема границы локальной нагрузки

Эти функции могут быть представлены различными выражениями для различных интервалов изменения аргумента 5.

Для определения элементов столбца /п (Я) правой части дифференциального уравнения (1), необходимо действующую по заданной площадке нагрузку разложить в ряд Фурье по окружной координате р.

Приложенную нагрузку д (£,р) представляют в виде:

где коэффициенты А^ (£), В (£) определяют следующим образом

А(5) = — [ д(5,р)ео8прйр, Вп(5) = — [ #(5,р)8тпрйр. (3)

Очевидно, что в (3) пределы интегрирования являются функциями от Коэффициенты Ап, зависят от меридиональной координаты 5, что усложняет решение

рассматриваемой задачи по сравнению со случаем, когда оболочка нагружена по площадке, ограниченной координатными линиями.

Допустим, что цилиндрическая оболочка равномерным давлением нагружена локально по эллиптической площадке ее поверхности. Мы должны разложить ее в ряд Фурье по окружной координате р. Это обусловлено выбранным методом Фурье разделения переменных разрешающей системы дифференциальных уравнений механики деформирования замкнутых в окружном направлении оболочек.

Уравнение эллипса, ограничивающего площадку приложения нагрузки, записываем в виде:

В задачах рассматривали эллипсы с такими соотношениями полуосей ат и Ът, чтобы их площади были равными площади круга радиуса а0. Это условие позволяет выразить Ът через ат и а0. Из уравнения (4) эллипса следует