Физика -решение задач из сборника Чертова 1981, 1988, 2001, 2007

1.1. Две прямые дороги пересекаются под углом =60°. От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью v1=60 км/ч, другая со скоростью v2=80 км/ч.

Определить скорости v' и v", с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

1.2. Точка двигалась в течение t1=15 c со скоростью v1=5 м/с, в течение t2=10 с со скоростью v2=8 м/с и в течение t3=6 с со скоростью v3=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v> точки.

1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v1=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью v2=80 км/ч. Какова средняя путевая скорость <v> автомобиля?

1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью v1=2 м/с, вторую — со скоростью v2=8 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v> .

1.5. Тело прошло первую половину пути за время t1=2 с, вторую — за время t2=8 с. Определить среднюю путевую скорость <v> тела, если длина пути s=20 м.

1.6. -Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую скорость <v> за время t=14 с.

1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую скорость <v> за время t=8 с. Начальная скорость v0=0.

1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At+Bt 2 , где A=3 м/с, B=—0,25 м/с 2 . Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения.

1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось.

1.10. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =4 м/с, В=—0,05 м/с 2 . Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

1.11. Написать кинематическое уравнение движения x=f(t) точки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой

позиции рисунка — а, б, в, г — изображена координатная ось Ох, указаны начальные положение x0 и скорость v0 материальной точки А, а также ее ускорение а.

1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии l==100 м от стены АВ и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вращается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т=20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в течение первой четверти оборота; 2) скорость v, с которой светлое пятно движется по стене, в момент времени t=2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС.

1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а=0,1 м/с 2 , человек начал идти в том же направлении со скоростью v=1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v1 поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком.

1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью v1==l м/с и ускорением a1=2 м/с 2 , вторая — с начальной скоростью v2=10 м/с и ускорением а2=1 м/с 2 . Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую?

1.15. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:

В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v1 и v2 и ускорения a1 и а2 точек в этот момент:

1.16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям;

В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.

1.17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t=0,1 с?

1.18. Камень падает с высоты h=1200 м. Какой путь s пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

1.19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v0==20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с 2 .

1.20. Вертикально вверх с начальной скоростью v0=20 м/с брошен камень. Через =1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

1.21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом t=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

1.22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v0=5 м/с. Через t=2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

1.23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью v0=10 м/с. Высота балкона над поверхностью земли h=12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость <v> с момента бросания до момента падения на землю.

1.24. Движение точки по прямой задано уравнением x=At+Bt 2 , где A =2 м/с, В=—0,5 м/с 2 . Определить среднюю путевую скорость <v> движения точки в интервале времени от t1=l с до t2=3 с.

1.25. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt 3 , где A=6 м/с, В == —0,125 м/с 3 . Определить среднюю путевую скорость <v> точки в интервале времени от t1=2 с до t2=6 с.

1.26. Материальная точка движется по плоскости согласно уравнению r(t)=iAt 3 +jBt 2 . Написать зависимости: 1) v(t); 2) a(t).

1.27. Движение материальной точки задано уравнением r(t)=A (icos t - j sin t), где A =0,5 м, =5 рад/с. Начертить траекторию точки. Определить модуль скорости |v| и модуль нормального ускорения |an|.

1.28. Движение материальной точки задано уравнением r(t)=i(A+Bt 2 )+jCt, где A==10 м, В= — 5 м/с 2 , С=10 м/с. Начертить траекторию точки. Найти выражения v(t) и a(t). Для момента времени t=1 с вычислить: 1) модуль скорости |v| ; 2) модуль ускорения |а|; 3) модуль тангенциального ускорения |а |; 4) модуль нор­мального ускорения |an|.

1.29. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a =0,5 м/с 2 . Определить полное ускорение а точки на

участке кривой с радиусом кривизны R=3 м, если точка движется на этом участке со скоростью v==2 м/с.

1.30. Точка движется по окружности радиусом R==4 м. Начальная скорость v0 точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение a =1 м/с 2 . Для момента времени t=2 с определить: 1) длину пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения | |; 3) среднюю путевую скорость | |; 4) модуль вектора средней скорости |<v>|.

1.31. По окружности радиусом .R=5 м равномерно движется материальная точка со скоростью v=5 м/с. Построить графики зависимости длины пути s и модуля перемещения | | от времени t. В момент времени, принятый за начальный (t=0), s(0) и | (0)| считать равными нулю.

1.32. За время t=6 с точка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом R==0,8 м. Определить среднюю путевую скорость <v> за это время и модуль вектора средней скорости |<v>|.

1.33. Движение точки по окружности радиусом R=4 м задано уравнением * =A+Bt+Ct 2 , где A=10 м, В=—2 м/с, С=1 м/с 2 . Найти тангенциальное а , нормальное an и полное а ускорения точки в момент времени t=2с.

1.34. По дуге окружности радиусом R= 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки аn=4,9 м/с 2 ; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол =60°. Найти скорость v и тангенциальное ускорение a точки.

1.35. Точка движется по окружности радиусом R=2 м согласно уравнению * =At 3 , где A =2 м/с 3 . В какой момент времени t нормальное ускорение аn точки будет равно тангенциальному а . Определить полное ускорение а в этот момент.

1.36. Движение точки по кривой задано уравнениями x=A1t 3 и y=A2t, где A1==l м/с 3 , A2=2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t=0,8 с.

1.37. Точка А движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R. Начальное положение точки и направление движения указаны на рис. 1.8. Написать кинематическое уравнение движения проекции точки A на направление оси х.

1.38. Точка движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R и в момент времени, принятый за начальный (t=0), занимает положение, указанное на рис. 1.8. Написать кинематические уравнения движения точки: 1) в декартовой системе координат, расположив оси так, как это указано на рисунке; 2) в полярной системе координат (ось х считать полярной осью).

1.39. Написать для четырех случаев, представленных на рис. 1.9:

1) кинематические уравнения движения x=f1(t) и x=f2(t); 2) уравнение траектории у= (х). На каждой позиции рисунка — а, б, в, г — изображены координатные оси, указаны начальное положение точки A, ее начальная скорость v0 и ускорение g.

1.40. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении.

* См. сноску на с. 11.

Через промежуток времени t=2 с камень упал на землю на расстоянии s=40 м от основания вышки. Определить начальную v0 и конечную v скорости камня.

1.41. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью v=20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту башни.

1.42. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние l между которыми равно 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на h=10см ниже, чем в первом. Определить скорость v пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.43. Самолет, летевший на высоте h-=2940 м со скоростью v=360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.44. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты Н траектории.

1.45. Миномет установлен под углом =60° к горизонту на крыше здания, высота которого h=40 м. Начальная скорость v0 мины равна 50 м/с. Требуется: 1) написать кинематические уравнения движения и уравнения траектории и начертить эту траекторию с соблюдением масштаба; 2) определить время полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность s полета, скорость v в момент падения мины на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Указание. Начало координат поместить на поверхности земли так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости v лежал в плоскости хОу.

1.46. Снаряд, выпущенный из орудия под углом =30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя время t1=10 с и t2=50 с после выстрела.

Определить начальную скорость v0 и высоту h.

1.47. Пуля пущена с начальной скоростью v0=200 м/с под углом =60° к горизонту. Определить максимальную высоту Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.48. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью v0=30 м/с. Определить скорость v, тангенциальное a и нормальное an ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

1.49. Тело брошено под углом =30° к горизонту. Найти тангенциальное a ; и нормальное аn ускорения в начальный момент движения.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

1.50. Определить линейную скорость v и центростремительное ускорение an точек, лежащих на земной поверхности: 1) на экваторе; 2) на широте Москвы ( =56°).

1.51. Линейная скорость v1 точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на =10 см ближе к оси, имеют линейную скорость v2=2 м/с. Определить частоту вращения п диска.

1.52. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d=30 см друг от друга. Диски вращаются с частотой n==25 с -1 . Пуля, летевшая параллельно оси на расстоянии r=12 см от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстояние s=5 см, считая по дуге окружности. Найти среднюю путевую скорость <v> пули в промежутке между дисками и оценить создаваемое силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.

1.53. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t=3 с опустился на h= 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус r=4 см.

1.54. Диск радиусом r=10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением =0,5 рад/с 2 . Найти тангенциальное a , нормальное ап и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

1.55. Диск радиусом r=20 см вращается согласно уравнению =A+Bt+Сt 3 , где A=3 рад, В=—1 рад/с, С=0,1 рад/с 3 . Определить тангенциальное a нормальное аn и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t=10 с.

1.56. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени t=10 с достиг частоты вращения n=300 мин" 1 . Определить угловое ускорение маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.

1.57. Велосипедное колесо вращается с частотой п=5 с 1 . Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени t=1 мин. Определить угловое ускорение и число N оборотов, которое сделает колесо за это время.

1.58. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n1=4 с 1 до n2==6 с 1 . Определить угловое ускорение колеса.

1.59. Диск вращается с угловым ускорением =—2 рад/с 2 . Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n1=240 мин -1 до n2=90 мин -1 ? Найти время t, в течение которого это произойдет.

1.60. Винт аэросаней вращается с частотой n=360 мин 1 . Скорость v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью u движется один из концов винта, если радиус R винта равен 1 м?

1.61. На токарном станке протачивается вал диаметром d=60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова скорость v резания, если за интервал времени t=1 мин протачивается участок вала длиной l=12 см?

Второй закон Ньютона

2.1. На гладком столе лежит брусок массой m=4 кг. К бруску привязан шнур, ко второму концу которого приложена сила F=10 Н, направленная параллельно поверхности стола. Найти ускорение а бруска.

2.2. На столе стоит тележка массой m1=4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением a будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m2=1 кг?

2.3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m1=l,5 кг и m2=3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

2.4. Два бруска массами m1=l кг и m2=4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F=10 H, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, соединяющего бруски, если силу F=10 Н приложить к первому бруску? ко второму бруску? Трением пренебречь.

2.5. На гладком столе лежит брусок массой т=4 кг. К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шнуров подвешены гири, массы которых т1=1 кг и т2=2 кг. Найти ускорение а, с которым движется брусок, и силу натяжения Т каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь.

2.6. Наклонная плоскость, образующая угол =25° с плоскостью горизонта, имеет длину l=2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t=2 с. Определить коэффициент трения f тела о плоскость.

2.7. Материальная точка массой т=2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению x=A+Bt+Ct 2 +Dt 3 , где С=1 м/с 2 , D=—0,2 м/с 3 . Найти значения этой силы в моменты времени t1=2 с и t2=5 с. В какой момент времени сила равна нулю?

2.8. Молот массой m=1 т падает с высоты h=2 м на наковальню. Длительность удара t=0,01 с. Определить среднее значение силы <F> удара.

2.9. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью v0=20 м/с, остановилась через t=40 с. Найти коэффициент трения f шайбы о лед.

2.10. Материальная точка массой т=1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиусом r= 1,2 м в течение времени t=2 с. Найти изменение ? импульса точки.

2.11. Тело массой m=5 кг брошено под углом =30° к горизонту с начальной скоростью v0=20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) импульс силы F, действующей на тело, за время его полета; 2) изменение ? импульса тела за время полета.

2.12. Шарик массой m=100 г упал с высоты h=2,5 м на горизонтальную плиту, масса которой много больше массы шарика, и отскочил от нее вверх. Считая удар абсолютно упругим, определить импульс р, полученный плитой.

2.13. Шарик массой m=300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс p1, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость v0=10 м/с, направленную под углом =30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

2.14. Тело массой т=0,2 кг соскальзывает без трения по желобу высотой h==2 м. Начальная скорость v0 шарика равна нулю. Найти

изменение импульса шарика и импульс р, полученный желобом при движении тела.

2.15. Ракета массой m=1 т, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, поднимается с ускорением a=2g. Скорость v струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1200 м/с. Найти расход Qm горючего.

2.16. Космический корабль имеет массу т=3,5 т. При маневрировании из его двигателей вырывается струя газов со скоростью v=800 м/с; расход горючего Qm=0,2 кг/с. Найти реактивную силу R двигателей и ускорение а, которое она сообщает кораблю.

2.17. Вертолет массой m=3,5 т с ротором, диаметр d которого равен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью v ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха? Диаметр струи считать равным диаметру ротора.

2.18. Брусок массой m2=5 кг может свободно скользить по горизонтальной поверхности без трения. На нем находится другой брусок массой т1=1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков f=0,3. Определить максимальное значение силы Fmах приложенной к нижнему бруску, при которой начнется соскальзывание верхнего бруска.

2.19. На горизонтальной поверхности находится бросок массой m1=2 кг. Коэффициент трения f1 бруска о поверхность равен 0,2. На бруске находится другой брусок массой m2=8 кг. Коэффициент трения f2 верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску приложена сила F. Определить: 1) значение силы F1, при котором начнется совместное скольжение брусков по поверхности; 2) значение силы F2, при котором верхний брусок начнет проскальзывать относительно нижнего.

2.20. Ракета, масса которой М=6 т, поднимается вертикально вверх. Двигатель ракеты развивает силу тяги F=500 кН. Определить ускорение а ракеты и силу натяжения Т троса, свободно свисающего с ракеты, на расстоянии, равном 1/4 его длины от точки прикрепления троса. Масса т троса равна 10 кг. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

2.21. На плоской горизонтальной поверхности находится обруч, масса которого ничтожно мала. К внутренней части обруча прикреплен груз малых размеров, как это показано на рис. 2.7. Угол =30°. С каким ускорением а необходимо двигать плоскость в направлении, указанном на рисунке, чтобы обруч с грузом не изменил своего положения относительно плоскости? Скольжение - Рис. 2.7

обруча по плоскости отсутствует.

2.22. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением а=20 м/с 2 . Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? (Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на пассажира, к силе тяжести Р.)

2.23. Автоцистерна с керосином движется с ускорением а=0,7 м/с 2 . Под каким углом к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне?

2.24. Бак в тендере паровоза имеет длину l=4 м. Какова разность l уровней воды у переднего и заднего концов бака при движении поезда с ускорением a=0,5 м/с 2 ?

2.25. Неподвижная труба с площадью S поперечного сечения, равной 10 см 2 , изогнута под углом =90° и прикреплена к стене (рис. 2.8). По трубе течет вода, объемный расход QV которой 50 л/с. Найти давление р струи воды, вызванной изгибом трубы.

2.26. Струя воды ударяется о неподвижную плоскость, поставленную под углом =60° к направлению движения струи. Скорость v струи

Рис. 2.8 равна 20м/с, площадь S ее поперечного сечения равна 5 см 2 . Определить силу F давления струи на плоскость.

2.27*. Катер массой m=2 т с двигателем мощностью N=50 кВт развивает максимальную скорость vmах =25 м/с. Определить время t, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости.

2.28*. Снаряд массой т=10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью v0=800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент, сопротивления k=0,25 кг/с.

2.29*. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой m=100 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени t ускорение а груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления k=10 кг/с.

2.30*. Моторная лодка массой m=400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления Fc пропорциональной скорости, определить скорость о лодки через t=20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k=20 кг/с.

2.31. Катер массой m=2 т трогается с места и в течение времени =10 с развивает при движении по спокойной воде скорость v=4 м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной. Принять силу сопротивления Fc движению пропорциональной скорости; коэффициент сопротивления k=100 кг/с.

2.32. Начальная скорость v0 пули равна 800 м/с. При движении

* Перед решением задач 2.27—2.30 следует предварительно разобрать пример 3 из § 2.

в воздухе за время t=0,8 с ее скорость уменьшилась до v=200 м/с. Масса т пули равна 10 г. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент сопротивления k. Действием силы тяжести пренебречь.

2.33. Парашютист, масса которого т=80 кг, совершает затяжной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, определить, через какой промежуток времени t скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления k=10 кг/с. Начальная скорость парашютиста равна нулю.

Закон сохранения импульса

2.34. Шар массой m=10 кг, движущийся со скоростью v1=4 м/с, сталкивается с шаром массой m=4 кг, скорость v2 которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

2.35. В лодке массой m1=240 кг стоит человек массой m2=60 кг. Лодка плывет со скоростью v1=2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью v=4 м/с (относительно лодки). Найти скорость и движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

2.36. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека М =60 кг, масса доски т=20 кг. С какой скоростью и (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) v=1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

2.37. В предыдущей задаче найти, на какое расстояние а: 1) передвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски; 2) переместится человек относительно пола; 3) переместится центр масс системы тележка — человек относительно доски и относитель­но пола. Длина l доски равна 2 м.

2.38. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием M=15 т. Орудие стреляет вверх под углом j=60° к горизонту в направлении пути. С какой скоростью v1 покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m=20 кг и он вылетает со скоростью v2=600 м/с?

2.39. Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая массой m1=3 кг получила скорость u1=400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость u2 второй, большей части после разрыва.

2.40. В предыдущей задаче найти, с какой скоростью и2 и под каким углом j2 к горизонту полетит большая часть снаряда, если меньшая полетела вперед под углом j1=60° к горизонту.

2.41. Два конькобежца массами m1=80 кг и m2=50 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью v=1 м/с. С какими скоростями u1 и u2 будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.

Динамика материальной точки, движущейся по окружности

2.42. Диск радиусом R=40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения f=0,4, найти частоту п вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

2.43. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом r=4 м. С какой наименьшей скоростью vmin должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?

2.44. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила натяжения Т шнура в момент, когда гиря проходит положение равновесия? Какой угол j с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести гири?

2.45. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести Р летчика, если скорость самолета v=100 м/с?

2.46. Грузик, привязанный к шнуру длиной l=50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол образует шнур с вертикалью, если частота вращения n=1 с 1 ?

2.47. Грузик, привязанный к нити длиной l=1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период Т обращения, если нить отклонена на угол =60° от вертикали.

2.48. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r=0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила F давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n= 10 с 1 ? Масса т маховика равна 100 кг.

2.49. Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R=11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии l=0,8 м от поверхности цилиндра. Коэффициент трения f покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью vmin должен ехать мотоциклист? Каков будет при этом угол наклона его к плоскости горизонта?

2.50. Автомобиль массой m=5 т движется со скоростью v=10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу F давления автомобиля на мост в его верхней части, если радиус R кривизны моста равен 50 м.

2.51. Сосуд с жидкостью вращается с частотой n=2 с 1 вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему

равен угол наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r=5 см от оси?

2.52. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения f колес о покрытие дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется его занос?

2.53. Какую наибольшую скорость vmax может развить велосипедист, проезжая закругление радиусом R =50 м, если коэффициент трения скольжения f между шинами и асфальтом равен 0,3? Каков угол отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению?

2.54. Самолет массой m=2,5 т летит со скоростью v=400 км/ч. Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж — полет самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Радиус R траектории самолета равен 500 м. Найти поперечный угол наклона самолета и подъемную силу F крыльев во время полета.

2.55. Вал вращается с частотой п =2400 мин -1 . К валу перпендикулярно его длине прикреплен стержень очень малой массы, несущий на концах грузы массой m=1 кг каждый, находящиеся на расстоянии r=0,2 м от оси вала. Найти: 1) силу F, растягивающую стержень при вращении вала; 2) момент М силы, которая действовала бы на вал, если бы стержень был наклонен под углом j=89° к оси вала.

2.56. Тонкое однородное медное кольцо радиусом R=10 см вращается относительно оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью =10 рад/с. Определить нормальное напряжение , возникающее в кольце в двух случаях: 1) когда ось вращения перпендикулярна плоскости кольца и 2) когда лежит в плоскости кольца. Деформацией кольца при вращении пренебречь.

Работа и энергия

2.57. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь s=5 м и приобрела скорость v=2 м/с. Определить работу A силы, если масса т вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения f=0,01.

2.58. Вычислить работу А, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой m=100 кг на высоту h=4 м за время t=2 с.

2.59. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной l=2 м, если масса т груза равна 100 кг, угол наклона j=30°, коэффициент трения f=0,1 и груз движется с ускорением а=1 м/с 2 .

2.60. Вычислить работу А, совершаемую на пути s=12 м равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила F1=10 H, в конце пути F2=46 H.

2.61. Под действием постоянной силы F=400 H, направленной вертикально вверх, груз массой m=20 кг был поднят на высоту h=15 м. Какой потенциальной энергией П будет обладать поднятый груз? Какую работу А совершит сила F?

2.62. Тело массой m=1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью v0=20 м/с, через t=3 с упало на землю.

Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.63. Камень брошен вверх под углом j=60° к плоскости горизонта. Кинетическая энергия Т0 камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определить кинетическую Т и потенциальную П энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.64. Насос выбрасывает струю воды диаметром d=2 см со скоростью v=20 м/с. Найти мощность N, необходимую для выбрасывания воды.

2.65. Какова мощность N воздушного потока сечением S=0,55 м 2 при скорости воздуха v=20 м/с и нормальных условиях?

2.66. Вертолет массой т=3 т висит в воздухе. Определить мощность N, развиваемую мотором вертолета в этом положении, при двух значениях диаметра d ротора: 1) 18 м; 2) 8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора.

2.67. Материальная точка массой m=2 кг двигалась под действием некоторой силы, направленной вдоль оси Ох согласно уравнению x=A+Bt+Ct 2 +Dt 3 , где В= — 2 м/с, С=1 м/с 2 , D= — 0,2 м/с 3 . Найти мощность N, развиваемую силой в момент времени t1=2 с и t2=5 с.

2.68. С какой наименьшей высоты h должен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке, имеющей форму «мертвой петли» радиусом R=4 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением пренебречь.

2.69. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полусферы. Какую дугу опишет камешек, прежде чем оторвется от поверхности купола? Трением пренебречь.

2.70. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость v он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом R=4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

2.71. При выстреле из орудия снаряд массой m1=10 кг получает кинетическую энергию T1=1,8 МДж. Определить кинетическую энергию T2 ствола орудия вследствие отдачи, если масса m2 ствола орудия равна 600 кг.

2.72. Ядро атома распадается на два осколка массами m1=1,6 10 -25 кг и m2=2,4•10 -25 кг. Определить кинетическую энергию T2 второго осколка, если энергия T1 первого осколка равна 18 нДж.

2.73. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m1=5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью v2=1 м/с. Масса конькобежца m2=60 кг. Определить работу A, совершенную конькобежцем при бросании гири.

2.74. Молекула распадается на два атома. Масса одного из атомов в п=3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинетической

энергий и импульсом молекулы, определить кинетические энергии T1 и T2 атомов, если их суммарная кинетическая энергия T=0,032 нДж.

2.75. На рельсах стоит платформа, на которой закреплено орудие без противооткатного устройства так, что ствол его расположен в горизонтальном положении. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса m1 снаряда равна 10 кг, и его скорость u1=1 км/с. На какое расстояние l откатится платформа после выстрела, если коэффициент сопротивления f=0,002? Mпл = 20 т.

2.76. Пуля массой m=10 г, летевшая со скоростью v=600 м/с, попала в баллистический маятник (рис. 2.9) массой M=5 кг и застряла в нем. На какую высоту h, откачнувшись после удара, поднялся маятник?

2.77. В баллистический маятник массой М=5 кг попала пуля массой m= 10 г и застряла в нем. рис 2.9

Найти скорость v пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h=10 см.

2.78. Два груза массами m1=10 кг и m2=15 кг подвешены на нитях длиной l=2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол =60° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать неупругим.

2.79. Два неупругих шара массами m1=2 кг и m2=3 кг движутся со скоростями соответственно v1=8 м/с и v1=4 м/с. Определить увеличение внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

2.80. Шар массой m1, летящий со скоростью v1=5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m2. Удар прямой, неупругий. Определить скорость и шаров после удара, а также долю кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) т1=2 кг, m2=8 кг; 2) m1=8 кг, m2=2 кг.

2.81. Шар массой m1=2 кг налетает на покоящийся шар массой m2=8 кг. Импульс p1 движущегося шара равен 10 кг м/с. Удар шаров прямой, упругий. Определить непосредственно после удара: 1) импульсы первого шара и р'2 второго шара; 2) изменение импульса первого шара; 3) кинетические энергии первого шара и Т'2 второго шара; 4) изменение кинетической энергии первого шара; 5) долю кинетической энергии, переданной первым шаром второму.

2.82. Шар массой m1=6 кг налетает на другой покоящийся шар массой m2=4 кг. Импульс p1 первого шара равен 5 кг-м/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после удара: 1) импульсы первого шара и р'2 второго шара; 2) изменение импульса первого шара;

3) кинетические энергии первого шара и Т'2 второго шара; 4) изменение кинетической энергии первого шара; 5) долю кинетической энергии, переданной первым шаром второму и долю кинетической энергии, оставшейся у первого шара; 6) изменение внутренней энергии шаров; 7) долю кинетической энергии первого шара, перешедшей во внутреннюю энергию шаров.

2.83. Молот массой m1=5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса m2 наковальни равна 100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить КПД удара молота при данных условиях.

2.84. Боек свайного молота массой m1=500 кг падает с некоторой высоты на сваю массой m2=100 кг. Найти КПД удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при углублении ее пренебречь.

2.85. Молотком, масса которого т1=1 кг, забивают в стену гвоздь массой т2=75 г. Определить КПД удара молотка при данных условиях.

2.86. Шар массой m1=200 г, движущийся со скоростью v1=10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m2=800 г. Удар прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости v1 и v2 шаров после удара?

2.87. Шар массой m=1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы М. В результате прямого упругого удара шар потерял =0,36 своей кинетической энергии T1. Определить массу большего шара.

2.88. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший шар покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял =3/4 своей кинетической энергии T1. Определить отношение k=M/m масс шаров.

2.89. Определить максимальную часть кинетической энергии T1, которую может передать частица массой m1=2 l0 -22 г, сталкиваясь упруго с частицей массой m2=6 10 -25 г, которая до столкновения покоилась.

2.90. Частица массой m1=10 -25 кг обладает импульсом p1=5 10 -20 кг м/с. Определить, какой максимальный импульс р2 может передать эта частица, сталкиваясь упруго с частицей массой m2=4 10 -25 кг, которая до соударения покоилась.

2.91. На покоящийся шар налетает со скоростью v1=2 м/с другой шар одинаковой с ним массы. В результате столкновения этот шар изменил направление движения на угол =30°. Определить: 1) скорости u1 и u2 шаров после удара; 2) угол между вектором скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара. Удар считать упругим.

2.92. Частица массой m1=10 -24 г имеет кинетическую энергию T1=9 нДж. В результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m2=4 10 -24 г она сообщает ей кинетическую энергию Т2 =5 нДж. Определить угол на который отклонится частица от своего первоначального направления.

3.1. Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см.

3.2. Два маленьких шарика массой m=10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l=20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

3.3. Два шара массами m и 2m (m=10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l=40 см так, как это указано на рис. 3.7, а, б. Определить моменты инерции J системы относитель¬но оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.

3.7. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендику¬лярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на а=20 см от одного из его концов.

3.8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольни¬ка со сторонами а=12 см и b=16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с ли¬ней ной плотностью τ=0,1 кг/м.

3.9. Два однородных тонких стержня: АВ длиной l1=40 см • и массой m1=900 г и CD длиной l2=40 см и массой l2=400 г скреп¬лены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси 00', проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.

3.10. Решить предыдущую задачу для случая, когда ось 00' проходит через точку А перпендикулярно плоскости чертежа.

3.11. Определить момент инерции J проволочного равносто¬роннего треугольника со стороной а=10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10, а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3.10, б). Масса т треугольника равна 12 г и равномерно рас¬пределена по длине проволоки.

3.12. На концах тонкого однородного стержня длиной l и мас¬сой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Опреде¬лить момент инерции J такой системы относительно оси, перпенди¬кулярной стер и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев а, б, в, г, д, изобра¬женных на рис. 3.11. При расчетах принять l=1 м, m=0,1 кг. Шарики рассматривать как материальные точки.

3.13. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R=20 см и массой m=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

3.14. Определить момент инерции J кольца массой т=50 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу.

3.15. Диаметр диска d=20 см, масса т=800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через се¬редину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

3.16. В однородном диске массой т=1 кг и радиусом r=30 см вырезано круглое отверстие диаметром d=20 см, центр которого находится на расстоянии l=15 см от оси диска (рис. 3.12). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходя¬щей перпендикулярно плоскости диска через его центр.

3.17. Найти момент инерции J плоской однородной прямоуголь¬ной пластины массой т=800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина а другой стороны равна 40 см.

3.18. Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами а=10 см и b=20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равно¬мерно распределена по ее площади с по¬верхностной плотностью σ=1,2 кг/м2.

Основное уравнение динамики вращательного движения

3.19. Тонкий однородный стержень дли¬ной l=1 м может свободно вращаться во¬круг горизонтальной оси, проходящей че¬рез точку О на стержне (рис. 3.13). Стер¬жень отклонили от вертикали на угол а и отпустили. Определить для начального момента времени угловое в и тангенциальное а ускорения точки В на стержне. Вычис¬ления произвести для следующих случаев:

3.20. Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно вра¬щаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости

диска и проходящей через точку О на нем (рис. 3.14). Диск откло¬нили на угол а и отпустили. Определить для начального момента времени угловое ε и тангенциальное ат ускорения точки В, находя¬щейся на диске. Вычисления выполнить для следующих случаев:

3.21. Тонкий однородный стержень длиной l=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением ε=3 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Опре¬делить вращающий момент М.

3.22. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R=5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой т=0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s=l,8 м за время t=3 с, Определить момент инерции J махо¬вика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

3.23. Вал массой m=100 кг и радиусом R=5 см вращался с ча¬стотой n=8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40 H, под действием которой вал остановился через t=10 с. Определить коэффициент трения f.

3.24. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) полый тонкостенный.

3.25. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m1=100 г и т2=110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса т блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

3:26. Два тела массами т1=0,25 кг и m2=0,15 кг связаны тон, кой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.15). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого сколь¬зит тело массой т1. С каким ускорением а движутся тела и каковы силы T1 и Т2 натяжения нити по обе. стороны от блока? Коэффи¬циент трения f тела о поверхность стола равен 0,2. Масса т блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока прене¬бречь.

3.27. Через неподвижный блок массой т=0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m1=0,3 кг и m2=0,5 кг. Определить силы натяжения T1 и T2 шнура по обе сто¬роны блока во время движения грузов, если масса блока равномер¬но распределена по ободу.

3.28. Шар массой m=10 кг и радиусом R=20 см вращается во круг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара

имеет вид , где В=4 рад/с2, С= —1 рад/с3. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить

момент сил М в момент времени t=2 с. Закон сохранения момента импульса Рис. 3.16

3.29. Однородный тонкий стержень массой m1=0,2 кг и длиной l=1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 3.16). В точку А на стержне попада¬ет пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью υ=10 м/с и прилипает к стержню. Масса

т2 шарика равна 10 г. Определить угловую скорость W стержня и линейную скорость и нижнего конца стержня в начальный момент времени. Вычисления выполнить для следующих значений расстояния между точками А и О: 1) l/2; 2) l/3; 3) l/4.

3.30. Однородный диск массой т1= 0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпен¬дикулярной плоскости диска и проходящей через точку С (рис. 3.17). В точку, А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью υ= 10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса т2 шарика равна 10 г. Определить угловую скорость W диска и линейную скорость и точки О на диске в начальный момент времени. Вычисления выпол¬нить для следующих значений а и b: 1) a=b=R; 2) a=R/2, b=R; 3) a=2R/3, b=R/2; 4) a=R/3, b=2R/3.

3.31. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой т=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со ско¬ростью υ=20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r =0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью  начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг-м2?

3.32. Маховик, имеющий вид диска радиусом R=40 см и массой т1=48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к другому кон¬цу которой подвешен груз массой т2= 0,2 кг (рис. 3.18). Груз был приподнят и затем опущен. Упав свободно с высоты h=2 м, груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость  груз сообщил при этом маховику?

3.33. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2м, стоит человек массой т1=80кг. Масса m2 платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью  будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью V=2 м/с относительно платформы.

3.34. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться око¬ло вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой т1=60 кг. На какой угол φ повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса т2 платформы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.

3.35. Платформа в виде диска радиусом R=1 м вращается по инерции с частотой n1=6мин-1. На краю платформы стоит человек, масса т которого равна 80 кг. С какой частотой п будет вращаться платформа, если человек перейдет в ,ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кг·м2. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

3.36. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l=2,4 м и массой т=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вра¬щается с частотой n1=1 с-1. С какой частотой n2 будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг•м2.

3.37. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения ска¬мейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного

• Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
• 68175 просмотров

Задачи Элементарная ячейка. Параметры решетки 49.1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку 1) примитивной решетки кубической сингонии; 2) объемно-центри­рованной решетки ромбической сингонии; 3) гранецентрированной решетки кубической сингонии; 4) базоцентрированной решетки ром­бической сингонии; 5) примитивной решетки гексагональной син­гонии; 6) гексагональной структуры с плотной упаковкой. 49.2. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом V=1 м3: 1) хлористого цезия (решетка объемно-центрированная кубической сингонии); 2) меди (решетка гранецентрированная кубической сингонии); 3) кобальта, имеющего гексагональную струк­туру с плотной упаковкой. 49.3. Найти плотность r кристалла неона (при 20 К), если из­вестно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная а решетки при той же температуре равна 0,452 нм. 49.4. Найти плотность р кристалла стронция, если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние d между ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм. 49.5. Определить относительную атомную массу Аr кристалла, если известно, что расстояние d между ближайшими соседними ато­мами равно 0,304 нм. Решетка объемноцентрированная кубической сингонии. Плотность r кристалла равна 534 кг/м3. 49.6. Найти постоянную а решетки и расстояние d между бли­жайшими соседними атомами кристалла: 1) алюминия (решетка гра­нецентрированная кубической сингонии); 2) вольфрама (решетка объемно-центрированная кубической сингонии). 49.7. Используя метод упаковки шаров, найти отношение с/а параметров в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать причины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычисленного. 49.8. Определить постоянное а и с решетки кристалла магния, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Плотность р кристаллического магния равна 1,74×103 кг/м3. . 49.9. Вычислить постоянную а решетки кристалла бериллия, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Параметр а решетки равен 0,359 нм. Плотность r кри­сталла бериллия равна 1,82×103 кг/м3. 49.10. Найти плотность р кристалла гелия (при температуре Т=2 К), который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. По­стоянная а решетки, опре­деленная при той же тем­пературе, равна 0,357, нм. Индексы узлов, направлений и плоскостей 49.11. Определить ин­дексы узлов, отмеченных на рис. 49.7 буквами А, В, С, D. 49.12. Написать индек­сы направления прямой, проходящей в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) [[242]]; 2) [[112]].

49.13. Найти индексы направлений прямых АВ, CD, KL, изображенных на рис. 49.8, а, б, в.

49.14. Написать индексы направления прямой, проходящей через два узла с кристаллографическими индексами (в двух случа­ях): 1) [[123]] и [[321]]; 2) [[121]] и [[201]]. 49.15. Вычислить период l идентичности вдоль прямой [111] в решетке кристалла NaCI, если плотность r кристалла равна 2,17×103 кг/м3. 49.16. Вычислить угол j между двумя направлениями в куби­ческой решетке кристалла, которые заданы кристаллографическими индексами [110] и [111].

49.17. Написать индексы Миллера для плоскостей в примитив­ной кубической решетке, изображенных на рис. 49.9, а — е. Рис. 49.9 49.18. Плоскость проходит через узлы [[10011, [[010]], [[001]] кубической решетки. Написать индексы Миллера для этой плоскости. 49.19. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана индексами Миллера (221). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоское графически. 49.20. Направление нормали к некоторой плоскости в кубической решетке задано индексами [110]. Написать индексы Миллера для этой плоскости и указать наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях. 49.21. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) [[111]], [[112]], [[101]]; 2) [[111]], [[010]], [[111]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат. 49.22. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (111). Определить расстояние d между соседними плоскостями, если параметр а решетки равен 0,3 нм. 49.23. Определить параметр а примитивной кубической решет­ки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, за­данных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измере­нии, оказалось равным 0,12 нм. 49.24. Три системы плоскостей в примитивной кубической ре­шетке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (110); в) (100). Ука­зать, для какой системы межплоскостные расстояния d минимальны и для какой системы — максимальны. Определить отношения меж­плоскостных расстояний d111 : d110 : d100. 49.25. Вычислить угол j между нормалями к плоскостям (в ку­бической решетке), заданных индексами Миллера (111) и (111). 49.26. Две плоскости в кубической решетке заданы индексами Миллера (010) и (011). Определить угол j между плоскостями. 49.27. В кубической решетке направление прямой задано индек­сами [011]. Определить угол j между этой прямой и плоскостью (111). 49.28. Определить в кубической решетке угол j между прямой [111] и плоскостью (111). 49.29. Плоскость в кубической решетке задана индексами Мил­лера (011), направление прямой — индексами [111]. Определить угол j между прямой и плоскостью.

• Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Задачи

Электроны в металле. Распределение Ферми-Дирака

51.1. Определить концентрацию n свободных электронов в металле при температуре Т=0К. Энергию Ферми e принять равной 1эВ. 51.2. Определить отношение концентраций n1/n2 свободных электронов при Т=0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны eƒ,1=4,72эВ, eƒ,2=1,53эВ. 51.3. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре Т=0К. Уровень Ферми eƒ для Натрия равен 3,1эВ. Плотность r натрия равна 970кг/м³.

51.4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящихся на один атом металла при Т=0, больше в алюминий, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны eƒ,1=11,7эВ, eƒ,2=7,0эВ?

51.5. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале Δe=0,05эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур:1) T1=290K; 2)Т2=58К. 51.6. Вычислить среднюю кинетическую энергию <e> электронов в металле при температуре Т=0К, если уровень Ферми eƒ=7эВ. 51.7. Металл находится при температуре Т=0К. Определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от eƒ/2 до eƒ больше числа электронов с энергией от 0 до eƒ/2. 51.8. Электроны в металле находятся при температуре Т=0К. Найти относительное число ΔN/N свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергий Ферми не более чем на 2 %. 51.9. Оценить температуру Ткр вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность r калия 860 кг/м3. 51.10. Определить отношение концентрации nmax электронов в металле (при Т=0К), энергия которых отличается от максимальной не более чем на Δe, к концентраций nmin электронов, энергий которых не превышают значения e=Δe; Δe принять равным 0,01e. 51.11. Зная распределение dn(e) электронов в металле по энергиям, установить распределение dn(р) электронов по импульсам. Найти частный случай распределения при Т=0К. 51.12. По функций распределения dn(р) электронов в металле по импульсам установить распределение dn(u) по скоростям: 1)при любой температуре Т; 2)при Т=ОК. 51.13. Определить максимальную скорость umax электронов в металле при Т=0К, если уровень Ферми e=5эВ. 51.14. Выразить среднюю скорость <u> электронов в металле при Т=0К через максимальную скорость Umax. Вычислить <u> для металла, уровень Ферми e которого при Т=0К равен 6эВ. 51.15. Металл находится при температуре Т=0К. Определить, во сколько раз число электронов со скоростями от Umax/2 до Umax больше числа электронов со скоростями от 0 до Umax/2. 51.16. Выразить среднюю квадратичную скорость электронов в металле при Т=0К через максимальную скорость Umax электронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать известной. 51.17. Зная распределение dn(u) электронов в металле по скоростям, выразить <1/u> через максимальную скорость Umax электронов в металле. Металл находится при Т=0К.

Полупроводники. Эффект Холла 51.18. Определить уровень Ферми eƒ в собственном полупроводнике, если энергия ΔЕ0 активации равна 0,1эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергий электронов принять низший уровень зоны проводимости. 51.19. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление р=0,480м·м. Определить концентрацию n носителей заряда, если подвижности bn и bp электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 м²/(В·с). 51.20. Удельная проводимость g кремния с примесями равна 112См/м. Определить подвижность bp дырок и их концентрацию np, если постоянная Холла RН=3,66·10-4м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью. 51.21. В германий часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его энергию Е связи и радиус r орбиты. Диэлектрическая проницаемость e германия равна 16. 51.22. Полупроводник в виде тонкой пластины шириной l=1см и длиной L=10см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В=0,2Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины (по направлению L) приложено постоянное напряжение U=300В. Определить холловскую разность потенциалов UH на гранях пластины, если постоянная Холла RH=0,1м3/Kл, удельное сопротивление r=0,5Ом·м. 51.23. Тонкая пластина из кремния шириной l=2см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,5Тл). При плотности тока j=2мкА/мм2, направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов UH оказалась равной 2,8В. Определить концентрацию n носителей заряда.

Магнитный резонанс 51.24. Определить гиромагнитное отношение g для свободного электрона. 51.25. Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле (B0=1Тл). Определить частоту n0 переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергий электроном (g-фактор для свободного электрона равен 2). 51.26. Определить отношение wэпр/wцик резонансной частоты электронного парамагнитного резонанса к циклотронной частоте (g-фактор равен 2,00232). 51.27. Стандартные спектрометры для наблюдения электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксированную частоту n0=9,9ГГц. Определить магнитную индукцию поля В0, при которой происходит резонансное поглощение энергии радиочастотного поля свободным электроном (g-фактор равен 2). 51.28.Опредилить гиромагнитное отношение g для свободного протона. 51.29. Свободный протон находится в постоянном магнитном поле (В0=1Тл). Определить частоту n0 переменного магнитного поля, при котором происходит резонансное поглощение энергии протоном(g – фактор равен 5,58). 51.30. В опытах по изучению магнитным резонансным методом магнитных свойств атомов 25Мg в основном состоянии обнаружено резонансное поглощение энергии при магнитной индукции В0 поля, равной 0,54Тл, и частотой n0 переменного магнитного поля, равной 1,4Мгц. Определить ядерный g – фактор. 51.31. Методом магнитного резонанса определяют магнитный момент нейрона. Резонансное поглощение наблюдается при магнитной индукции В0 поля, равной 0,682Тл, и частоте n0 переменного поля, равной 19б9МГц. Вычислить ядерный g – фактор и магнитный момент m0 нейрона. Известно, что направления спинового механического и магнитного моментов противоположны. Спин нейрона I=1/2. 51.32. Для молекулы HD, находящейся в основном состоянии, ядерный магнитный резонанс наблюдается: 1) для протона (I=1/2)в постоянном магнитном поле (В0=94мТл) при частоте n0 переменного магнитного поля, равной 4МГц; 2) для дейтонов (I=1) соответственно при В0=0,37Тл и частоте n0=2,42МГц. Определить по этим данным g – фактор и магнитный момент mр и md протона и дейтона (в единицах mN). 51.33. При какой частоте n0 переменного поля будет наблюдаться ЯМР ядер 19Р (I=1/2; m1=2,63mN), если магнитная индукция В0 постоянного поля равна 2,35Тл?

• Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Задачи Классическая теория теплоёмкости

50.1. Вычислить удельные теплоемкости с кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоемкости; 50.2. Пользуясь классической теорией" вычислить удельные теплоемкости с кристаллов NaCI и CaСl2. 50.3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоёмкость С кристалла бромида алюминия AlBr3 объемом V=1м³. Плотность r кристалла бромида алюминия равна 3,01-10³ кг/м³. 50.4. Определить изменение DU внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t=0°С до t2=ЗОО°С. Масса m кристалла равна 20г. Теплоёмкость С вычислить. 50.5. Вывести формулу для средней энергии <e> классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение <e> при Т=300К. 50.6. Определить энергию U и теплоемкость С системы, состоящей из N=1025 классических трёхмерных независимых гармонических осцилляторов. Температура Т=300К. Указание. Использовать результат решений задачи 50.5.

Теория теплоёмкости Эйнштейна

50.7. Определить: 1)среднюю энергию <e> линейного одномерного квантового осциллятора, при температуре Т=qE (qE =200К); 2)энергию U системы, состоящей из N=1025 квантовых трехмерных независимых осцилляторов, при температуре Т=qE (qE =300К). 50.8. Найти частоту n колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура qE серебра равна 165К. 50.9. Во сколько раз изменится средняя энергия <e> квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от Т1=qE/2 до Т2=qE? Учесть нулевую энергию. 50.10. Определить отношение <e>/<eT> средней энергий квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре Т=qE. 50.11. Используя квантовую теорию теплоёмкости Эйнштейна, вычислить изменение DUm молярной внутренней энергий кристалла при нагревании его на DТ=2К от температуры Т=qE/2. 50.12. Пользуясь теорией теплоёмкости Эйнштейна, определить изменение DUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т1=0,1qE. Характеристическую температуру qE Эйнштейна принять для данного Кристалла равной 300К. 50.13. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислений теплоемкости С вместо значения, даваемого теорией Эйнштейна (при Т=qE), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти. 50.14. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию Um0 кристалла цинка. Характеристическая температура qE для цинка равна 230К.

Теория теплоёмкости Дебая

50.15. Рассматривая в дебаевском приближений твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн установить функцию распределения частот g(w) для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N - число атомов в рассматриваемом объеме). 50.16. Зная функцию распределения частот для трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов. 50.17. Используя формулу энергии трехмерного кристалла , получить выражение для молярной теплоёмкости. 50.18. Молярная теплоемкость трехмерного кристалла. Найти предельное выражение молярной теплоёмкости при низких температурах (D<<qD). 50.19. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию Um,0 кристалла меди. Характеристическая температура qD меди равна 320К. 50.20. Определить максимальную частоту wmax собственных колебаний в кристалле золота по теорий Дебая. Характеристическая температура qD равна 180К. 50.21. Вычислить максимальную частоту wmax Дебая, если известно, что молярная теплоемкость Сm серебра при Т=20К равна 1,7Дж/(моль·К). 50.22. Найти отношение изменения DUm внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до D=0,1 qD к нулевой энергий U0. Считать Т<<qD. 50.23. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение DUm молярной внутренней энергий кристалла при нагревании его от нуля до T=0,lqD. Характеристическую температуру qD Дебая принять для данного кристалла равной 300К. Считать Т<<qD. 50.24. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вычислите изменение DUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на DТ=2К от температуры Т=qD/2. 50.25. При нагреваний серебра массой от m=10г от Т1=10К до Т2=2ОК было подведено DQ=0,7lДж теплоты. Определить характеристическую температуру qD Дебая серебра. Считать Т<<qD. 50.26. Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при Т=qD), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти. 50.27. Найти отношение qE/qD характеристических температур Эйнштейна и Дебая. Указание. Использовать выражения для нулевых энергий, вычисленных по теориям Эйнштейна и Дебая.

50.28. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и Поперечных стоячих воли, установить функцию распределение частот для кристалла с двухмерной решеткой (т. е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При выводе принять, что число собственных колебаний ограничено и равно 3N (N - число атомов в рассматриваемом объеме). 50.29. Зная функцию распределения частот для кристалла с двухмерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергий U кристалла, содержащего N (равное постоянной Авогадро) атомов. 50.30. Получить выражение для молярной теплоемкости Cm, используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмерной решеткой: 50.31. Молярная теплоемкость кристалла с двухмерной решеткой выражается формулой . Найти предельное выражение молярной теплоёмкости кристалла при низких температурах (Т<<qD). 50.32. Вычислить молярную Внутреннюю энергию Um кристаллов с двухмерной решеткой, если характеристическая температура qD Дебая равна 350К. 50.33. Рассматривая в дебаевcком приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g(w) для кристалла с одномерной решеткой (т. е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом). При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N - число атомов в рассматриваемом объеме). 50.34. Зная функцию распределения частот g(w)=3N/wmax для кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для внутренней энергий кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов. 50.35. Получить выражение для молярной теплоемкости, используя формулу для молярной внутренней энергий кристалла с одномерной решеткой: 50.36. Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой выражается формулой . Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (Т<<qD). 50.37. Вычислить молярную нулевую энергию Umax кристалла с одномерной решеткой, если характеристическая температура qD Дебая равна 300К.

Теплопроводность неметаллов. Фононы.

50.38 Вода при температуре t1=0°С покрыта слоем льда толщиной h=50см. Температура t1 воздуха равна 30°С. Определить количество теплоты Q, переданное водой за время t=1ч через поверхность льда площадью S=1м². Теплопроводность l льда равна 2,2Вт/(м·К). 50.39. Какая мощность N требуется для того чтобы поддерживать температуру t1=100°C; в термостате, площадь S поверхности которого равна 1,5 м² толщина h изолирующего слой равна 2см и внешняя температура t=20°C? 50.40. Найти энергию e фонона, соответствующего максимальной частоте wmax Дебая, если характеристическая температура qD Дебая равна 250К. 50.41. Определить квазиимпульс r фонона, соответствующего частоте w=0,1/wmax. Усредненная скорость u звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура qD Дебая равна 100К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь. 50.42. Длина волны l фонона, соответствующего частоте w=0,01/wmax, равна 52нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру qD Дебая, если усредненная скорость u звука в кристалле равна 4,8км/с.

50.43. Вычислить усредненную скорость u фононов (скорость звука) в серебре. Модули продольной Е и поперечной G упругость, а также плотность r серебра считать известными.

50.44. Характеристическая температура qD Дебая для вольфрама равна 310К. Определить длину волны l фононов, соответствующих частоте ν=0,lνmax. Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь. 50.45. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 0,3нм. Определить максимальную энергию emax фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость u звука в кристалле равна 5км/с. 50.46. Определить усредненную скорость u звука в кристалле, характеристическая температура q которого равна 300К. Межатомное расстояние d в кристалле равно 0,25нм. 50.47. Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов в кварце SiO2 при некоторой температуре, если при той же температуре теплопроводность l=13Вт/(м·К), молярная теплоемкость С=44Дж/(моль·К) и усредненная скорость u звука равна 5км/с. Плотность r кварца равна 2,65·10³кг/м³. 50.48. Найти отношение средней длины (1) свободного пробега фононов к параметру d решетки при комнатной температуре в кристалле NaCI, если теплопроводность l при той же температуре равна 71Вт/(м·К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана–Коппа. Относительные атомные массы: АNa=23, АCl=35,5; плотность r кристалла равна 2,l7·10³кг/м³. Усредненную скорость u звука принять равной 5км/с. 50.49. Вычислить фононное давление р в свинце при температуре Т=42,5К. Характеристическая температура qD Дебая свинца равна 85К. 50.50. Определить фононное давление р в меди при температуре Т=qD, если qD=320К.

50.51. Исходя из законов сохранения энергии и импульса при испускании фотона движущимся атомом, получить формулу доплеровского смещения Dw/w для нерелятивистского случая. 50.52. Вычислить энергию R, которую приобретает атом вследствие отдачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой части спектра (l=500нм); 2) при рентгеновском излучений (l=0,5нм); 3) при гамма-излучении (l=5·10ˉ³нм). Массу mа атома во всех случаях считать одинаковой и равной 100 а.е.м. 50.53. Уширение спектральной линии излучения атома обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределённостей. Кроме того, вследствие отдачи атома происходит смещение спектральной линии. Оценить для атома водорода относительные изменения (Dl/l) длины волны излучения, обусловленные каждой из трех причин. Среднюю скорость <u> теплового движения атома принять равной 3 км/с, время t жизни атома в возбужденном состоянии-10нс, энергию e излучений атома - 10 эВ. 50.54. При испускании gфотона свободным ядром происходит смещение и уширений спектральной линии. Уширение обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей, а смещение - явлением отдачи. Оценить для ядра 57Fe относительные изменения (Dl/l) частоты излучения, обусловленные каждой из трех причин. При расчётах принять среднюю скорость <u> ядра (обусловленную тепловым движением) равной 300м/с, время t жизни ядра в возбужденном состоянии - 100нс и энергию eg гамма-излучения равной 15кэВ, 50.55. Найти энергий DЕ возбуждения свободного покоившегося ядра массы mя, которую они приобретает в результате захвата гамма-фотона с энергией e. 50.56. Свободное ядро 40К испустило гамма-фотон с энергией eg=30кэВ. Определить относительное смещение Dl/l спектральной линии, обусловленное отдачей ядра. 50.57. Ядро 67Zn с энергией возбуждения DЕ=93кэВ перешло в основное состояние, испустив гамма-фотон. Найти относительное изменение Deg/eg, энергий гамма-фотона, возникающее вследствие отдачи свободного ядра. 50.58. Энергия связи Есв атома, находящегося в узле кристаллической решетки, составляет 20эВ. Масса mа атома равна 80 а.е.м. Определить минимальную энергию eg гамма-фотона, при испусканий которого атом вследствие отдачи может быть вырван из узла решетки. 50.59. Энергия возбуждения DЕ ядра 191Ir равна 129кэВ. При какой скорости u сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 191Ir) можно вследствие эффекта Доплера скомпенсировать сдвиг полос поглощения и испускания, обусловленных отдачей ядер? 50.60. Источник и поглотитель содержат свободные ядра 83Кr. Энергия возбуждения DЕ ядер равна 9,3кэВ. Определить скорость u сближения источника и поглотителя, при которой будет происходить резонансное поглощение гамма-фотона. 50.61. Источник и поглотитель содержат ядра 161Dу. Энергия возбуждения DЕ ядер равна 26кэВ, период полураспада Т½=28нс. При какой минимальной скорости umax сближения источника и поглотителя нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона? 50.62. При скорости u сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 153Еr, равной 10мм/с, нарушается мёссбауэровское поглощение гамма-фотона с энергией eg=98кэВ. Оценить по этим данным среднее время t жизни возбужденных ядер 153Еr. 50.63. Источник гамма-фотонов расположен над детектором-поглотителем на расстояний l=20м. С какой скоростью u необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было полностью скомпенсировано изменение энергии гамма-фотонов, обусловленное их гравитационным взаимодействием с Землей?

Тепловое расширение твердых тел

50.64. Найти коэффициент объемного расширения b для анизотропного кристалла, коэффициенты линейного расширений которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют a1=1,25·10‾5К‾¹; a2=1,01·10‾5К‾¹; a3=1,5·10‾5К‾¹. 50.65. Вычислить максимальную силу Fmax, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гармоничности b=50Н/м, а коэффициент ангармоничности g=500ГПа. 50.66. Определить силу F (соответствующую максимальному смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5% от среднего межатомного расстояний при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности b=50Н/м, коэффициент ангармоничности g=500ГПа, среднее межатомное расстояние rо=0,4нм. 50.67. Каково максимальное изменение DПmax потенциальной энергии атомов в кристаллической решётке твердого тела при гармонических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний составляет 5% от среднего межатомного расстояния? Среднее расстояние rо, между атомами принять равным 0,3Нм, модуль Юнга Е=100ГПа. 50.68. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука F(х)=-bх, то тепловое расширение отсутствует. 50.69. Определить коэффициент гармоничности b в уравнении колебаний частиц твёрдого тела, если равновесное расстояние rо между частицами равно 0,3нм,, модуль Юнга Е=200ГПа. 50.70. Оценить термический коэффициент расширения b твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности g=b/(2/rо). При оценке принять: модуль Юнга Е=100ГПа, межатомное расстояние rо=0,3нм. 50.71. Вычислить коэффициент ангармоничности g для железа, если температурный коэффициент линейного расширения a=1,2·10‾5К‾1,межатомное расстояние rо=0,25нм, модуль Юнга Е=200ГПа. 50.72. Определить, на сколько процентов изменится межатомное расстояние в твердом теле (при нагревании его до Т=400К) по сравнению с равновесным расстоянием rо=0,3нм. Отвечающим минимуму потенциальной энергии. При расчётах принять g=b/(2/rо), модуль Юнга Е=10ГПа. 50.73. Оценить термический коэффициент расширения a твердого тела, обусловленного фононным давлением (в области Т<<qD). При оценке принять: плотность r кристалла равной 104кг/м3, модуль Юнга Е=100ГПа, относительную атомную массу Аг=60.

• Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Вопросы и задачи Волны де Бройля 45.1. Определить длину волны де Бройля λ характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость v =1 Мм/с. Сделать такой же подсчет для протона. 45.2. Электрон движется со скоростью v = 200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля λ, учитывая изменение массы электрона в зависимости от скорости. 45.3. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен прой­ти электрон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна 0,1 нм? 45.4. Определить длину волны де Бройля λ электрона, если его кинетическая энергия T = 1 кэВ. 45.5. Найти длину волны де Бройля λ протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: 1) 1 кВ; 2) 1 MB. 45.6. Найти длину волны де Бройля λ для электрона, движуще­гося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии. 45.7. Определить длину волны де Бройля λ, электрона, находя­щегося на второй орбите атома водорода. 45.8. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля λ электрона равна его комптоновской длине волны λc 45.9. Определить длину волны де Бройля λ электронов, бомбарди­рующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны λ = 3 нм. 45.10. Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля λ электрона. 45.11. На грань некоторого кристалла под углом α = 60° к ее по­верхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость v электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка. Рас­стояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм. 45.12. Параллельный пучок электронов, движущихся с одина­ковой скоростью v = 1 Мм/с, падает нормально па диафрагму с длин­ной щелью шириной α = 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии l = 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние х между первыми дифракционными минимумами. 45.13. Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую раз­ность потенциалов U = 30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через него и рассеивается. На фотопластинке. расположенной за листком на расстоянии l = 20 см от него, получена дифракционная картина, состоящая из круглого центрального пят­на и ряда концентрических окружностей. Радиус первой окружно­сти l = 3,4 мм. Определить: 1) угол θ отражения электронов от микрокристаллов золота, соответствующий первой окружности (угол измеряется от поверхности кристалла); 2) длину волны де Бройля λ электронов; 3) постоянную а кристаллической решетки золота. Фазовая и групповая скорости. 45.14. Прибор зарегистрировал скорость распространения элект­ромагнитного импульса. Какую скорость зарегистрировал прибор — фазовую или групповую? 45.15. Можно ли измерить фазовую скорость? 45.16. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохрома­тическими волнами: ξ1 (x, t) = cos (1002t—3x); ξ2(х,t) =cos (1003t —3,01 x) Определить фазовые скорости v1 и v2 каждой волны и групповую скорость и волнового «пакета». 45.17. Известно, что фазовая скорость v = ω/k. Найти выражения фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивист­ском случаях. 45.18. Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (в релятивистском случае). Не противоречит ли это посту­латам теории относительности? 45.19. Зная общее выражение групповой скорости, найти группо­вую скорость и волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях. 45.20. Написать закон дисперсии (т. е. формулу, выражающую зависимость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях. 45.21. Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, обра­зованные из волн: 1) электромагнитных; 2) де Бройля? Соотношение неопределенностей 45.22. Определить неточность Δх в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью v = l,5 ·106 м/с, если допускаемая неточность Δv в определении скорости составляет 10 % от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для ос­новного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае. 45.23. Электрон с кинетической энергией Т = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить относитель­ную неточность Δv, с которой может быть определена скорость элект­рона. 45.24. Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δx ее координаты, которая соответ­ствует относительной неопределенности импульса в 1 %? 45.25. Предполагая, что неопределенность координаты движу­щейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить отно­сительную неточность Δp/p импульса этой частицы. 45.26. Используя соотношение неопределенностей ΔxΔpx≥ ħ найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию Е электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике ши­риной l. 45.27. Используя соотношение неопределенностей ΔxΔp ≥ ħ оце­нить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l ≈ 0,1 нм. 45.28. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линей­ные размеры ядра. 45.29. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм. 45.30. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок электронов (Т= 10 эВ) падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью Δx = α. Оценить получае­мую при этом относительную неточность в определении импульса Δр/р электрона в двух случаях: 1) а = 10 нм; 2) a = 0,1 нм. 45.31. Пылинки массой m =10-12 г взвешены в воздухе и нахо­дятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2 · 103 кг/м3. 45.32. Какой смысл вкладывается в соотношение неопределен­ностей ΔEΔt ≥ ħ 45.33. Используя соотношение неопределенности ΔEΔt ≥ ħ оце­нить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находяще­гося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время τ жизни атома в возбужденном состоянии равно 10-8 с). 45.34. Оценить относительную ширину Δω/ω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (τ ≈ 10-8 с) и длина волны излучаемого фотона (λ = 0,6 мкм). 45.35. В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энергия Е электрона точно определена. Значит, точно определено и значение квадрата импульса электрона (p2 =2тЕ). С другой стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами l. Не противоречит ли это соотношению неопределенностей?

• Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Вопросы и задачи

Уравнение Шредингера 46.1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находя­щегося в водородоподобном атоме. 46.2. Написать уравнение Шредингера для линейного гармони­ческого осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в по­ложение равновесия, f = -bx (где b — коэффициент пропорцио­нальности, х—смещение). 46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид Найти решение уравнения. 46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного электро­на, движущегося в положительном направлении оси Х со ско­ростью v. Найти решение этого уравнения. 46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой y-функции, а о квадрате ее модуля y2? 46.6. Чем обусловлено требование конечности y-функции? 46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид Обосновать, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции,— ее непрерыв­ность и непрерывность первой производной от волновой функции. 46.8. Может ли [y(x)]2 быть больше единицы? 46.9. Показать, что для y-функции выполняется равенство [y(x)]2 = y(x)y*(x), гдеy*(х) означает функцию, комплексно сопря­женную y(х). 46.10. Доказать, что если y-функция циклически зависит от времени , то плотность вероятности есть функция только координаты.

Одномерный бесконечно глубокий потенциальный ящик 46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоуголь­ном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Напи­сать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II (0<x<l). 46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: y(x) = C1 sin kx + C2 cos kx Используя граничные условия y(0)=0 и y (l) = 0 опре­делить коэффициент С2 и возможные значения волнового вектора k, при котором существуют нетривиальные решения. 46.13. Электрону в потенциальном ящи­ке шириной l отвечает волновое число k = pn/l (п==1, 2, 3, . . .). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных зна­чений энергии Еп. 46.14. Частица находится в потенциаль­ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней DEn+1,n к энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п = 3; 2) n = 10; 3) п → ∞ Пояснить полученные результаты. 46.15. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,5 им. Определить наименьшую разность DE энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах. 46.16. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид Используя условия нормировки, определить постоянную С. 46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубо­кого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде y(x) = C1eikx + C2e-ikx, где . Исполь­зуя граничные условия и нормировку y-функции, определить: 1) коэффициенты C1 и С2; 2) собственные значения энергии En Найти выражение для собственной нормированной y-функции. 46.18. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций yn(x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид [yn(x)]2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<.х<l) и кван­товым числом п. Функцию считать нормированной на единицу. 46.19. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (п = 2). Определить, в каких точках ин­тервала (0 < x < l) плотность вероятности [y2(x)]2 нахождения час­тицы максимальна и минимальна. 46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0 < x < l)плотность вероятности нахож­дения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Ре­шение пояснить графически. 46.21. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в сред­ней трети ящика; 2) в крайней трети ящика? 46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной l находит­ся электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика. 46.23. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика. 46.24. Вычислить отношение вероятностей W1/W2 нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l. 46.25. Показать, что собственные функции и ,описывающие состояние частицы в потен­циальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е. 46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <x> элек­трона (0<x<l). 46.27. Используя выражение энергии En = p2ħ2n2/(ml2) части­цы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий. Двух- и трехмерный потенциальный ящик 46.28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l = 10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре. 46.29. Определить из условия нормировки коэффициент С собст­венной y-функции , описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенци­альном ящике со сторонами l1 и l2- 46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторо­ной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика. 46.31. Определить из условия нормировки коэффициент собст­венной y-функции , описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бес­конечно глубоком ящике со сторонами l1, l2, l3,

Низкий * потенциальный барьер бесконечной ширины 46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энер­гией Е, движущегося в положительном направлении оси Х для об­ластей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U. 46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду­щую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты A1 и B1 для y1(x) и A2 и B2 для yII(x)? Чему равен коэффициент В2? 46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера , yII(x) = A2eikx определить из условий непрерывности y-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B1/A1 и A2/A1. 46.35. Зная отношение амплитуд вероятности Для волны, отраженной от барьера, и для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения r и коэффициен­та прохождения t. 46.36. Считая выражение для коэффициента отражения r от потенциального барьера и коэффициента прохождения t извест­ными, показать, что r + t = 1. 46.37. Электрон с энергией E = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера. 46.38. Определить коэффициент пре­ломления n волн де Бройля для прото­нов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия про­тонов равна 16 эВ, а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ. 46.39. Электрон обладает энергией E = 10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость n, длина волны де Бройля l и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U = 6 эВ. 46.40. Протон с энергией E = 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1 %. Определить высоту U потенциального барьера. 46.41. На пути электрона с дебройлевской длиной волны l1 = 0,l нм находится потенциальный барьер высотой U = 120 эВ. Определить длину волны де Бройля l2 после прохождения барьера. 46.42. Электрон с энергией E = 100эВ попадает на потенциаль­ный барьер высотой U = 64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера. 46.43. Найти приближенное выражение коэффициента отраже­ния r от очень низкого потенциального барьера (U<<E). 46.44. Коэффициент отражения r протона от потенциального барьера равен 2,5 • 10-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов. 46.45. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломле­ния п волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения r от него. 46.46. Определить показатель преломления п волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициен­том отражения r = 0,5. 46.47. При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения r = 0,5.? 46.48. Электрон с энергией Е = 10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель пре­ломления п волн де Бройля и коэффициент отражения r численно совпадают. 46.49. Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения r и коэффициент прохождения t электронов на границе барьера. 46.50. Коэффициент прохождения t электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения r. Опреде­лить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера. 46.51. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохож­дения t электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления п волн де Бройля. 46.52. Коэффициент прохождения t протонов через потенциаль­ный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления п волн де Бройля на границе барьера. 46.53. Электрон с кинетической энергией Т движется в положи­тельном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения r и коэффициента прохождения t на границе потенциаль­ной ступени высотой U (рис. 46.5). 46.54. Найти приближенное выражение для коэффициента про­хождения t через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера. 46.55. Вычислить коэффициент прохождения t электрона с энер­гией E = 100 эВ через потенциальный барьер высотой U = 99, 75 эВ. 46.56. Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность по­тока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока Nr электронов, отраженных от барьера, и плотности потока Nt электронов, прошедших через барьер. 46.57. На низкий потенциальный барьер направлен моноэнерге­тический поток электронов с плотностью потока энергии J1 = 10Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2 а электронов, прошедших барьер, если высота его U = 0,91 эВ и энергия Е электро­нов в падающем потоке равна 1 эВ. 46.58. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения t = 0,9. Определить отношение J2/J1 плотности потока энергии вол­ны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падаю­щей на барьер. 46.59. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергети-ческий поток электронов. Концентрация п0 электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия E = 100 эВ. Определить давле­ние, которое испытывает барьер, если его высота U = 9,7 эВ.

Высокий * потенциальный барьер бесконечной ширины

46.60. Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси х для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеет­ся потенциальный барьер высотой U. 46.61. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) y-функции имеют вид и yII(x) = A2e-kx Используя непрерывность y-функций и их первых производных на границе барьера, найти отноше­ние амплитуд A2 /A1. 46.62. Написать выражение для yII(x) в области II (рис. 46.6) высо­кого потенциального барьера, если y-функция нормирована так, что A1 = 1 46.63. Амплитуда A2 а волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна 2k1 /(k1 +ik) . Установить выражение для плотности вероят­ности нахождения частицы в области II (x > 0), если энергия части­цы равна Е, а высота потенциального барьера равна U. 46.64. Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени , где k1 и k2 — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U). 46.65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения может быть записан в виде 46.66. Определить плотность, вероятности |yII (0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке х = 0, если энергия электрона равна Е, высота потенциального барь­ера равна U и y-функция нормирована так, что A1 = l.

Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины 46.67. Написать уравнения Шредингера для частицы с энер­гией Е, движущейся в положительном направлении оси Х для об­ластей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шири­ной d. 46.68. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду­щую задачу) для областей I, II и III , пренебрегая волнами, отра­женными от границ I — II и II — III , и найти коэффициент прозрач­ности D барьера. 46.69. Найти вероятность W прохождения электрона через пря­моугольный потенциальный барьер при разности энергий U — E = 1 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0,1 нм; 2) d = 0,5нм. 46.70. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d = 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E = 10 эВ; 2) E = 100 эВ. 46.71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U — E =1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в п = 10 раз? 46.72. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D = 0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3). 46.73. При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U — E = 10 эВ. 46.74. Электрон с энергией E движется в положительном направ­лении оси X. При каком значении U—Е, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D = IO-3, если ширина d барь­ера равна 0,1 нм? 46.75. Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон прой­дет через потенциальный барьер, если его высота U = 10эВ и ши­рина d = 0,1 нм. 46.76. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,l нм. При какой разности энергий U — Е вероятность W про­хождения электрона через барьер равна 0,99? 46.77. Ядро испускает a-частицы с энергией E = 5MeB. В гру­бом приближении можно считать, что a-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10МэВ и шири­ной d = 5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для a-частиц. 46.78. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую раз­ность потенциалов Dj = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффи­циенты прозрачности De для электрона и Dp для протона, если вы­сота U барьера равна 20 кэВ и ширина d==0,l пм?

* См. сноску на с. 413. 418

* См. сноску на с. 413. 420

• Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Вопросы и задачи Атом водорода 47.1. Уравнение Шредингера в сферической системе координат для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид

Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функцию представить в виде произведения двух функций:

где R (r) — радиальная и Y (, j) — угловая функции. 47.2. Уравнение для радиальной R(r) функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, имеет вид

где a, b и l — некоторые параметры. Используя подстановку c(r) = rR(r) преобразовать его к виду 47.3. Уравнение для радиальной функции c(r) может быть пре­образовано к виду

где ; l — целое число. Найти асимпто­тические решения уравнения при больших числах r. Указать, какие решения с Е>0 или с E<0 приводят к связанным состояниям. 47.4. Найти по данным предыдущей задачи асимптотическое решение уравнения при малых r. Указание. Считать при малых r члены a и 2b/r малыми по сравнению с l(l+1)/r2 Применить подстановку c(r>=rg. 47.5. Найти решение уравнения для радиальной функции R(г), описывающей основное состояние (l = 0), и определить энергию элек­трона в этом состоянии. Исходное уравнение для радиальной функции может быть записано в виде

где ; l — орбитальное квантовое число. Указание. Применить подстановку R (r) = е-gr 47.6. Атом водорода находится в основном состоянии. Собствен­ная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид y(r) = Се-r/a, где С—некоторая постоянная. Найти из условия нормировки постоянную С. 47.7. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид y(r)=Се-r/a, где (боровский радиус). Определить расстояние r, на котором ве­роятность нахождения электрона максимальна. 47.8. Электрон в атоме водорода описывается в основном со­стоянии волновой функцией y(r) = Ce-r/a Определить отношение вероятностей w1/w2 пребывания электрона в сферических слоях толщиной Dr = 0,01 а и радиусами r1 = 0,5 а и r2=1,5 a. 47.9. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычис­лить: 1) вероятность w1 того, что электрон находится внутри обла­сти, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу а; 2) вероятность w2 того, что электрон находится вне этой области; 3) отношение вероятностей w2/w1. Волновую функцию считать известной: 47.10. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , найти среднее расстояние <r> электрона от ядра. 47.11. Принято электронное облако (орбиталь) графически изоб­ражать контуром, ограничивающим область, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9. Вычислить в атомных еди­ницах радиус орбитали для ls-состояния электрона в атоме водорода. Волновая функция, отвечающая этому состоянию, где r — расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах.

Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить графи­чески.

47.12. Волновая функция, описывающая 2s - состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где r —расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах. Определить: 1) расстояние r1 от ядра, на которых вероятность об­наружить электрон имеет максимум; 2) расстояния r2 от ядра, на которых вероятность нахождения электрона равна нулю; 3) по­строить графики зависимости [y200 (r)]2 от r и r2 [y200(r)]2 от r. 47.13. Уравнение для угловой функции Y( , j) в сферической системе координат может быть записано в виде

где l — некоторая постоянная. Показать, что это уравнение можно разделить на два, если угловую функцию представить в виде произ­ведения двух функций: , где — функция, зависящая только от угла ; Ф(j) — то же, только от угла j 47.14. Угловая функция Ф(j) удовлетворяет уравнению Решить уравнение и указать значения параметра m, при которых уравнение имеет решение. 47.15. Зависящая от угла j угловая функция имеет вид Ф(j) = Ceimj Используя условие нормировки, определить постоянную С. 47.16. Изобразить графически угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода, если угловая функция Yl,m(,j) имеет вид: 1) в s-состоянии (l = 0) 2) в p-состоянии (l=1) при трех значениях m: a) m = 1 ; б) m = 0, , в) m = -1 . Для построений воспользоваться полярной системой координат. 47.17. Угловое распределение плотности вероятности нахожде­ния электрона в атоме водорода определяется видом угловой функ­ции. Показать, что p-подоболочка имеет сферически сим­метричное распределение плотности вероятности. Воспользоваться данными предыдущей задачи.

Орбитальный момент импульса и магнитный момент электрона 47.18. Вычислить момент импульса Ál орбитального движения электрона, находящегося в атоме: 1) в s-состоянии; 2) в p-состоянии. 47.19. Определить возможные значения проекции момента им­пульса Álz орбитального движения электрона в атоме на направле­ние внешнего магнитного поля. Электрон находится в d-состоянии. 47.20. Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией e =10,2 эВ. Определить изменение момента импульса DÁl орбитального движения электро­на. В возбужденном атоме электрон находится в p-состоянии. 47.21. Используя векторную модель атома, определить наимень­ший угол ст, который может образовать вектор Ál момента импульса орбитального движения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в d-состоянии. 47.22. Электрон в атоме находится в f-состоянии. Найти орби­тальный момент импульса Ál электрона и максимальное значение проекции момента импульса Ál z max направление внешнего маг­нитного поля. 47.23. Момент импульса Ál орбитального движения электрона в атоме водорода равен 1,83×10-34 Дж×с. Определить магнитный момент ml, обусловленный орбитальным движением электрона. 47.24. Вычислить полную энергию Е, орбитальный момент им­пульса Ál и магнитный момент ml ;электрона, находящегося в 2p-состоянии в атоме водорода. 47.25. Может ли вектор магнитного момента ml орбитального движения электрона установиться строго вдоль линий магнитной индукции? 47.26. Определить возможные значения магнитного момента ml, обусловленного орбитальным движением электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия e возбуждения равна 12,09эВ. Спиновый момент импульса и магнитный момент электрона 47.27. Вычислить спиновый момент импульса Ás электрона и про­екцию Ász этого момента на направление внешнего магнитного поля. 47.28. Вычислить спиновый магнитный момент ms электрона и проекцию магнитного момента ms z на направление внешнего поля. 47.29. Почему для обнаружения спина электрона в опытах Штерна и Герлаха используют пучки атомов, принадлежащих первой группе периодической системы, причем в основном со­стоянии? 47.30. Атомы серебра, обладающие скоростью n = 0,6 км/с, про­пускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяженностью l = 6 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности дВ/дz магнитного поля, при которой расстояние b между компонентами расщепленного пучка по выходе его из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии. 47.31. Узкий пучок ато­марного водорода пропуска­ется в опыте Штерна и Гер­лаха через поперечное неод­нородное (дВ/дz = 2 кТл/м) магнитное поле протяжен­ностью l = 8 см. Скорость v атомов водорода равна 4 км/с. Опре­делить расстояние b между компонентами расщепленного пучка атомов по выходе его из магнитного поля. Все атомы водорода в пучке находятся в основном состоянии. 47.32. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия (в основном состоянии) проходит через поперечное неоднородное магнитное поле и попадает на экран Э (рис. 47.1). Какова должна быть степень неоднородности дВ/дz магнитного поля, чтобы расстоя­ние b между компонентами расщепленного пучка на экране было равно 6 мм? Принять l1 = l2 = 10cм. Скорость атомов цезия равна 0,3 км/с. 47.33. Узкий пучок атомов рубидия (в основном состоянии) про­пускается через поперечное неоднородное магнитное поле протя­женностью l = 10 см (рис.47.1). На экране Э, отстоящем на расстоя­нии l2 = 20 см от магнита, наблюдается расщепление пучка на два. Определить силу Fz, действующую на атомы рубидия, если расстоя­ние b между компонентами пучка на экране равно 4 мм и скорость v атомов равна 0,5 км/с. 47.34. Узкий пучок атомов серебра при прохождении неодно­родного (дВ/дz = 1кТл/м) магнитного поля протяженностью l1 = 4 см расщепился на два пучка. Экран для наблюдения удален от границы магнитного поля на расстояние l2 = 10 см (рис. 47.1). Опре­делить (в магнетонах Бора) проекции mJ, r магнитного момента атома на направление вектора магнитной индукции, если расстоя­ние b между компонентами расщепленного пучка на экране равно 2 мм и атомы серебра обладают скоростью v = 0,5км/c. Застройка электронных оболочек 47.35. Какое максимальное число s-, p- и d-электронов может находиться в электронных К-, L- и М- слоях атома? 47.36. Используя принцип Паули, указать, какое максималь­ное число Nmax электронов в атоме могут иметь одинаковыми сле­дующие квантовые числа: 1) п, l, т, тs', 2) п, l, т; 3) п, l; 4) п. 47.37. Заполненный электронный слой характеризуется кванто­вым числом n = 3. Указать число N электронов в этом слое, которые имеют одинаковые следующие квантовые числа: 1) ms =+ 1/2; 2) m = 2; 3) тs -= -1/2 и т= 0; 4) ms = + 1/2 и l=2. 47.38. Найти число N электронов в атомах, у которых в основ­ном состоянии заполнены: 1) К- и L- слои, Зs-оболочка и наполовину Зp-оболочка; 2) К,-, L- и М-слои и 4s-, 4p- и 4d-оболочки. Что это за атомы? 47.39. Написать формулы электронного строения атомов: 1) бо­ра; 2) углерода; 3) натрия.

Векторная модель атома. Спектральные термы 47.40. Как можно согласовать использование векторной модели атома с соотношением неопределенностей для проекций момента им­пульса? 47.41. Электрон в атоме водорода находится в p-состоянии. Оп­ределить возможные значения квантового числа j и возможные зна­чения (в единицах ħ) полного момента импульса Áj, электрона. По­строить соответствующие векторные диаграммы. 47.42. В возбужденном атоме гелия один из электронов нахо­дится в p-состоянии, другой в d-состоянии. Найти возможные зна­чения полного орбитального квантового числа L и соответствующего ему момента импульса ÁL. (в единицах ħ). Построить соответствую­щие векторные диаграммы. 47.43. Определить угол j между орбитальными моментами им­пульсов двух электронов, один из которых находится в d-состоянии, другой — в f-состоянии, при следующих условиях: 1) полное орби­тальное квантовое число L = 3; 2) искомый угол — максимальный; 3) искомый угол—минимальный. 47.44. Система из трех электронов, орбитальные квантовые числа l1, l2, l3 которых соответственно равны 1, 2, 3, находятся в S-состоянии. Найти угол j1, 2 между орбитальными моментами импульса первых двух электронов. 47.45. Каковы возможные значения полного момента импульса Áj электрона, находящегося в d-состоянии? Чему равны при этом углы j между спиновым моментом импульса и орбитальным? 47.46. Спиновый момент импульса двухэлектронной системы определяется квантовым числом S = 1. Найти угол j между спино­выми моментами импульса обоих электронов. 47.47. Система, состоящая из двух электронов, находится в состоянии с L = 2. Определить возможные значения угла j между орбитальным моментом импульса p-электрона и полным орбиталь­ным моментом импульса ÁJ системы. 47.48. Найти возможные значения угла между спиновым мо­ментом импульса и полным моментом: 1) одноэлектронной системы, состоящей из d-электрона; 2) двухэлектронной системы с J = 2. 47.49. Определить возможные значения (в единицах ħ) проекции Ász спинового момента импульса электронной системы, находящей­ся в состоянии 3D3, на направление полного момента. 47.50. Определить возможные значения квантового числа J электронной системы, для которой: 1) S = 2 и L = 1; 2) S = 1 и L = 3. Найти (в единицах ħ) возможные значения полного момента импуль­са Áj системы и построить соответствующие векторные диаграммы. 47.51. Определить возможные значения квантового числа J, соответствующего полному моменту импульса Ás электронной сис­темы, у которой L = 3, a S принимает следующие значения: 1) 3/2; 2) 2; 3) 5/2; 4) 4. Построить соответствующие векторные диаграммы. 47.52. Записать основные термы для следующих атомов: 1) H; 2) Не; 3) Be; 4) Li; 5) В. 47.53. Перечислить возможные термы для следующих состояний атомов: 1) 2S; 2) 2P; 3) 4P; 4) 5D. 47.54. Определить кратности вырождения следующих термов: 1) 2D3/2; 2) 3F2 3) 1F. 47.55. Объяснить на основе векторной модели атома наличие двух систем термов (синглетных и триплетных) в атомах с двумя валентными электронами. 47.56. Определить возможные мультиплетности (2S+1) термов следующих атомов: 1) Li; 2) Be; 3) В; 4) С; 5) N. 47.57. Выписать все возможные термы для комбинации р- и d-электронов по типу связи Рассель — Саундерса. Дать их спект­ральные обозначения. Магнитный момент атома. Атом в магнитном поле 47.58. Вычислить множитель Ланде g для атомов с одним валентным электроном в состояниях S и Р. 47.59. Вычислить множитель Ланде g для атомов, находящихся в синглетных состояниях. 47.60. Определить магнитный момент mJ атома в состоянии 1D. Ответ выразить в магнетонах Бора (mв). 47.61. Вычислить магнитный момент mJ атома в состоянии 3P2. Ответ выразить в магнетонах Бора. 47.62. Атом находится в состоянии 2D3/2. Найти число возмож­ных проекций магнитного момента на направление внешнего поля и вычислить (в магнетонах Бора) максимальную проекцию mJz max 47.63. Вычислить в магнетонах Бора магнитный момент mJ атома водорода в основном состоянии. 47.64. Атом находится в состоянии 1/F. Найти соответствующий магнитный момент mJz и возможные значения его проекции mJz на направление внешнего магнитного поля. 47.65. Максимальная проекция mJ, z max магнитного момента атома, находящегося в состоянии 2D, составляет четыре магнетона Бора. Определить мультиплетность (2S+1) соответствующего терма. 47.66. На сколько составляющих расщепляется в опыте Штерна и Герлаха пучок атомов, находящихся в состояниях: 1) 2P3/2, 2) 1D; 3) 5F1. 47.67. Определить максимальные проекции mJ, z max магнитных моментов атомов ванадия (4F), марганца (6S) и железа (5D), если известно, что пучки этих атомов при прохождении через сильно не­однородное магнитное поле по методу Штерна и Герлаха расщепля­ются соответственно на 4, 6 и 9 составляющих. (В скобках указаны состояния, в которых находятся атомы.) 47.68. Вычислить частоты wл ларморовой прецессии электрон­ных оболочек атомов: 1) в магнитном поле Земли (B = 5×10-5 Тл); 2) в поле, магнитная индукция В которого равна 50 Тл. 47.69. Найти угловую скорость ю прецессии магнитных момен­тов атомов, помещенных в магнитном поле (В = 10мТл) в случае, когда атомы находятся в состояниях: 1) 1P; 2) 1P3/2. 47.70. Определить максимальную энергию Umax магнитного взаимодействия атома, находящегося в состоянии 1D с магнитным полем, индукция которого: 1) .6=1 Тл; 2) В=50 Тл. Ответ выразить в электрон-вольтах. Эффект Зеемана 47.71. Какое магнитное поле в случае эффекта Зеемана следует считать: 1) «слабым», 2) «сильным»? 47.72. Состояния атома характеризуются двумя спектральными термами. Указать квантовые числа S, L и возможные значения кван­тового числа J для состояний: 1) 1S и 1P; 2) 1S и 1F. Изобразить для

этих состояний схему энергетических уровней при отсутствии маг­нитного поля.

47.73. Состояние атома характеризуется двумя спектральными термами. Указать возможные значения квантового числа J для состояний: 1) 2S и 2P; 2) 3P и 2D 3) 3S и 3D. Изобразить для этих состояний схему энергетических уровней с учетом спин-орбиталь­ного взаимодействия (естественного мультиплетного расщепления) при отсутствии магнитного поля. 47.74. Определить возможные значения квантового числа тJ и изобразить на схеме расщепление энергетических уровней атома в магнитном поле для состояний, определяемых спектральными термами: 1) 2S; 2) 2P3/2; 3) 2D5/2; 4) 1F. 47.75. Построить схему возможных энергетических переходов в слабом магнитном поле между состояниями атома, определяемыми следующими термами: 1) 2P1/2 ® 2S; 2) 2P3/2 ® 2S 3)2D3/2 ® 2p3/2 47.76. Вычислить смещение Dw спектральных линий при слож­ном (аномальном) эффекте Зеемана в случае перехода атома из со­стояния, определяемого термом 2P1/2, в состояние — 2S1/2. В каче­стве единицы смещения принять нормальное (лоренцово) смещение Dw = (mB/ħ)B.