Разработка урока по теме: "Применение производной в решении практических задач на наибольшее и наименьшее значение". 11-й класс

Цель урока: Усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.

• Закрепление, систематизация и обобщение знаний и умений в понятии наибольшее и наименьшее значение функции, практическое применение формируемых умений и навыков.

• Развитие умений самостоятельно работать, ясности выражений мысли, проведение самооценки учебной деятельности на уроке.

• Умение участвовать в дискуссии, умение слушать и слышать.

I. Слово учителя: (2 мин.)

Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач.

III. В это время выполняется взаимопроверка по теме “Применение производной” (за каждый правильный ответ выставляется 1 балл) Каждый ученик отвечает и для проверки передает свой ответ соседу по парте.

1. Функция называется возрастающей на данном промежутке, если…
2. Функция называется убывающей на данном промежутке, если…
3. Точка х0 называется точкой минимума, если…
4. Точка х0 называется точкой максимума, если…
5. Стационарными точками функции называют точки…
6. Написать общий вид уравнения касательной.
7. Физический смысл производной.

IV. Класс садится по группам. Группы выполняют задания на отыскание минимума и максимума функции.

Для функции f(х)=х 2 + найти минимум на промежутке (0; ?);

VI. Выдаются задачи по выбору для каждой группы. (10 мин)

Для функции f(х)=х 2 *(6-х) найти наименьшее значение на отрезке[0;6]

f(х)=х 2 *(6-х)=6х 2 +х 3 ;

Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры.

Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х 2 ;

S / (х)=10-2х; S / (х)=0; х=5;

По условию задачи х (0;10)

Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10 ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см 2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см;

Участок, площадью 2400м 2 , надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков.

Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет м, длина изгороди Р(х)=3х+ ;

Р / (х)= 3- ; Р / (х)=0;3х 2 =4800;х 2 =1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая =60м.

Для функции f(х)=х 2 +(16-х) 2 найти наименьшее значение на отрезке[8;16]

f / (х)=2х-2(16-х)х=4х-32; f / (х)=0; 4х-32=0; х=8;

f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min;

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет ( -2х)м, площадь S(х)= ( -2х)х = х -2х 2 ;

S / (х)= -4х; S / (х)=0; -4х; х = ;

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0; )и на промежутке ( ; ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = м, вторая -2х= м ;

Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим?

Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х 3 -260х 2 +4000х;

V / (х)=12х 2 -520х+4000; V / (х)=0; 12х 2 -520х+4000=0; х1=10; х2=

По условию задачи х (0; 25); х1 (0; 25), х2 (0;25)

Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см.

Для функции f(х)=х*(60-х) найти наибольшее значение на отрезке [0;60]

f / (х)=60-2х ; f / (х)=0; 60-2х=0; х=30;

f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х 2 ;

S / (х)= 20 -4х; S / (х)=0; 20 -4х =0; х = =5;

По условию задачи х (0; 10)

Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м;

Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м 2 , при которых смачиваемая площадь будет наименьшей.

Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет м, Р(х)=2х+ ;

Р / (х)=2- ; Р / (х)=0;2х 2 =4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5; ?). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая =3м.

Для функции f(х)=х 2 (18-х) найти наибольшее значение на отрезке[0;18]

f(х)=х 2 (18-х)=18х 2 -х 3 ;

f / (х)= (18х 2 -х 3 ) / ; f / (х)=0; 36х-3х 2 =0; х1=0; х2=12

f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max

Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая.

Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х 2 ;

S / (х)= 200 -4х; S / (х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50;

По условию задачи х (0; 100)

Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с “+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая 200 -2х= 100м;

Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300см 2 .

Обозначим одну сторону основания через х см, тогда высота будет см, объем V(х)=х 2 = ;

V / (х)= = V / (х)=0 300-3х 2 =0; х 2 =100; х=10. Берем только положительное значение по условию задачи.

По условию задачи х (0; )

Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на промежутке (10; ). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=10 точка минимума, следовательно, V(10)=500см 3 - наименьшее значение, значит, сторона основания 10см, высота = 50см

VII. Делегаты от групп рассказывают решение выбранных задач.(10мин)

VIII. С учетом баллов в разминке и работе в группах выставляются отметки за урок.

IX. Подводится итог урока.

X. Домашнее задание: Решение задачи на балл выше, кто выполнял задачу на “5”, они освобождаются от домашней работы.