О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследуются аппроксимативные свойства различных операторов, являющихся модификациями синк-приближений непрерывных функций на отрезке.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Трынин Александр Юрьевич

On some properties of sinc approximations of continuous functions on the interval

We study approximation properties of various operators being the modifications of sinc approximations of continuous functions on an interval.

Текст научной работы на тему «О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 116-132.

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ СИНК-АППРОКСИМАЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ

Аннотация. Исследуются аппроксимативные свойства различных операторов, являющихся модификациями синк-приближений непрерывных функций на отрезке.

Ключевые слова: синк-аппроксимации, интерполяция функций, равномерное приближение.

Э. Борель иЭ.Т. Уиттекер независимо друг от друга ввели понятие кардинальной функции и усечённой кардинальной функции, сужение на отрезок [0, п] которых выглядят так:

На сегодняшний момент очень подробно исследована проблема синк-аппроксимации аналитической в полосе, содержащей действительную ось, функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до 1993 г., а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [1]. Интересные исторические обзоры исследований в этой области содержатся также в [2], [3].

Синк-приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и теории приближения функций как одной, так и нескольких переменных [1], [4], в теории квадратурных формул [1], теории вейвлет-преобра-зований или всплесков [5, Гл. 7,§4, п.2], [6, Гл. 2], [7], [8].

Интересные признаки равномерной сходимости на оси кардинальных функций Уитте-кера приводятся в [9], [10].

Не менее важное достаточное условие сходимости синк-аппроксимаций получено авторами статьи [11]. Ими установлено, что для некоторых подклассов, абсолютно непрерывных вместе со своими производными на интервале (0,п) и имеющих ограниченную вариацию на всей оси R функций ряды Котельникова (или кардинальные функции Уиттекера), сходятся равномерно внутри интервала (0, п).В [12] оригинально получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0,п], функций линейными комбинациями синков. В работах [13], [14], [15] установлены оценки погрешности равномерной аппроксимации на всей оси значениями различных операторов, представляющих собой комбинации синков, на классе равномерно непрерывных и ограниченных на

A.Yu. Trynin, On some properties of sinc approximations of continuous functions on the interval.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13-01-00102).

Поступила 17 августа 2015 г.

К функций. Отметим, что некоторые из рассмотренных в [13], [14] операторов по своей конструкции похожи на операторы, изучаемые в настоящей работе.

К сожалению, при приближении непрерывных функций на отрезке с помощью (1) и многих других операторов вблизи концов отрезка возникает явление Гиббса смотрите, например, [16] и [17].

В [18], [19], [20] и [17] получены различные оценки погрешности аппроксимации аналитических в круге функций с помощью синк-приближений (1). Насколько мне известно, до появления работ [18], [19], [20] и [17] приближение кардинальными функциями Уиттекера на отрезке или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций сведением к случаю оси с помощью конформного отображения.

В статье [20] установлены точные по порядку оценки для функций и констант Лебега оператора (1), а также получен пригодный для изучения аппроксимативных свойств оператора (1) аналог формулы Г.П. Неваи. Работы [21], [22] посвящены получению необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной внутри интервала (0,п) сходимости синк-аппроксимаций (1) для непрерывных на [0,п] функций. Авторы интересной статьи [23] используют результаты работы [21] для исследования сходимости алгоритмов многоуровневых синк-аппроксимаций функций с минимальной гладкостью.

В [24] построен пример непрерывной, исчезающей на концах отрезка [0, п] функции, для которой последовательность значений операторов (1) неограниченно расходится всюду на интервале (0,п). Из результатов исследований в [24] видно, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1) возможно появление «резонанса», приводящего к неограниченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0, п). В этой же работе установлено отсутствие равносходимости значений операторов (1) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.

Работа [25] посвящена исследованию аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. В [26] приводится ряд приложений результатов работы [25] к исследованию аппроксимативных свойств классических интерполяционных процессов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби рап'вп с параметрами, зависящими от п. Статьи [27] и [28] посвящены применению рассматриваемых в [25] операторов к изучению интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля.

Эта краткая историческая справка, конечно, ни в коей мере не претендует на полноту обзора всех работ, посвящённых теореме отсчётов или дискретизации и её обобщений. Тем более, мы здесь не цитируем статьи, из трудно обозримого цикла работ, содержащих большое количество приложений этого направления исследований математического анализа в смежных областях естествознания.

В настоящей работе, используя концепции публикаций [29]-[36], изучаются вопросы возможности приближения непрерывных на отрезке [0, п] функций с помощью линейных комбинаций системы синков П= и линейных функций. При этом допускается использовать в качестве информации об аппроксимируемой функции только её значения в узлах Хк,п =

0 < к < п, п =1, 2, 3. Основное внимание в предлагаемых исследованиях уделяется следующим вопросам. Во-первых, как компенсировать появление нежелательного «резонанса» при аппроксимации негладких функций фрактального вида. Во-вторых, можно ли предложить операторы, лишённые явления Гиббса (Уилбрейама-Гиббса) вблизи концов отрезка [0,п]. Есть ли возможность сохранить при этом интерполяционное свойство новых операторов.

Поставим в соответствие каждой, принимающей конечные значения на множестве *к,п = Пт, п € N 0 < к < п, функции / целую функцию ¿Тп по следующему правилу

_ \ - f f (Xfc+l,ra) + f (Xfc,ra) (/(п) - f (°))(2k + !) f (»J Sin nx COS nx +

¿I 2 2n f ()Jnx - (k + 2)n +

Обратите, пожалуйста, внимание на тот факт, что в качестве информации о функции f оператор (2) использует её значения исключительно в узлах xk,n = nk, n G N, k G Z. Кроме того, cos nxk,n = (—1)k при n G N, 0 < k < п,и поэтому первое слагаемое в определении оператора (2) фактически представляет собой несколько «подправленный» оператор синк-аппроксимаций (1). А второе слагаемое (2) компенсирует нежелательный резонанс, в случае его появления, при приближении негладких функций. Поэтому оператор (2) обладает такими же аппроксимативными свойствами, как и операторы (13), несмотря на то, что значения этого оператора достаточно гладкие и интерполируют приближаемую функцию, т.е. для любых n G N, 0 < k < n, f(xk,n) = LTn(f, xk,n). Применение приёма, использованного при построении оператора тд(/, •) [25, формула (1.9)], позволяет избавиться от эффекта Гиббса вблизи концов отрезка [0, п] при аппроксимации функций с помощью оператора (2).

Для вычислительной математики может быть полезным более компактное представление оператора (2) в эквивалентном виде

k^V n J [2(nx - kn)(7T2 - 4(nx - kn)2J J

(/(n) - /(0)) k _TT2 sin 2nx

Теорема 1. Для любой непрерывной на отрезке [0, п] функции f справедливо соотношение

lim f - LTra(f, -)||с[0,п] = 0.

Будем обозначать C0[0, п] пространство непрерывных, исчезающих на концах отрезка, функций с чебышевской нормой, то есть C0[0,п] = .

Результаты настоящей работы позволяют также сделать выводы о полноте системы элементов U= 0uXi в нормированных пространствах C[0, п] и C0[0, п].

Следствие 1. Система uL0U=i полна в C0[0, п], что согласуется с результатами работы [12]. А система функций U U=0U=1 полна в C[0, п].

Более того, никакими линейными комбинациями функций системы , U>UL0 U=i невозможно приблизить произвольный элемент пространства C [0, п].

Теорема 2. Линейные оболочки систем функций

не плотны в C[0, п].

2. Вспомогательные утверждения

Сначала приведём некоторые вспомогательные утверждения, которые будем использовать в дальнейшем.

Предложение 1. [20, Теорема 2] Если функция f непрерывна на отрезке [0,п], то для всех х Е [0,п] имеют место следующие соотношения

f (x) - L™(/,x) - 2 £(f (xfc+1,n) - /(xfc,ra))lfc,ra(x)) = 0, (4)

Сходимость в (4) поточечная на отрезке [0,п] и равномерная внутри интервала (0,п), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.

В предположении рл > 0, при каждом неотрицательном Л считаем, что функция дл такая, что

Von[дл] < Рл, Рл = о^ 1пЛ) , при Л ^ го, дл(0) = 0. (5)

Тогда для любого потенциала дл G [0,п], при Л ^ +го, нули решения задачи Коши

или, при дополнительном условии Л,(Л) = 0, — задачи Коши

попадающие в [0,п] и перенумерованные в порядке возрастания, обозначим

0 < Жо,Л < Ж1,л < . . . < ХП(Л),Л < П (Х-1,л < 0,ХП(Л)+1,Л > п). (8)

(Здесь х-1,л < 0, хп(л)+1,л > п обозначают нули продолжения решения задачи Коши (6) или (7), после доопределения каким-либо образом функции дл вне отрезка [0,п] с сохранением ограниченности вариации). В случае задачи Коши (7), кроме того, потребуем отличие от нуля функции Л-(Л), то есть

VTЫ < Рл, Рл = О^ , при Л ^ го, дл(0) = 0, й(Л) = 0. (9)

В [25] исследуются аппроксимативные свойства операторов типа Лагранжа, построенных по решениям задачи Коши вида (6) или (7) и ставящих в соответствие любой, определённой на отрезке [0,п] функции /, интерполирующую её в узлах П=0 непрерывную функцию таким образом

В частности, установлена справедливость следующего утверждения.

Предложение 2. [25, Предложение 9] Пусть у(х, Л) - решения задачи Коши (6) или (7). Для задачи Коши (6) выполняются соотношения (5). В случае же задачи Коши (7)

Если функция f € С0[0,п], то равномерно по х € [0,п] и по всем дЛ € [0,п] справедливо соотношение

Кт (7(х) - ^Л(Лх) - 2 Х^(хк+1,л) - f (хк,А)>5к,Л(х^ = 0,

где 5к>л(х) = у7^х^лу.

Замечание 1. [25, Предложение 9] Аналогично убеждаемся в справедливости следующего утверждения в рамках условий предложения 2. Если функция f € С0[0,п], то равномерно по х € [0,п] и по всем дЛ € [0,п] справедливы соотношения

(f (х) - ^Л(Лх) - 2 Х^ (хк+1,Л) - 2f (хк,Л) + f (хк— 1,Л)>5й,Л (х)) = 0.

Следствие 2. Если функция f € С0[0,п], то равномерно по х € [0,п] справедливо утверждение предложения 2 при Лп = и2, Л(Л) = 0, дЛ = 0, $Лп(^х) = х), а (х) = /к,п(х).

Доказательство следствия 2. В случае задачи Коши (7), при Лп = и2, Л,(Л) = 0, дЛ = 0 оператор (10) превращается в (1), /к.п(х) = зк.Лп(х). Отсюда получаем истинность утверждения следствия 2.

Для приближения негладких непрерывных функций, например, функций f, имеющих фрактальный характер, определим новые операторы. Так, операторы Ап(^ х) и Ап(^ х) ставят в соответствие каждой непрерывной на отрезке [0, п] функции f линейную комбинацию синков по правилам

Обратим внимание на то, что в пространстве Со[0,п] значения Ап(^ х) и Ап(^ х) совпадают, а в С[0,п] ведут себя одинаково во внутренних точках (0,п). Здесь приводятся результаты в терминах обоих операторов, чтобы не перепроверять эти факты при использовании (11) и (12) в приложениях.

Модификацию этих операторов после применения приёма, который позволяет избавиться от явления Гиббса вблизи концов отрезка [0,п] будем обозначать

Предложение 3. Пусть f G C[0, п]. Тогда равномерно на [0, п]

lim ATn(f,x) = f(x). (14)

Доказательство предложения 3. Сначала заметим, что для f G C0[0, п], согласно следствию 2 из предложения 2, равномерно на [0, п] справедливо

U^n (f (x) - Ln(f,x) - ^ £ (f (xfc+1,u) - f (xfc,u^/fc,U(x)) =

= lim f (x) - An(f,x) = lim f (x) - A>(f,x) = 0.

Для доказательства (14) заметим, что функция f (x) - f(0)x - f (0) принадлежит пространству C0[0, п]. И, следовательно, равномерно на всём отрезке [0, п]

то есть верно (14). Предложение 3 доказано.

Можно также рассматривать операторы, аналогичные (11), (12), (13) вида

Наконец, чтобы избавиться от асимметрии в конструкциях введённых операторов, положим

ГУ / \ п— ^к+1,п(х) + 21к,п(х) + 1к-1,п(х) е, Ч

Модификацию этих операторов после применения приёма, который позволяет избавиться от явления Гиббса вблизи концов отрезка будем обозначать

(/(п) - f (0«k _ / (оЛы*) + finl-ZCO) x + /(0),

¡^/f ч V1 i f (xfc+l,n) + 2/ (xfc,n) + f (xfc-l,n) CT „(/,x) = ^j-4--

Замечание 2. Аналогично доказательству предложения 3 устанавливается справедливость следующего утверждения. Пусть / G C[0,п]. Тогда равномерно на [0,п]

lim BT„(/,x) = /(x), lim CTra(/,x) = lim CTra(/,x) = /(x).

К сожалению, предлагаемые операторы не обладают интерполяционными свойствами как Ln, то есть, вообще говоря, значения операторов An, ATn, Bn, BTn, Cn, CTn, An, Bn, Cn и CTn не обязаны совпадать с аппроксимируемой функцией в точках xfc,n = k^, 0 < k < n, n G N. Зато их аппроксимативные качества существенно менее чувствительны к гладкостным свойствам приближаемой функции. С их помощью можно приближать произволный элемент пространства C[0,п].

Замечание 3. В теории приближения функций классическими алгебраическими многочленами хорошо известны процессы Бернштейна по матрице узлов Чебышёва [37, см. формулу (11) и предыдущую к ней], которые в некотором смысле идентичны конструкции An (12) и Cn (16). Заметим также, что оператор, аналогичный Cn (15) использовался В.П. Скляровым при доказательстве теоремы 1 в [12], а также в случае продолжения на всю ось превращается в оператор Блэкмана-Харриса при m =1,

формула (9)]. Методы исследований аппроксимативных свойств рассматриваемых конструкций операторов у С.Н. Бернштейна, В.П. Склярова, авторов [13] и предложенный в данной работе существенно отличаются друг от друга.

Замечание 4. Если наряду с операторами (11), (12), (15), (16) рассмотреть, например, операторы вида

n^i lfc+1,n(x) + ¿fc—1,n(x) /(x ) fc=1 2

то для сходимости их значений к приближаемой функции / потребуются адекватные необходимые и достаточные условия (например, условия, сформулированные в [21, Теоремы 1 и 2]).

3. Исследование полноты системы синков в С0[0,п] и C[0,п]

Результаты предыдущего параграфа позволяют сделать выводы о полноте системы элементов |1к,п>П=ов нормированных пространствах С[0,п] и Со[0,п].

Доказательство следствия 1. Из следствия 2 и предложения 3 вытекает следствие 1.

Доказательство теоремы 2. Покажем, что линейные оболочки систем функций (3) не плотны в С[0,п]. Система (3) является системой Чебышева [38], [39], то есть линейные

оболочки функций (3) представляют собой чебышевские пространства [38, Гл. 1, §2]. Действительно, во-первых, это непрерывные функции. Во-вторых, каждый обобщённый полином

(- 1)kП (xfc,n)(x - Xfc,n)

где шп (х) = Пп=о(х - хк,п), может иметь не более п нулей как произведение многочлена степени п на целую функцию ^'"(Х), отличную от нуля на отрезке [0, п]. Для каждого элемента / € С[0, п] по теореме Хаара [38, Гл. 1, §2] или теореме Бернштейна [39, Гл. IX, §1] существует единственный элемент наилучшего приближения