Стереометрия. Призмы и пирамиды

В статье рассмотрены стереометрические задачи повышенной сложности, в которых надо определить площади сечений и углы между прямыми и плоскостями.

Задача 1. В правильной шестиугольной пирамиде с вершиной S боковая сторона вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер и и вершину C, делит апофему грани в отношении 2:1, считая от вершины .

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины ребер и и вершину C, делит ребро , считая от вершины .

а) Так как грани пирамиды – равнобедренные треугольники, то апофема грани также является и медианой треугольника . Плоскость, проходящая через прямую , параллельную основанию, и точку С, обязательно пройдет и через точку В основания пирамиды. Грань будет рассечена плоскостью по прямой ВО, которая является медианой треугольника . Таким образом, мы ищем отношение, в котором будут делиться медианы точкой пересечения, а это отношение известно: 2:1.

б) Пирамиды и подобны с коэффициентом , так как – средняя линия треугольника .

Получается, что треугольники и подобны с коэффициентом , и . Но , тогда

Задача 2. В пирамиде с вершиной S в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной , , . Точка О – основание высоты пирамиды, проведенной из вершины S.

а) Докажите, что точка О лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объем четырехугольной пирамиды .

а) Рассмотрим треугольник .

Высота треугольника . К – середина АС, так как треугольник равнобедренный. Тогда .

Рассмотрим треугольник . Его стороны 3 (высота правильного треугольника основания), , . Определим косинус угла .

Если косинус отрицательный – то угол тупой. Поэтому точка О основания высоты пирамиды лежит вне его.

Будем искать объем данной пирамиды:

б) Объем данной пирамиды равен: . Площадь основания пирамиды складывается из площади треугольника ABC и площади треугольника AOC. Определим обе.

Высота треугольника . К – середина АС. Тогда .

Высота треугольника ABC .

Определив косинус угла , можем определить косинус смежного с ним угла .

Косинус смежного угла – острого – равен .

Тогда можем определить площадь треугольника AOC.

Высоту пирамиды определим по теореме Пифагора.

Наконец, осталось вычислить объем:

Задача 3. В правильной треугольной призме все ребра равны 1.

а) Докажите, что прямая параллельна прямой, проходящей через середины отрезков и .

б) Найдите косинус угла между прямыми и .

а) Точка Q – середина диагонали грани . Поскольку боковые грани призмы – прямоугольники, то диагонали грани равны между собой и точка Q является также серединой второй диагонали этой грани – . Прямая таким образом – средняя линия треугольника , и параллельна его основанию .

б) Так как, по доказанному, прямая параллельна , то угол между прямыми и равен углу между прямыми и . Величину косинуса этого угла можно найти из теоремы косинусов для треугольника . В этом треугольнике

– высота правильного треугольника основания и равна .

Задача 4. В правильной треугольной пирамиде с вершиной S, все ребра которой равны 2, точка M – середина ребра AB, точка O – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.

б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.

а) Введем систему координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой M, ось была бы направлена вверх, ось – вдоль прямой , а ось вдоль прямой MC. Тогда можем определить координаты точек A, B, M, F, S, C.

Тогда координаты , а координаты .

Определим угол между прямыми (между направляющими векторами) прямых MF и SC.

Косинус угла между направляющими векторами:

Косинус, равный 0, имеет угол в .

б) Угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC – это угол .

Задача 5. Основание прямой четырехугольной призмы – прямоугольник ABCD, в котором , . Расстояние между прямыми AC и равно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой , делит отрезок в отношении 1:7, считая от вершины .

б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой , и плоскостью основания призмы.

а) Построим данную плоскость.

Она должна содержать прямую, перпендикулярную – то есть прямую, содержащую высоту треугольника , она пересечет прямую в точке , и прямую, перпендикулярную проекции прямой – прямой . Проведем прямую, перпендикулярную , через точку – . Грань плоскость пересечет по прямой , а грань – по прямой , параллельной . Точка – место «прокола» прямой искомой плоскости. Эта точка и разделит отрезок в некотором отношении, которое нам необходимо найти.

Определим длину диагонали параллелепипеда. Расстояние между прямыми AC и – длина отрезка – ни что иное, как высота параллелепипеда, :

Треугольники и подобны по двум углам. Поэтому запишем:

Тогда отрезок составляет , следовательно, отрезок составляет , и точка поделит в отношении 1:7.

б) Найдем косинус угла . Он равен синусу угла . Его определить проще, поэтому

Угол будет равен .

Задача 6. Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях. . Точка P – середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что . Вычислите объем пирамиды MPTC.

Высота пирамиды PMCT равна длине отрезка CO:

Площадь основания пирамиды MPCT:

Задача 7. Ребро куба равно 12. Точка К лежит на продолжении ребра ВС на расстоянии, равном 9, от вершины С. Точка ребра AB удалена от А на расстояние, равное 5. Точка M делит отрезок в отношении 1:3, считая от . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки K, L, M.

Построим сечение. Соединим точки K и L. Полученная прямая пересечет ребро куба DC в точке P. Через точку М, лежащую в противоположной грани куба, проведем прямую, параллельную KL.Она пересечет ребро в точке Q, а ребро – в точке R. Соединив точки P,R,Q,L получим сечение – параллелограмм .

Чтобы найти площадь параллелограмма, необходимо знать его основание и высоту. Начнем с основания. Найдем длину отрезка . , , , .

Для подобных треугольников и запишем:

Осталось найти высоту сечения. Пусть – искомая высота.

Треугольники и подобны. Коэффициент подобия – отношение, в котором точка M делит отрезок , 1:3.

Тогда . Треугольники и имеют точно такой же коэффициент подобия, тогда , а . Тогда .Треугольники и , аналогично, имеют коэффициент подобия . Точка М разделит в отношении , , .

Отрезок . Поэтому , . Опустим перпендикуляр на ребро из точки . Расстояние от до основания перпендикуляра равно 5, а от точки R до основания перпендикуляра -3.