Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

кандидат физико-математических наук, доцент Федоров Владимир Евгеньевич Официальные оппоненты:.

доктор физико-математических наук, профессор Максимов Вячеслав Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Макаров Анатолий Семенович Ведущая организация:

Институт математики-им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится " /4 " КЛОНА. 2004 года в tb ч. РУ мин. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Щ. Пименов

Актуальность темы. Уравнениями соболевского типа называются уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени. Такие уравнения возникают при моделировании различных реальных процессов. В настоящее время уравнения соболевского типа изучаются в рамках двух подходов. К первому следует отнести работы С.Л. Соболева, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, Г.И. Эс-кина и многих других. Данный подход предполагает непосредственное исследование начально-краевых задач для уравнений или систем уравнений в частных производных. Другой подход подразумевает изучение абстрактных операторных уравнений с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают И.В. Мельникова, Н.А. Сидоров, R.E. Showalter, A. Favini, A. Yagi, Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие.

Одной из наиболее часто возникающих и важных задач прикладного характера является задача оптимального управления. Для линейного уравнения соболевского типа задача оптимального управления исследовалась в работах Г.А. Свиридюка и А.А. Ефремова. В конечномерных пространствах уравнения соболевского типа или так называемые алгебро-дифференциальные уравнения и, в частности, задачи оптимального управления для них, рассматриваются в работах Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова. Однако, решение задач оптимального управления имеет смысл лишь в случае существования множества управлений, то есть при возможности неоднозначного выбора управления, приводящего к желаемой цели. Поэтому необходимо, чтобы система обладала свойством управляемости1. Управляемость уравнения, разрешенного относительно производной

1Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем // Изв. УрГУ. 1998. X' 10. Вып. 1. С. 103 - 126.

по времени исследовали в своих работах Н.Н. Красовский, R.E. Kalman, Y.C. Но, K.S. Narendra, H.O. Fattorini, R, Trig-giani, Ф.А. Шолохович, А.Б. Куржанский, Л.М. Куперман, Ю.М. Репин, С.А. Нефедов и многие другие. Управляемость уравнений Соболевского типа, ранее, по-видимому, не исследовалась.

Цель работы. Пусть Х,2),И— банаховы пространства. Рассматривается задача Коши

для линейного уравнения соболевского типа

Здесь операторы L Е £(£;2)), М в С1(Х]2)), В 6 £(И;2))> функция u(t) : [0; Т] —► Я обозначает управление. Цель работы — исследовать управляемость уравнения (2), то есть возможность приведения траектории его решения в наперед заданную точку или е-окрестность заданной точки ( -управляемость) в случае, когда а оператор

М сильно (1/,р)-радиален, то есть существует сильно непрерывная разрешающая полугруппа однородного уравнения -(2).

В предположении, что пространство управлений 11 конечномерно, а оператор Bu(t) = Wui(t)i уравнение (2) принимает вид

Li (t) = Mx(t) + iwW» 0 < t < T, (3)

где функции обозначают управления,

векторы bi € 2), 1 < г < m. Еще одной целью диссертационной работы является исследование конечномерной

£>,управляемости вырожденного уравнения (3) (kerL ф ) с (L, ^-ограниченным оператором М, L-резольвента которого имеет несущественную особую точку в бесконечности.

Кроме того, нашей целью является исследование е-уп-равляемости уравнения

содержащего вектор-функции bt(t),c(t) : [0,Т] —* 2), 1 <(<т,с сильно (Ь,р)-радиальным оператором М.

Методы исследования. В основе нашего подхода лежит метод фазового пространства2. Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (2) к паре эквивалентных ему уравнений

определенных, однако, не на пространстве а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является фазовым пространством уравнения, а другое — ядром разрешающей полугруппы. Полученные уравнения затем исследуются методами функционального анализа, теории полугрупп операторов, теории управляемости эволюционных уравнений. При изучении прикладных задач используются классические методы теории уравнений в частных производных.

Новизна полученных результатов. Основными результатами диссертации являются теоремы об управляемости и управляемости дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным

2Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear. Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

оператором при производной. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах. Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести найденные критерии управляемости и управляемости абстрактных уравнений соболевского типа. Полученные результаты затем используются при исследовании управляемости начально-краевых задач для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной, уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, уравнения стратификации объемного заряда в полупроводнике и многих других неклассических уравнений и систем уравнений математической физики.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004) XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001), научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2001 - 2003), Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002), "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, 2003), на семинаре проф. Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.

Кроме того, данное исследование поддержано грантами Минобразования РФ №А03-2.8-82, Минобразования РФ и Правительства Челябинской области № 03-01-б, стипендией Президента РФ (2003) и стипендией Законодательного Собрания Челябинской области (2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография содержит 127 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены, сведения об относительных резольвентах. Второй и третий параграфы, содержат соответственно основные факты об