Комбинированная методика для расчета возбуждения кругового диэлектрического цилиндра с неоднородным включением Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Кисель Наталья Николаевна

В ряде прикладных задач технической электродинамики, таких как дефектоскопия, радиочастотная томография, возникает необходимость строгого анализа электромагнитных полей рассеяния от неоднородных магнитодиэлектрических объектов. Результаты таких исследований используются для разработки средств неразрушающего контроля, создания новых конструкционных материалов с заданными электродинамическими свойствами, при решении вопросов электромагнитной совместимости и, особенно, при изучении взаимодействия электромагнитных волн с биологическими структурами. При этом во многих случаях требуется рассматривать объекты сравнительно простой формы (многослойная сфера, цилиндр ), но со сложной внутренней структурой. Например, при микроволновых исследований в медицинских целях для минимизации паразитного рассеяния облучаемая модель (например, фантом с параметрами реальной биологической ткани) обычно размещается в цилиндрической кювете с согласующим раствором. В работе получено решение модельной двумерной задачи возбуждения кругового цилиндра из однородного диэлектрика , во внутренней области которого имеется неоднородный диэлектрический объект для случая Н-поляризации падающего поля. Решение 2-мерной задачи возбуждения кругового цилиндра из однородного диэлектрика , во внутренней области которого имеется неоднородное включение, сведено к СЛАУ относительно значений поля в поперечном сечении включения. Особенность алгоритма состоит в сочетание строгих методов интегральных уравнений и собственных функций . Такой подход позволяет исключить интегрирование по объему однородной части или внешней границе структуры, повысив тем самым экономичность алгоритма. Использование функции Грина неограниченного пространства с параметрами вмещающей среды позволяет повысить вычислительную эффективность метода, поскольку неоднородным включением оказывается лишь область с ненулевым электродинамическим контрастом. При наличии сильного затухания в объеме однородной части цилиндра , характерного для биологических объектов, многие элементы матрицы СЛАУ будут близки к нулю, что можно учесть при составлении экономичных вычислительных алгоритмов для матриц ленточного типа. Предложенная методика может быть обобщена для трехмерной модели, в случае, если ограничивающее однородное пространство представляет собой сферу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Кисель Наталья Николаевна

COMBINED METHOD FOR CALCULATION OF EXCITATION OF CIRCULAR DIELECTRIC CYLINDER WITH A HETEROGENEOUS OBJECT

In a number of applied problems of electrodynamics such as defectoscopy and RF imaging appears a necessity for rigorous analysis of electromagnetic fields scattering by inhomogeneous magnetodielectric objects. The results of these studies are used to develop non-destructive testing tools, create new structural materials with desired electrodynamic properties, solve the electromagnetic compatibility issues, and, particularly, study the interaction of electromagnetic waves with biological structures. Besides, in many cases it is necessary to consider the objects of relatively simple form (layered sphere, cylinder ), but with a complex internal structure. For example, in microwave studies for medical purposes in order to minimize the parasitic scattering the irradiated model (such as a phantom with real biological tissue parameters) is usually placed in a cylindrical cell with a matching solution. In this paper we solve the model 2-dimensional problem of excitation of a circular cylinder made of a homogeneous dielectric in the inner area of which the inhomogeneous dielectric object exists for the case of H-polarization of the incident field. Solution of 2-dimensional problem of excitation of a circular cylinder made of a homogeneous dielectric with a heterogeneous object in its inner area is reduced to a system of linear algebraic equations for the values of the field in the cross-sectional inclusion. The peculiarity of the algorithm is a combination of rigorous methods of integral equations and their own functions. This approach allows eliminating the homogeneous part or the structure external border integration over the volume, thereby increasing the efficiency of the algorithm. Using Green's function of unlimited space with the parameters of the host medium can improve the computational efficiency of the method, since the heterogeneous object is an area with non-zero electrodynamic contrast. In the presence of a strong attenuation in the volume of the cylinder homogeneous part, which is typical for biological objects, many of the matrix elements of the linear equations system would be close to zero, which can be taken into account when designing the efficient computational algorithms for tape type matrices. The proposed method can be extended to a three-dimensional model in case when the limiting homogeneous space is a sphere.

Текст научной работы на тему «Комбинированная методика для расчета возбуждения кругового диэлектрического цилиндра с неоднородным включением»

23. Kolesnikov A.A. Metod integral'noy adaptatsii nelineynykh sistem na invariantnykh mnogoobraziyakh: naikhudshie vozmushcheniya [The method of integrated adaptation of nonlinear systems on the invariant manifolds: the worst perturbation], Materialy 6-y nauchnoy konferentsii «Upravlenie i informatsionnye tekhnologii» (UIT-2010) OAO «Kontsern «TsNII «Elektropribor» [Proceedings of the 6th conference "Control and Information Technologies" JSC "Concern" Central Research Institute "Elektropribor"], 2010, pp. 22-28.

24. Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering. Fifth Edition.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Г.Е. Веселов.

Межаков Олег Геннадьевич - Южный федеральный университет; e-mail:

Lecter2005@yandex.ru; 347900, г. Таганрог, ул. Чехова, 2, к. 403; тел.: +79287775399; аспирант.

Mezhakov Oleg Genad'evich - South Federal University; e-mail: Lecter2005@yandex.ru;

2, Chekhov street, k. 403, Taganrog, 347900, Russia; phone: +79287775399; graduate student.

УДК 621.396.93 Б01 10.18522/2311-3103-2016-8-4858

КОМБИНИРОВАННАЯ МЕТОДИКА ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЗБУЖДЕНИЯ КРУГОВОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА С НЕОДНОРОДНЫМ

В ряде прикладных задач технической электродинамики, таких как дефектоскопия, радиочастотная томография, возникает необходимость строгого анализа электромагнитных полей рассеяния от неоднородных магнитодиэлектрических объектов. Результаты таких исследований используются для разработки средств неразрушающего контроля, создания новых конструкционных материалов с заданными электродинамическими свойствами, при решении вопросов электромагнитной совместимости и, особенно, при изучении взаимодействия электромагнитных волн с биологическими структурами. При этом во многих случаях требуется рассматривать объекты сравнительно простой формы (многослойная сфера, цилиндр), но со сложной внутренней структурой. Например, при микроволновых исследований в медицинских целях для минимизации паразитного рассеяния облучаемая модель (например, фантом с параметрами реальной биологической ткани) обычно размещается в цилиндрической кювете с согласующим раствором. В работе получено решение модельной двумерной задачи возбуждения кругового цилиндра из однородного диэлектрика, во внутренней области которого имеется неоднородный диэлектрический объект для случая Н-поляризации падающего поля. Решение 2-мерной задачи возбуждения кругового цилиндра из однородного диэлектрика, во внутренней области которого имеется неоднородное включение, сведено к СЛАУ относительно значений поля в поперечном сечении включения. Особенность алгоритма состоит в сочетание строгих методов интегральных уравнений и собственных функций. Такой подход позволяет исключить интегрирование по объему однородной части или внешней границе структуры, повысив тем самым экономичность алгоритма. Использование функции Грина неограниченного пространства с параметрами вмещающей среды позволяет повысить вычислительную эффективность метода, поскольку неоднородным включением оказывается лишь область с ненулевым электродинамическим контрастом. При наличии сильного затухания в объеме однородной части цилиндра, характерного для биологических объектов, многие элементы матрицы СЛАУ будут близки к нулю, что можно учесть при составлении экономичных вычислительных алгоритмов для матриц ленточного типа. Предложенная методика может быть обобщена для трехмерной модели, в случае, если ограничивающее однородное пространство представляет собой сферу.

Электромагнитное поле; вычислительный алгоритм; цилиндр; диэлектрик; интегральное уравнение; собственные функции.

COMBINED METHOD FOR CALCULATION OF EXCITATION OF CIRCULAR DIELECTRIC CYLINDER WITH A HETEROGENEOUS

In a number of applied problems of electrodynamics such as defectoscopy and RF imaging appears a necessity for rigorous analysis of electromagnetic fields scattering by inhomogeneous magnetodielectric objects. The results of these studies are used to develop non-destructive testing tools, create new structural materials with desired electrodynamic properties, solve the electromagnetic compatibility issues, and, particularly, study the interaction of electromagnetic waves with biological structures. Besides, in many cases it is necessary to consider the objects of relatively simple form (layered sphere, cylinder), but with a complex internal structure. For example, in microwave studies for medical purposes in order to minimize the parasitic scattering the irradiated model (such as a phantom with real biological tissue parameters) is usually placed in a cylindrical cell with a matching solution. In this paper we solve the model 2-dimensional problem of excitation of a circular cylinder made of a homogeneous dielectric in the inner area of which the inhomogeneous dielectric object exists for the case of H-polarization of the incident field. Solution of 2-dimensional problem of excitation of a circular cylinder made of a homogeneous dielectric with a heterogeneous object in its inner area is reduced to a system of linear algebraic equations for the values of the field in the cross-sectional inclusion. The peculiarity of the algorithm is a combination of rigorous methods of integral equations and their own functions. This approach allows eliminating the homogeneous part or the structure external border integration over the volume, thereby increasing the efficiency of the algorithm. Using Green's function of unlimited space with the parameters of the host medium can improve the computational efficiency of the method, since the heterogeneous object is an area with non-zero electrodynamic contrast. In the presence of a strong attenuation in the volume of the cylinder homogeneous part, which is typical for biological objects, many of the matrix elements of the linear equations system would be close to zero, which can be taken into account when designing the efficient computational algorithms for tape type matrices. The proposed method can be extended to a three-dimensional model in case when the limiting homogeneous space is a sphere.

Electromagnetic field; computation algorithm; cylinder; dielectric; integral equation; eigenfunctions.

Введение. Для решения задач возбуждения сложных неоднородных структур используются численные методы [1-15]. Структура разбивается на элементарные объемы, внутри которых электрофизические параметры не меняются. Для каждого элементарного объема записывается интегральное уравнение, которое решается численно методом моментов. Такой подход позволяет получить решение для сложных неоднородных тел, однако, основной недостаток такого метода большие вычислительные затраты [1].

Для некоторых прикладных задач требуется рассчитать распределение электромагнитного поля внутри или вблизи протяженного объекта простой формы, который содержит неоднородное включение относительно небольших размеров [16-18]. Ниже рассмотрен способ решения подобных задач на примере расчета электромагнитного поля в объеме кругового цилиндра из однородного диэлектрика, который содержит неоднородный диэлектрический объект для случая Н-поляризации падающего поля. В работах [16-22] аналогичный подход использован для случая Е-поляризации падающего поля. Особенностью методики является комбинирование строгих методов объемных интегральных уравнений (ИУ) и собственных функций (МСФ), которое позволяет одновременно использовать достоинства метода интегральных уравнений, и высокую вычислительную экономичность алгоритмов МСФ. Разработанную модель можно применить при решении задач электромагнитной совместимости, при проектировании конструкционных материалов с заданными электрофизическими свойствами и, особенно, при изучении воздействия электромагнитных волн на биологические структуры. В последнем случае исследуемый биологический объект или его контрастная часть моде-

лируется неоднородным включением, а вмещающий круговой цилиндр служит моделью кюветы с согласующим раствором, по периметру которой обычно размещаются антенны-аппликаторы. При этом востребованными оказываются главные достоинства алгоритма - строгость метода решения и повышенная экономичность, что приобретает особую важность, если учесть реальные электрические размеры конструкции и ограничения на время обработки информации.

Постановка задачи. В свободном пространстве расположен круговой цилиндр радиуса Я из однородного диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью е2, рис. 1. Прямоугольная декартова система координат (х, у, 2) и связанная с ней цилиндрическая система координат (г, р, 2) введены так, что ось 02 совпадает с осью цилиндра. Внутренняя область цилиндра содержит неоднородное диэлектрическое включение У^ которое характеризуется диэлектрической проницаемостью е(х,у), нормированной к е2. Геометрические и электродинамические параметры структуры от 2 не зависят. На цилиндр перпендикулярно образующей под углом р0 падает плоская электромагнитная волна. Требуется определить поле внутри цилиндра, в объеме включения и во внешнем пространстве.

Решение задачи. Рассматривается случай Н-поляризации падающего поля

Н = 12Н2. Для плоской волны, падающей перпендикулярно оси 02 под углом ро к оси 0х, можно записать:

И = Ицехргк^хсоБро + уБшро)] = Ио ехр^гсоБ(р-ро)] =

где к\ - коэффициент распространения в окружающем (свободном) пространстве, () - функция Бесселя 1-го рода п-го порядка, И о - амплитуда падающей волны.

Рис. 1. Постановка задачи

Дифракционное поле внутри кругового цилиндра, при г < К определяется наличием скачка диэлектрических параметров среды на границе г = К и неоднородного включения во внутренней области цилиндра. Полное поле Н = 1Н22 представляется для этой области в виде суммы двух компонентов, один из которых записывается как разложение в ряд по функциям Бесселя с неизвестными ко-

эффициентами Ьп, а другой представляет собой поле токов поляризации \ данных в объеме неоднородного включения Vу :

и 22 = И о 2 ^п (к2г) ехр[- 1п(р - со)] + ИР°1,

где - коэффициент распространения в среде 2 с параметрами внутренней области однородного цилиндра (еое2,^о), к^ = ку -е2, ир°1 - поле токов поляризации \ро1 = ¿ае0£2(е-1)Е2.

Поле, рассеянное цилиндром с включением, представляется в виде

H = Ho ZincrHk)kr)exp[-in(<p-v0)>,

где H^Pi-) - функция Ханкеля 2-го рода. Составляющие напряженности электрического поля можно записать через уравнения Максвелла: падающее поле

Ei = —^ ZinexP[-in(v-Vo)\ ir(--)Jn(kir)-i4k\J'n(kir) I,

рассеянное поле при r > R

поле внутри цилиндра при r < R

H2z = Ho Z inbnJn (hr)f (v) + H Г ,

поле токов поляризации (в декартовой системе координат):

?2 (2 ЕР°1 = к2 /(е-1)ЕъШУ/(е- 1)Е2^У+ — /(е- 1)E2yGdV , у> дх2 vj дхду V.! У

Еу°1 = к2 /(s-1)E2yGdV+— /(s-1)E2yGdV+ — /(е-1)E2xGdV ,

У Vj ду2 vj у дxдУvj

ИрЫ = 1юе0е2|(s-1)E2yGdУ-¡аее |(s-1)E2xGdУ. (3)

Неизвестные коэффициенты Ьп, сп определяются из представлений полного поля в среде 1 (при г > Я)

Е = Е'' + Е5, Н = И + И5, г > Я . Благодаря применению граничных условий (ГУ)

°) и Иг(г = Я+0) = И2г(г = Я

°). В результате получаем уравнения

vo)bnJ'n (k2 R) + EnoJJ

H°cLZine-in(v-vo) Jn(kiR) - H°kLZine

iasai n iasai n .

vo)bnJn (k2R) + Щол

= Ho Z ine-in(v-vo) Jn (kiR) + Ho Z ine-in(v-vo)cnH(f2)(kiK)

Для представления составляющей Иро° при г = К используется представление функции Грина О в цилиндрической систем координат [2], при г > г

Поскольку рассматривается двумерная модельная задача в (5) можно выполнить аналитическое интегрирование по переменным 2 ' и И. Далее используем представление экспоненты в виде двух множителей

ехр[- т(р - р)] = ехр[- ш(<Ро - р)]ехр[- т(Р - Р0 )] и выполняем дифференцирование в (3) в цилиндрической системе координат. Представив площадь поперечного сечения объема Vj 8' в виде М элементарных

площадок у ^^ можно вычислить интеграл по 8 ', например, по составной

квадратурной формуле (прямоугольников или Симпсона), в результате получим выражение при использовании формулы прямоугольников

х НЯ2) (k2r)s) — e® (НЯ2) (k2r)s — -ЯнЯ2) (k2r)c));

е( = — J /—Я (е — 1)^2х exp[— /я(ф — Ф ) ]j kr' )dS' = 2 *md,m ,

е(2) =— ТТТ JГ"(е—^exp[— /Я(ф — kr')dS' = 2 ^m

^ и ^^т - составляющие поля в центре да-й ячейки (гт, рт) , нормированные к И о, £т - диэлектрическая проницаемость включения в пределах Бт , отнесенная к диэлектрической проницаемости среды 2.

Чтобы из системы уравнений (4) выразить Ьп , представим электрическое и

магнитное поля токов поляризации в виде рядов 21пуп (г)ехр[- т(р-р)], выде-

лив таким образом зависимость от азимутальной координаты р. Определяя коэффициенты комплексного ряда Фурье с использованием свойств ортогональности

тригонометрических функций, получим окончательное выражение для Ир°1:

х ИП+1 (к2г)) - еП+1 ехР(Р0)(И'£\(к2г) + ^(^г)) + е^ х х ехр(1т)( и^к ) - ^ иП-1(к2г)) -

1 ( дН \ Далее определяется Epol =- 7

и ГУ (4) удовлетворяются по-

членно, что приводит к системе из двух уравнений с двумя неизвестными коэффициентами. Решая ее относительно Ьп, получим

Ьп = Ьп + Ьп еп-1 + Ьп еп+1 + Ьп еп-1 + Ьп еп+1 ' (6)

ЬЩ1 = А1п 1 Сп , Ьп ) = А2п 1 Сп , = А3п 1 Сп ,

Ь,п4 = -А2п /('Сп), ъп5) = -А3п' I Сп, А1п = Jn (ЬЩИ'^кЩ- ИР(кЯЗ'п (кЯ,

Сп = Jn (к2Я)И'п(2\к1Я) Ип2\кЯУ'п (к2Я),

- (И»)(к1К) (щ(2)^рл _п-1и'(2)^Л ± п -1 '(2)Г^РЛ п -1

х И^Я)) - Ъ^ИЯфК) - И^Оъ К)))ехр