Урок-лаборатория "Построение серединного перпендикуляра к отрезку как геометрического места точек с использованием графической среды компас-3D"

Задачи на построение циркулем и линейкой без делений решаются чаще всего по определённой схеме:

I. Анализ: Чертят искомую фигуру схематично и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами.

II. Построение: По намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой.

III. Доказательство: Доказывают, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

IV. Исследование: Проводят исследование, при любых ли данных задача имеет решение и если имеет, сколько решений (выполняют не во всех задачах).

Вот несколько примеров элементарных задач на построение, которые мы с вами будем рассматривать:

1. Отложить отрезок, равный данному (изучено ранее).

• построить середину данного отрезка;
• построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярно заданной прямой (точка может лежать или не лежать на заданной прямой).

3. Построение биссектрисы угла.

4. Построение угла равного данному.

Серединный перпендикуляр к отрезку.

Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Задача: “Построить серединный перпендикуляр к отрезку”. Презентация

Описание построения (слайд №4):

Луч а; А – начало луча

Окружность (А; r =m)

Окружность а = В; АВ = m

MN ; MN AB =0, (МN = L)

где MN AB, O – середина AB

III. Доказательство (слайд №5, 6)

1. Рассмотрим AMN и BNM:

AM = MB=BN=AN=r2 , следовательно AM = BN , AN = BM MN – общая сторона

Следовательно, AMN = BNM (по 3-м сторонам),

1= 2 (по определению равных )

3= 4 (по определению равных )

2. MAN и NBM – равнобедренные (по определению) —>

1 = 4 и 3 = 2 (по свойству равнобедренных )

3. Из пунктов 1 и 2 —> 1 = 3 следовательно MO – биссектриса равнобедренного AMB

4. Таким образом мы доказали, что MN – серединный перпендикуляр к отрезку AB

IV. Исследование

Данная задача имеет единственное решение, т.к. любой отрезок имеет только одну середину, и через заданную точку можно провести единственную прямую перпендикулярную данной.

Определение: Геометрическое множество точек (ГМТ) — это множество точек, обладающих некоторым свойством. (Приложение №2)

1. Серединный перпендикуляр к отрезку – это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.
2. Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки – центра окружности.
3. Биссектриса угла – множество точек, равноудаленных от сторон угла

Итак, докажем теорему:

Теорема: “Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка”.

Дано: АВ; МО – серединный перпендикуляр

Доказать: АМ = ВМ

1. МО – серединный перпендикуляр (по условию) —> O – середина отрезка АВ , MO АВ

2. Рассмотрим АМО и ВМО - прямоугольные

Домашнее задание: “Доказать теорему, обратную данной”

Теорема: “Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку”.

Доказать: Точка М лежит на серединном перпендикуляре

1. Т.к. МА=МВ (по условию) —> АМВ – равнобедренный (по определению).
2. Проведем МО АВ, т.е. опустим hАВ.
3. Т.к. АВ – основание равнобедренного АМВ, то МО – медиана —> АО=ОВ (по cвойству равнобедренного треугольника).

Т.о. МО – серединный перпендикуляр, содержащий все точки, равноудаленные от концов отрезка.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Они пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности около треугольника, мы изучим в восьмом классе.

Материально техническое оснащение:

Дистрибутив: 29 574 Кбайт

Авторские права: АО АСКОН

ОС: Windows 9x/2000/XP

Теперь перенесем построение в графическую среду компьютера (слайд №7)

Полученные ранее знания и умения необходимо применить на конкретной задаче. Вы увидите, что построение займет у вас времени не больше, чем построение в тетради. Кроме всего прочего интересно посмотреть, как компьютерная среда выполняет команды человека по построению плоскостных фигур. Перед вами приложение №3, в котором подробным образом расписаны ваши шаги построения. Загрузить программу и открыть новый чертеж (слайд №8, 9).

Начертить геометрические объекты, заданные в условии задачи: луч а с началом в точке А и отрезок равный m – произвольной длины (слайд №10).

Ввести обозначение луча, отрезка, начала луча на чертеже с помощью вкладки "Инструменты" текст.

Построить окружность радиусом равным отрезку m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №11).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m с центром в вершине заданной точкой А (слайд №12, 13).

Построить окружность радиусом равным отрезку больше 1/2 m для этого выбрать в контекстном меню ПКМ пункт “Между 2 точками” (слайд №14, 15, 16).

Через точки пересечения окружностей M и N провести прямую (слайд №17,18).

Приложение № 1

1. Анализ.
2. Построение.
3. Доказательство.
4. Исследование.

Примеры элементарных задач на построение

Приложение №2

Геометрическое место точек (ГМТ) - это множество точек, обладающих некоторым свойством.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Дано: отрезок АВ, МО – серединный перпендикуляр.

Домашнее задание:

Сформулировать и доказать обратную теорему.

Приложение №3

Геометрическое построение серединного перпендикуляра к отрезку в графической среде “Компас 3D”.