Задачи по геометрии для подготовки к экзамену (9 класс)
1. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 7 и 24. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение. Теорема о биссектрисе угла треугольника.
Ответ. r = 93/25.
2. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна a.
Решение. Учебник геометрии, в нем - формулы, их надо учить и запомнить.
3. Равнобочная трапеция с острым углом описана около окружности радиуса r. Найдите площадь трапеции.
Решение. Найдем сразу боковую сторону, следовательно - среднюю линию.
4. В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.
Решение. Сторона шестиугольника равна R. Треугольник ACD - прямоугольный.
5. Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.
Решение. Пусть O - центр описанной окружности треугольника CKE. , .
6. Пусть a - длина стороны правильного пятиугольника, d - длина его диагонали.
Докажите, что d 2 = a 2 + ad.
Решение. Т.к. BC - касательная к описанной окружности треугольника CKE (см. задачу 5), то .
7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен 30°. Найдите радиус окружности с центром в вершине угла в 30°, делящей данный треугольник на две равновеликие части.
Решение. Формула площади сектора.
8. В прямоугольном треугольнике ABC даны длины катетов CB=a, CA=b. Найдите расстояние от вершины C до ближайшей к C точки вписанной окружности.
Решение. CO = , 2pr = ab, d = CO - r.
9. В прямоугольном треугольнике медиана длиной m делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника.
Решение. AM=MB=CM=c/2=m, треугольник CAM - равнобедренный с углом при основании AB в 30°.
10. В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найдите угол при основании.
11. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота в 2 раза меньше ее боковой стороны. Найдите радиус вписанного в трапецию круга.
Решение. Если c – боковая сторона, то S = 2cr = 2c(h/2) = 2c(c/4) = c 2 /2.
12. Дан полукруг с диаметром AB. Через середину дуги полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаметр AB?
Решение. Площади частей полукруга вычисляются, одна из них - равнобедренный треугольник.
13. Дан квадрат ABCD со стороной a. На стороне BC взята точка M так, что BM=3MC, а на стороне CD - точка N так, что 2CN=ND. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AMN.
Решение. Найдите стороны треугольника AMN и примените метод площадей.
14. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке K, известно, что AB=a, BK=b, AK=c, CD=d. Найдите длину диагонали AC.
Решение. , значит треугольники AKB и CKD подобны.
Ответ. (ac + bd) / a.
15. Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол , а с диагональю - угол . Найдите отношение площади круга к площади трапеции.
Решение. Теорема синусов: .
16. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно k. Найдите угол при основании треугольника.
Решение. В качестве параметров удобно взять угол при основании и боковую сторону треугольника.
17. Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите площадь круга, проходящего через точки A, D и C, если AB=c, AC=b.
Решение. Теорема синусов: c/sin(ADB)=2r; в ACD AC/sin(ADC) = AC/sin(ADB)=2R.
18. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна S, а угол BAC равен .
Решение. AM/AC = AN/AB = k - коэффициент подобия, S1/S = k 2 . k = AM/AC = , т.к. треугольник AMC - прямоугольный (BC - диаметр окружности).
19. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) медиана AD перпендикулярна биссектрисе CE. Определите величину угла ACB.
Решение. Пусть O - точка пересечения медианы AD и биссектрисы CE. В треугольнике ACD биссектриса CO является высотой, поэтому AC = CD, значит BC = 2CD = 2AC, cosC = (1/2) AC : BC = 1/4.
Ответ. arccos(1/4).
20. В треугольнике ABC BC 2 + AC 2 = 5AB 2 . Докажите, что медианы AM и BN перпендикулярны.
Решение. . Тогда , . ; по условию,a 2 +b 2 =5c 2 , и .
21. Шестиугольник ABCDEF впмсан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.
Решение. Пусть O - центр описанной окружности. Т.к. AD, BE, CF - диаметры, то пл.ABO = пл.DEO = пл.AEO, пл.BCO = пл.EFO = пл.CEO, пл.CDO = пл.AFO = пл.ACO. Пл.ABCDEF = 2(пл.ABO + пл.BCO + пл.CDO), пл.ACE = пл.AEO + пл.CEO + пл.ACO, значит пл.ABCDEF = 2•пл.ACE.
22. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что длина одной из ее диагоналей равна 5.
Решение. Пусть диагональ AC трапеции ABCD с основанием AD равна 5. Достроим треугольник ACB до параллелограмма ACBE. Площадь трапеции ABCD равна площади прямоугольного треугольника DBE. BH - высота трапеции, EH 2 = BE 2 - BH 2 = 5 2 - 4 2 = 9, ED = BE 2 /EH = 25/3, поэтому пл.DBE = ED·BH/2 = 50/3.
23. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.
Решение. a, b, c - длины сторон, a < b < c. Тогда 2b = a + c, 2пл.ABC = r(a + b + c)=3rb и 2пл.ABC = b·h2, значит r = h2/3.
24. Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой траектории движется середина этого отрезка?
Решение. Если M и N - концы отрезка, O - его середина, то точка B (вершина прямого угла) лежит на окружности с диаметром MN, поэтому OB=MN/2. Траекторией точки O является часть окружности радиуса MN/2 с центром B, заключенная внутри угла ABC.
25. Найдите площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD равны R и r.
Решение. Если x - острый угол, то диагонали d1=2R•sinx и d2=2r•sinx (теорема синусов); tg(x/2)=r/R и т.д.
26. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL=a и медиана CM=b. Найдите площадь треугольника ABC.
27. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна a. На стороне BC лежит точка D, а на AB - точка E так, что BD=a/3, AE=DE. Найдите длину CE.
Решение. AE = x и дважды - теорема косинусов для треугольников EBD и AEC.
28. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.
Решение. Пусть E - вершина квадрата, лежащая на боковой стороне AB треугольника ABC. Сторона квадрата равна 1. Если BD - высота треугольника, AE = x, то, по теореме синусов, . Общий центр тяжести - точка пересечения медиан треугольника ABC. BD = 3/2. Треугольник ABC - прямоугольный.
29. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
Решение. Треугольник O1O2O3, где Oi - центры соответствующих окружностей (i = 1, 2, 3), - прямоугольный с катетами 3 и 4. Искомая окружность вписана в треугольник O1O2O3.
30. Окружность радиуса R проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найдите площадь треугольника ABC, если .
Решение. O - центр окружности, . По теореме синусов для треугольника ABC находим BC, затем площадь.
31. Дан треугольник ABC. Известно, что AB=4, AC=2, BC=3. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекает продолжение биссектрисы AK в точке M. Найдите длину отрезка KM.
Решение. Треугольники AKC и BKM подобны. BK, KC и AK отыскиваются по теоремам о биссектрисе и косинусов.
32. В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны a и b и пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали четырехугольника.
Решение. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, - диагонали параллелограмма, поэтому делятся пополам точкой пересечения; стороны параллелограмма, равные половинам диагоналей четырехугольника, находятся по теореме косинусов.
33. В треугольнике ABC известны BC=a, углы A и B. Найдите радиус окружности, пересекающей все его стороны и высекающей на каждой из них хорды длины d.
Решение. Центры данной окружности и вписанной в треугольник ABC совпадают (равные хорды равноудалены от центра окружности). Отыскав радиус вписанной окружности, ответим на поставленный вопрос.
34. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3 см.
Указание. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.
35. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Решение. S = abc/4R = pr.
Ответ. 8/3, 25/3, 5 см.
36. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а катет равен 10 см.
Решение. Катет = 10 = 3 + 7, tg(A/2)=3/7, где A - острый угол, прилежащий к данному катету.
Ответ. 29/4 см.
37. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см. Точка касания этой окружности делит одну из сторон на отрезки длиной 4 и 6 см. Определите вид треугольника и вычислите его площадь.
Решение. tg(A/2)=2/4=1/2, tg(B/2)=2/6=1/3, значит cosA=3/5, cosB=4/5=sinA.
Ответ. Прямоугольный; 24 см 2 .
38. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2. Найдите сторону ромба.
Решение. Острый угол ромба - .
39. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника соответственно равны 2 и 5 см. Найдите катеты треугольника.
Решение. Катеты - параметры задачи.
Ответ. 6 и 8 см.
40. Расстояние центра круга до хорды длиной в 16 см равно 15 см. Найдите площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см.
Решение. r 2 = 15 2 + 8 2 = 289, r=17, S=200*17/2 = 1700.
Ответ. 1700 см 2 .
41. Периметр ромба равен 2p; длины диагоналей относятся, как m:n. Вычислите площадь ромба.
Решение. Площадь равна половине произведения диагоналей, которые находятся по теореме Пифагора.
Ответ. mnp 2 / 2(m 2 + n 2 ).
42. В треугольник вписан ромб со стороной m, так что один угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки длиной p и q. Найдите стороны треугольника.
Решение. m/a = p/(p+q) - из подобия треугольников.
Ответ. m(p+q)/p, m(p+q)/q, p+q.
43. Прямые, содержащие боковые стороны равнобочной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см 2 , а высота равна 2 см.
Решение. Если x - меньшее основание трапеции, то S = h(2+2+x+x)/2.
44. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.
Решение. Подобие треугольников (l - длина касательной, R - радиус окружности, 2h - расстояние между точками касания): .
Ответ. 9 см.
45. Из точки A проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках B и C так, что треугольник ABC - равносторонний. Найдите его площадь.
Решение. AB 2 + R 2 = AO 2 (O - центр окружности), AO=R/sin30°.
46. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма.
Решение. Диагональ делит параллелограмм на прямоугольные треугольники с острыми углами 60° и 30°.
Ответ. 15 и 30 см.
47. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найдите длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.
Решение. Большее основание равно 12 см. Далее - подобие.
Ответ. 2 см.
48. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 60°. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно .
Решение. 2 случая, в зависимости от того, лежат центры окружностей по одну или по разные стороны от общей хорды. Вычисляются все углы, далее - теорема синусов.
49. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 см.
Решение. Высота на гипотенузу равна 12 см. Метод площадей + теорема Пифагора позволяют найти катеты. Опять метод площадей: S = pr.
Ответ. 5 см.
50. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 и 9 см. Найдите стороны трапеции.
Решение. 3 и 9 см - катеты прямоугольного треугольника. Радиус вписанной окружности - высота этого треугольника, проведенная из вершины прямого угла. Не забудьте условие вписания окружности в четырехугольник.
51. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.
Решение. Трапеция равнобочная, боковая сторона равна 10 см, высота - 8 см. Теорема синусов.
Ответ. 4 см, см.
52. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольников.
Решение. , где x - расстояние от заданной точки гипотенузы до катетов.
Ответ. 42, 56 см.
53. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см 2 , а гипотенуза равна 10 см. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение. , S = 24, катеты равны 6 и 8 см (они вычисляются из теоремы Пифагора и формулы для площади).
Ответ. 2 см.
54. Площадь треугольника равна S. Каждая сторона треугольника разделена на три части в отношении m : n : m. Определите площадь шестиугольника, вершинами которого являются точки деления.
Решение. Если C1, C2, A1, A2, B1, B2 - точки деления на сторонах AB, BC, CA соответственно, то площадь маленького треугольника, прилегающего к вершине, равна .
55. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 и 12 см.
Решение. Подобие треугольников. Заметим попутно, что отрезки MO и ON равны (O - точка пересечения диагоналей, M и N - лежащие на боковых сторонах трапеции концы отрезка).
Ответ. 6 см.
56. Периметр кругового сектора равен 28 см, а его площадь равна 49 см 2 . Определите длину дуги сектора.
Решение. Для определения радиуса окружности и центрального угла имеем два уравнения: .
Ответ. 14 см.
57. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 1:3, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного треугольника?
Решение. Пусть AA1 и CC1 - две медианы треугольника ABC, O - точка пересечения медиан, M и P - отмеченные точки на медианах AA1 и CC1 соответственно, тогда , MP и AC параллельны (теорема Фалеса); аналогично, все стороны треугольника с вершинами в отмеченных точках параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC, значит треугольники подобны с коэффициентом подобия 5/8.
Ответ. В 64/25.
58. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5 м. Найдите площадь треугольника.
Решение. Треугольник равнобедренный. Площадь в 3 раза больше площади равнобедренного треугольника с боковой стороной 10/3 и высотой 2.
Ответ. 16 м 2 .
59. Найдите координаты середин сторон квадрата, приняв за оси координат его диагонали.
Решение. (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1) - координаты вершин квадрата.
60. Большее основание трапеции в два раза больше ее меньшего основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отношение высоты каждой из двух полученных трапеций к высоте данной трапеции.
Решение. Половина отрезка, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, заключенного между боковыми сторонами, равна , где a - меньшее основание трапеции (задача 55). Теперь - подобие треугольников.
Ответ. 1 : 3, 2 : 3.
61. Площадь прямоугольника равна 9 см 2 , а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника.
Решение. a и b - стороны прямоугольника. .
62. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длина боковой стороны треугольника короче длины его основания на 1 см. Найдите длины сторон и высоту треугольника, проведенной к основанию.
Решение. Пусть a и b - основание и боковая сторона треугольника. .
Ответ. 6 см, 5 см, 5 см, 4 см.
63. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найдите площадь трапеции.
Решение. Все остальные стороны одинаковы и равны 13 см. Проведем через вершину прямую, параллельную боковой стороне и найдем высоту трапеции, используя формулу Герона для вычисления площади получившегося равнобедренного треугольника..
Ответ. 96 см 2 .
64. Высота равнобочной трапеции равна 14 см, а основания равны 16 и 12 см. Найдите площадь описанного круга.
Решение. Найдем боковую сторону, диагональ трапеции, синус острого угла и по теореме синусов - радиус описанного около трапеции круга (10 см).
Ответ. см 2 .
65. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно a и большая боковая сторона равна b.
Решение. Все вычисляется напрямую.
66. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна a. Вычислите площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.
67. Определите площадь кругового сегмента, если его периметр равен p, а дуга содержит 120°.
68. Найдите координаты точки на оси x, равноудаленной от двух данных точек A(x1;y1), B(x2;y2).
Решение. Найдем точку пересечения серединного перпендикуляра к AB с осью Ox. - уравнение перпендикуляра.
69. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны и . Найдите гипотенузу треугольника.
Решение. Достроим (дважды) треугольник до прямоугольника. В прямоугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.
70. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и вписанного в него кругов.
Решение. Центр вписанной окружности, вершина C прямого угла и точки касания вписанной окружности с катетами a и b - вершины квадрата. Теорема о равенстве отрезков касательных, проведенных из точки C к вписанной окружности, и расположение центра описанной около прямоугольного треугольника окружности дают два уравнения: p - c = r, c = 2R (p - полупериметр треугольника). p = r + 2R, S = pr.
Ответ. r (r + 2R).
71. Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали, равновелик кругу радиуса R. Определите сторону ромба.
Решение. , a - сторона ромба.
72. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным a, и боковой стороной, равной b. Докажите, что центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании в отношении (a+b) : b, считая от вершины угла.
Указание. Попробуйте поместить в вершины треугольника такие массы, чтобы центр вписанной окружности стал центром масс полученной системы материальных точек. Впрочем, возможно прямое геометрическое вычисление.
73. Даны координаты двух вершин A и B равностороннего треугольника ABC. Найдите координаты третьей вершины.
Указание. A(x1;y1), B(x2;y2). Теорема косинусов (или - скалярное произведение).
74. Две стороны треугольника равны соответственно 5 и 8 см, площадь равна 12 см 2 . Найдите третью сторону.
Решение. Выражаем площадь через синус угла между известными сторонами и - теорема косинусов.
Ответ. 5 см.
75. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 7 и 8 см, а основания 3 и 6 см.
Решение. В трапеции ABCD перенесем параллельно диагональ BD в положение CM. В треугольнике ACM известны все три стороны (9, 8, 7 см), а его площадь равна площади трапеции.
Ответ. см 2 .
76. Длины диагоналей ромба относятся, как 3:4. Во сколько раз площадь ромба больше площади вписанного в него круга?
Решение. x - сторона ромба, y и 3/4y - половины диагоналей. Площадь ромба выражается через произведение диагоналей, ( - угол между диагональю и стороной ромба, - r - радиус вписанного круга).
77. Найдите площадь треугольника ABC, если b=11, c=13, m=10 (m - медиана к стороне BC).
Решение. Достроим треугольник ABC до параллелограмма CABD, продолжив медиану AM за точку M на расстояние m. Площадь ABC равна площади ABD, которую найдем по формуле Герона (стороны треугольника ABD равны 13, 11, 20).
78. Через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны в точках M и N. Докажите, что MN=2ab/(a+b), где a и b - длины оснований.
Решение. Рассмотрим пары подобных треугольников AOM и ACB, DON и DBC, AOD и BOC в трапеции ABCD (O - точка пересечения диагоналей).
79. Даны координаты двух смежных вершин A и B квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин.
80. Дан квадрат ABCD. На прямых BD и BC взяты соответственно точки M и N так, что и . Докажите, что угол AMN является прямым тогда и только тогда, когда n = 2m - 1.
Указание. Векторный метод.
81. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S. Определите боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 30°.
Решение. Если a и b - основания, то боковые стороны равны (a+b)/2, площадь трапеции равна r(a+b), 2r = (a+b)/2. Отсюда (a+b) 2 = 4S.
82. Из точки O выходят два вектора и . Найдите какой-нибудь вектор, идущий по биссектрисе угла AOB.
Решение. Диагональ ромба - биссектриса его угла, а сумма векторов ориентирует диагональ параллелограмма. Параллелограмм, построенный на двух векторах, является ромбом, если модули векторов равны.
83. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определите отношение площадей этих сегментов.
Решение. Длина хорды равна (теорема синусов), здесь R - радиус круга. Теперь находим площадь сегмента, вмещающего центральный угол .
84. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна 32 см 2 ; острый угол трапеции равен 30°. Определите площадь описанного круга.
Решение. (a, b - основания трапеции. r - радиус вписанного круга). r = 2. Около равнобочной трапеции можно описать круг. a + b =16. Квадрат диагонали трапеции равен (теорема косинусов) . Радиус описанного круга находим по теореме синусов и пишем
Ответ. см 2 .
85. В треугольнике ABC даны длины его сторон BC=5, CA=6, AB=7. Найдите скалярное произведение векторов и .
Решение. По теореме косинусов находим косинус угла B, далее - по определению скалярного произведения: ,
86. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15 см. Найдите площадь ромба.
Решение. S = pr, причем r = 6 см. Пусть x - сторона ромба. Теорема Пифагора дает результат.
Ответ. 150 см 2 .
87. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Вычислите .
Решение. . Все векторы линейно выражаются через и .
88. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF. Найдите .
Решение. и т.д.
89. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найдите площадь треугольника.
Решение. Достроим конфигурацию до параллелограмма. Как?
Ответ. 8 см 2 .
90. Дан прямоугольник ABCD и точка M. Докажите, что: 1) ;
2) MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 .
Указание. Введите координаты.
91. На стороне BC треугольника ABC взята точка M так, что BM=2CM. Точки K и L выбраны на сторонах AC и AB соответственно так, что AK=2CK, BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок AM?
Указание. Примените векторный метод, взяв в качестве базисных векторы и .
Ответ. 3 : 4.
92. В круге с центром O проведены два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD. На радиусе OB взята точка K так, что OK=OB/3, а на радиусе OD – точка M так, что OM=OD/2. Докажите, что точка пересечения прямых CK и AM лежит на данной окружности.
Указание. AB и CD - оси координатной системы.
93. В параллелограмме со сторонами a и b и углом проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.
Решение. Полученный четырехугольник - прямоугольник (биссектрисы противоположных углов параллельны, сумма прилежащих к одной стороне параллелограмма углов равна ); стороны находятся из прямоугольных треугольников.
94. Стороны a, b, c (a < b < c) треугольника образуют арифметическую прогрессию. R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей. Докажите, что ac = 6Rr.
Решение. Решаем задачу “с конца”. Пусть ac = 6Rr. Уменьшаем число параметров (p – полупериметр, S – площадь треугольника): - верно (арифметическая прогрессия!). Преобразования обратимы – все доказано.
95. В окружность радиуса R вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части. Радиус второй окружности равен r. Найдите отношение r / R.
Решение. Пусть D – точка касания второй окружности со стороной AC треугольника ABC. Центр этой окружности (концентрической с описанной около треугольника ABC) лежит на серединном перпендикуляре к AC, поэтому AD = DC и, следовательно, AB = BC. По теореме о степени точки (здесь нужна точка A) относительно окружности имеем: .
96. В треугольнике ABC . Центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.
Решение. Пусть O – центр окружности, проходящей через точки A1, B1, C1 – середины сторон треугольника. или . В первом случае получим AC = BC – но это невозможно (нарушается неравенство треугольника!). Во втором случае четырехугольник CA1OB1 – вписанный и . Теперь – теорема косинусов.
Ответ. AC = 10.
97. Около прямоугольника описана окружность. Сумма квадратов расстояний от точки M окружности до всех вершин прямоугольника равна a. Найдите площадь круга.
Решение. Треугольник AMC – прямоугольный, MA 2 + MC 2 = 4R 2 , a = 8R 2 .
98. Окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных и их общей внешней касательной.
Решение. A, B – общие точки внешней касательной окружностей радиусов R и r, O1 и O2 – их центры, O3 и x – центр и радиус третьей окружности. Проведем через O2 и O3 прямые, параллельные AB. Из получившихся прямоугольных треугольников имеем: .
99. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Катеты равны a и b. Найдите расстояние между точками пересечения высот двух получившихся треугольников.
Решение. Самый естественный и надежный метод – координаты.
100. ABCD – описанный четырехугольник. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются друг друга.
Доказательство. Пусть K и M – точки касания вписанных в ABC и ACD окружностей с диагональю AC четырехугольника. По теореме об отрезках касательной: .
101. В параллелограмме со сторонами 2 и 4 проведена диагональ длиной 3. В каждый из получившихся треугольников вписано по окружности. Найдите расстояние между их центрами.
Решение. ABCD – параллелограмм. Вписанные в треугольники ABD и BCD окружности равны, r – их радиусы, O1 и O2 – центры, K и E – точки касания с BD. . .
102. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D так, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются. Известно, что AD = 2, CD = 4, BD = 5. Найдите радиусы окружностей.
Решение. Пусть O1 и O2 – центры, r1 и r2 – радиусы, N и M – точки касания окружностей, вписанных в ABD и DBC, с AC, ND = x. Применим теорему косинусов к треугольникам ABC и BCD и исключим косинус C:
103. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площадей треугольников DOA и BOF равно 3 : 8. Найдите отношение AC : AB.
Решение. AC=y, BC=x. , и – теорема о биссектрисе: y : x = 1 : 2.
Ответ. 1 : 2.
104. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, ф большее основание равно a. Большее основание видно из центра окружности, описанной около трапеции, под углом . Найдите длину боковой стороны трапеции.
Решение. Нужно рассмотреть случаи расположения центра окружности внутри, вне и на большем основании трапеции и опустить перпендикуляры из центра на большее основание и боковую сторону трапеции. и – теорема синусов.
105. Около трапеции ABCD описана окружность. Хорда CE пересекает диагональ BD в точке M и основание AD в точке N. Найдите BD, если CM = a, MN = b, NE = c.
Решение. Проведем DE. Треугольники MDE и MND подобны, также – треугольники MND и BMC (по двум углам) .
106. Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали AC равна a, а длина боковой стороны BC равна b. Найдите площадь трапеции.
Решение. - равнобедренный. Из треугольников ABC (теорема косинусов) и ADC получаем: , .
107. Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается боковой стороны AB в точке F. Найдите площадь трапеции, если AF = m, FB = n, а меньшее основание трапеции равно b.
Решение. Пусть E и K – точки касания вписанной окружности с меньшим основанием BC и боковой стороной CD, CK = x, KD = y. По теореме о равенстве отрезков касательной имеем BE = n, EC = b – n = CK. Треугольники AOB и COD (O – центр вписанной окружности) – прямоугольные (ABCD – трапеция, AO, BO, CO и DO – биссектрисы углов A, B, C и D); по теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике (r – радиус вписанной окружности). Находим y и пишем
108. Около окружности радиуса r = описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен . Найдите длину отрезка, соединяющего точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из ее боковых сторон.
Решение. O – центр вписанной в трапецию ABCD окружности, E и F – точки касания с основанием AD и боковой стороной AB. Треугольник AOB – прямоугольный (ABCD –трапеция!). . ; AFE – равносторонний треугольник и FE = AF.
Ответ. 2 см.
109. В окружности радиуса R взята дуга в . В сегмент, соответствующий этой дуге, вписан прямоугольник ABCD такой, что AB : BC = 1 : 4; сторона BC лежит на хорде, ограничивающей сегмент. Найдите площадь прямоугольника.
Решение. Пусть BC = 4x. Введем систему координат с началом в центре окружности. Имеем:
110. Окружность радиуса r касается прямой в точке M. На этой прямой по разные стороны от M взяты точки A и B так, что MA = MB = a. Чему равен радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся данной окружности?
Решение. Искомая окружность касается данной в точке P, диаметрально противоположной в данной окружности точке M, и проходит через A и B. По теореме синусов для треугольника ABC:
111. В прямоугольнике ABCD AB = a, BC = b. На стороне AB как на диаметре построена окружность, и к ней из вершины C проведена касательная, пересекающая сторону AD в точке K. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник CDK.
Решение. Пусть P – точка касания, CP = CB = b, KP = AK = x. Тогда (x + b) 2 = a 2 + (b – x) 2 , x = a 2 / 4b. SCDK = pr = a (b – a 2 / 4b) / 2.
112. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна a.
Решение. Все хорды равны a (по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд). Отрезки, являющиеся средними третями данных хорд, образуют равносторонний треугольник со стороной a/3. Окружность, описанная около этого треугольника, - концентрическая с данной. Расстояние от центра до хорды равно . .
113. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AC и BC соответственно в точках M и N и пересекает биссектрису BD в точках P и Q. Найдите отношение площадей треугольников PQM и PQN, если .
Решение. Наши треугольники – прямоугольные (PQ – диаметр вписанной в ABC окружности!).
(O – центр окружности). (по дугам PN, MP, MN). . Можно считать дальше: .
114. Биссектриса угла C треугольника ABC делит сторону AB на отрезки a и b (a > b). Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходящая через C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Решение. треугольники ACD и CBD подобны, AC = ka, BC = kb .
115. Найдите сумму квадратов расстояний от точки M, взятой на диаметре окружности, до концов некоторой хорды, параллельной этому диаметру, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки M до центра окружности равно a.
Решение. O – центр окружности, OM – отрезок радиуса, AB – хорда, параллельная OM. В системе координат с центром O и осью абсцисс OM:
M(a;0), A(-x;y), B(x;y), MA 2 + MB 2 = (x + a) 2 + y 2 + (x – a) 2 + y 2 = 2(x 2 + y 2 ) + 2a 2 = 2(R 2 + a 2 ).
Ответ. 2(R 2 + a 2 ).
116. Окружность, проходящая через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках M и N. Точка M удалена от вершин B, C и D соответственно на расстояния 4, 3 и 2. Найдите MN.
Решение. Треугольники MDN и ABC подобны ; треугольники ABC и MBC также подобны (вписанные углы!) .
117. В треугольнике ABC сторона BC равна a, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон BC и BA, а другая – сторон BC и CA.
Решение. Пусть x – радиусы искомых окружностей. Сразу получаем систему уравнений и решаем ее относительно x.
118. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E, AB=AD, CA – биссектриса угла C, . Найдите угол CDB.
Решение. ABD – равнобедренный треугольник, и . Далее, . Теперь, если F – точка пересечения продолжения DA за точку A и CB, в треугольнике CDF отрезок CA является высотой (по доказанному) и биссектрисой (по условию), поэтому CDF – равнобедренный треугольник и AF = AD = AB, то есть треугольник ABF – равнобедренный, причем . Получаем и .
119. Перпендикуляры, опущенные из двух вершин прямоугольника на его диагональ, разделили ее на три равные части. Одна сторона прямоугольника равна . Найдите другую сторону.
Решение. Координаты напрашиваются: . Пусть . Напишем уравнения прямых (AC), (BP), (DQ) и вычислим координаты точек P и Q. , тогда (условие перпендикулярности прямых!); d1 = -2 (условие принадлежности точки B этой прямой). Теперь, решая систему (например, по формулам Крамера) , найдем координаты точки P: . Аналогично, , и для точки Q получим: . Остается вычислить квадраты расстояний между A и P, P и Q, Q и C. Это, конечно, просто, и приведет к a = 2. Не забудем еще, что возможен случай, когда ; точно те же рассуждения, что и в первом варианте, дают a = 1.
Ответ. 2 или 1.
120. На стороне AB треугольника ABC взята такая точка M, что AM = 2MB, а на стороне AC – точка K. Известно, что площадь треугольника AMK в 2 раза меньше площади треугольника ABC. В каком отношении точка K делит сторону AC?