ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ В EXCEL

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Северский технологический институт филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (СТИ НИЯУ МИФИ) Попова И.Г. ФИНАНСОВО ЭКОНОМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ В EXCEL Учебное пособие Северск 2015

2 УДК 336:004 (075) ББК П 58 Попова И.Г. П58 Финансово экономические расчеты в EXCEL: учебное пособие Северск: СТИ НИЯУ МИФИ, с. Учебное пособие подготовлено на кафедре высшей математики и информационных технологий СТИ НИЯУ МИФИ и в доступной форме знакомит студентов с возможностями проведения финансово экономических расчетов на компьютере при помощи табличного процессора EXCEL. Учебное пособие содержит большое количество практических примеров и задач, а также задания для самостоятельных расчетов, в приложении приведен большой список задач, которые могут быть использованы во время проведения лабораторных и контрольных работ по темам "Финансовые расчеты". Учебное пособие предназначено для студентов заочного отделения, обучающихся в СТИ НИЯУ МИФИ по направлению «Экономика» всех профилей подготовки. Одобрено на заседании кафедры ВМиИТ (протокол 19 от «19» февраля 2015 г.). Печатается в соответствии с планом выпуска учебно-методической литературы на 2015 г., утверждены Советом СТИ НИЯУ МИФИ. Рег. 22/15 от г. Рецензенты: док. экон. наук, проф., зав. кафедрой ЭФиМ СТИ НИЯУ МИФИ И.В. Вотякова, канд. экон. наук., проф., доц. кафедры ЭФиМ СТИ НИЯУ МИФИ О. П. Недоспасова Ó Северский технологический институт,

3 Содержание Введение ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ И ПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ФИНАНСО ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ ТЕХНОЛОГИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СРЕДСТВ EXCEL ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ Специфика использования финансовых функций Excel Анализ денежных потоков Технологии Excel для финансовых расчетов ФУНКЦИИ EXCEL ДЛЯ РАСЧЕТА ОПЕРАЦИЙ ПО КРЕДИТАМ И ЗАЙМАМ Определение будущей стоимости Определение текущей стоимости Определение срока платежа и процентной ставки Расчет периодических платежей АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ Методика оценки инвестиционного проекта Расчет чистой текущей стоимости инвестиций Определение скорости оборота инвестиций Оценка инвестиций на основе Таблицы данных ФУНКЦИИ EXCEL ДЛЯ РАСЧЕТА АМОРТИЗАЦИИ Общие сведения Расчет амортизации равномерным методом Расчет амортизации методом суммы чисел Расчет методом фиксированного уменьшения остатка Расчет методом двойного уменьшения остатка Расчет накопленной суммы амортизационных отчислений ФУНКЦИИ ДЛЯ ОПЕРАЦИЙ С ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ Основные понятия Финансовые расчеты по ценным бумагам в MS Excel Функции для расчетов ценных бумаг с периодической выплатой процентов Приложение А (справочное) Список финансовых функций Excel Приложение Б (справочное) Соответствие финансовых функций Excel разных версий Приложение В (обязательное) Задания для самостоятельных расчетов

4 Введение Считается, что как наука коммерческая арифметика начала формироваться «на заре новой истории» в Венеции, являвшейся в то время одним из крупнейших торговых центров Европы, хотя некоторые ее элементы встречаются уже в древнеегипетских манускриптах. С переходом к рыночным отношениям потребность в финансовых вычислениях возросла многократно. Они стали необходимы для успешного проведения любой коммерческой сделки. В течение XX века интенсивно развивались различные математические методы расчетов, появилась международная система унифицированных математических обозначений для стандартных финансовых и страховых схем. Бурное развитие индустрии персональных компьютеров и их повсеместное внедрение привели к тому, что программы расчета основных финансовых показателей были реализованы на уровне, понятном широкому кругу пользователей (даже в финансовых калькуляторах!), в электронных таблицах, например в Excel. В приложении MS Excel существует специальная сфера, связанная с осуществлением финансовых расчетов, которые включают в себя всю совокупность методов и расчетов, используемых при принятии управленческих решений, от элементарных арифметических операций и до сложных алгоритмов построения многокритериальных моделей, позволяющих получить оптимальные характеристики коммерческих сделок в зависимости от различных условий их проведения. На данный момент стандартный курс финансовых вычислений включает в себя следующие основные темы: - логика финансовых операций (временная ценность денег, операции наращения и дисконтирования и т. д.); - простые проценты (операции наращения и дисконтирования, налоги, инфляция, замена платежей); сложные проценты (то же и эквивалентность ставок, операции с валютой и т. п.); - денежные потоки; - анализ эффективности инвестиционных проектов; - оценка финансовых активов. В комплексе с современными методами анализа и моделирования финансовых ситуаций финансовые вычисления перерастают в новое влиятельное направление организации и управления предпринимательской деятельностью финансовый менеджмент. Владение методами современных финансовых вычислений становится одной из основных составляющих в профессиональной подготовке предпринимателя, менеджера, банковского работника, экономиста. 4

5 1 ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ И ПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ФИНАНСО ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ Количественный финансовый анализ предполагает использование моделей и методов расчета финансовых показателей. Условно методы финансово экономических расчетов можно разделить на две части: базовые и прикладные. К базовым методам относятся: простые и сложные проценты как основа операций, связанных с наращением или дисконтированием платежей; расчет потоков платежей применительно к различным видам финансовых рент. К прикладным методам финансовых расчетов относятся: планирование и оценка эффективности финансово кредитных операций; расчет страховых аннуитетов; планирование погашения долгосрочной задолженности; планирование погашения ипотечных ссуд и потребительских кредитов; финансовые расчеты по ценным бумагам; лизинговые, факторинговые и форфейтинговые банковские операции; планирование и анализ инвестиционных проектов и др. При проведении любых финансово экономических расчетов учитывается принцип временной ценности денег (time value of money), который предполагает, что сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра. Из данного принципа следует необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций и некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени. Это явление широко известно в финансовом мире и обусловлено рядом причин: любая денежная сумма, имеющаяся в наличии, в условиях рынка может быть инвестирована, и через некоторое время принести доход; покупательная способность денег даже при небольшой инфляции со временем снижается. Фактор времени учитывается с помощью методов наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. При этом 5

6 основой для количественного описания изменения стоимости денежных сумм во времени является теория процентных ставок. К основным понятиям финансово экономических расчетов относятся: процент абсолютная величина дохода от предоставления денег в кредит в любой форме; процентная ставка относительная величина дохода за фиксированный интервал времени, измеряемая в процентах или в виде дроби. Используется в качестве измерителя уровня (нормы) доходности производимых операций и определяется как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств; период начисления интервал времени, к которому приурочена процентная ставка; капитализация процентов присоединение начисленных процентов к основной сумме; наращение процесс увеличения первоначальной суммы в результате начисления процентов. Позволяет в результате проведения финансовой операции определить величину, которая будет или может быть получена из первоначальной (текущей) суммы через некоторый промежуток времени; дисконтирование процесс приведения стоимости будущей суммы денег к текущему моменту времени (операция, обратная наращению). Представляет собой процесс нахождения величины на заданный момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем. В финансовых расчетах с процентами могут использоваться разные способы начисления процентов, следовательно, различные виды процентных ставок: 1) в зависимости от базы начисления процентов различают простые и сложные проценты. Простые проценты используются, как правило, в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. Базой для исчисления процентов за каждый период в этом случае служит исходная сумма сделки. Сложные проценты применяются в долгосрочных финансовых операциях со сроком проведения более одного года. При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов. Наращение и дисконтирование осуществляется по формулам: по ставке простых процентов FV = PV(1 + r n), PV = FV/(1 + r n), по ставке сложных процентов FV = PV(1 + r ) n, PV = FV/(1 + r ) n, где FV(future value) будущая величина, 6

7 PV(present value) текущая сумма, r (interest rate) ставка процентов, n число периодов; 2) исходя из принципов расчета, различают ставку наращения (декурсивная ставка) и учетную ставку (антисипативная ставка); 3) по постоянству значения процентной ставки в течение действия договора ставки бывают фиксированные и плавающие. Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных разовых платежей или множеством распределенных во времени выплат и поступлений, т.е. рассматривается поток платежей или денежный поток (cash flow). Денежный поток последовательность распределенных во времени платежей. Любая финансовая операция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего поступление (доходы) и исходящего выплаты (расходы, вложения). В финансовом анализе эти потоки обычно заменяют одним двусторонним потоком платежей, где поступление денег считаются положительными величинами, а выплаты отрицательными. Простейший (элементарный) денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных определенными периодами времени (например, год, квартал, месяц и др.). Примерами финансовых операций с такими потоками платежей являются срочные депозиты, единовременные ссуды, операции с некоторыми видами ценных бумаг и др. Потоки платежей по периодичности протекания делятся на регулярные и нерегулярные. Регулярным потоком платежей называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы между платежами одинаковы. Нерегулярным потоком платежей называются платежи, у которых часть выплат являются положительными величинами (поступления), а другая часть отрицательными величинами (выплаты). Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу. Наиболее простым примером регулярного потока платежей является финансовая рента. Финансовая рента или аннуитет (от annuity ежегодный) определяется как поток платежей, все члены которого положительны и поступают через одинаковые интервалы времени. Финансовая рента характеризуется следующими показателями: членом ренты, периодом ренты, сроком ренты и процентной ставкой. 7

8 Размер отдельного платежа называют членом ренты. Интервал времени между двумя последовательными платежами является периодом ренты. Ренты можно классифицировать по различным признакам: по количеству выплат: годовые и n срочные (n раз в год); по типу капитализации процентов: ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в год и с непрерывным начислением. При этом момент начисления процентов может не совпадать с моментом выплаты по ренте; по величине членов ренты: постоянные (с равными членами) и переменные; по вероятности выплаты отдельного платежа: верные и условные. Верные ренты подлежат обязательной выплате, например при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, например, страховые выплаты, выплаты пенсий и др.; по количеству членов: ренты с конечным числом членов, ограниченные по срокам, и вечные, с бесконечным числом членов; по срокам начала действия ренты и наступления какого либо события: немедленные и отложенные ренты; по моменту выплаты платежей: обычные и приведенные ренты. Если платежи осуществляются в конце определенного периода времени (месяца, квартала, года и т.п.), то такие ренты называются постнумерандо или обычная рента (ordinary annuity). Если выплата производится в начале каждого периода, то рента называется пренумерандо или приведенная рента (annuity due). 8

9 2 ТЕХНОЛОГИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СРЕДСТВ EXCEL ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ 2.1 Специфика использования финансовых функций Excel В Excel реализовано 15 встроенных и 37 дополнительных финансовых функций. Вызов Мастера функций осуществляется либо с помощью одной из двух кнопок на вкладке Формулы, либо через соответствующую кнопку в строке формул, как показано на рисунке 1. а) б) а через вкладку Формулы, б через строку формул Рисунок 1 Вызов Мастера функций Затем выполняется выбор в списке требуемой финансовой функции, в результате выбора появляется диалоговое окно для ввода аргументов. Для каждой финансовой функции существует регламентированный по составу и формату значений перечень аргументов. 9

10 При работе с финансовыми функциями необходимо учитывать специфику задания значения аргументов: - как показано на рисунке 2, отдельные аргументы функции могут быть или константами, или ссылками на адреса ячеек (диапазон ячеек), или результатом расчета другой встроенной функции Excel. В последнем случае, возможно организовать вычисление вложенной встроенной функции путем вызова Мастера функции одноименной кнопкой, расположенной перед полем ввода аргумент; Рисунок 2 Ввод исходных данных в диалоговое окно функции - все аргументы, означающие расходы денежных средств, представляются отрицательными числами, а аргументы, означающие поступления, представляются положительными числами; - при задании аргумента в поле Ставка ввод значка % является обязательным; - все даты, как аргументы функции, имеют числовой формат представления, например, дата 1 января 1995 года представлена числом (количество дней, начиная с 1 января 1900 года). Если значение аргумента типа дата берется из ячейки, то дата в ячейке может быть записана в обычном виде, например, как При вводе аргумента типа дата непосредственно в поле ввода Мастера функции можно 10

11 воспользоваться встроенной функцией ДАТА, которая осуществляет преобразование строки символов в дату; - для аргументов типа логический возможен непосредственный ввод констант типа ИСТИНА или ЛОЖЬ, либо использование встроенных функций аналогичного названия категории Логические. В случае необходимости применения дополнительных финансовых функций необходимо установить надстройку Пакет анализа (На будущее, рекомендуется также включить надстройку Поиск решения). Сделать это можно, как показано на рисунке 3, на вкладке Файл Параметры Надстройки, в появившемся окне перейти к Надстройкам Excel, выбрав из списка пункты Пакет анализа и Поиск решения. Дополнительные функции автоматически попадают в общий список функций. Далее вызов необходимой финансовой функции осуществляется по одной из схем, указанных выше. Рисунок 3 Установка надстроек По типу решаемых задач все финансовые функции Excel можно разделить на следующие условные группы: - функции для анализа аннуитетов и инвестиционных проектов; 11

12 - функции для анализа ценных бумаг; - функции для расчета амортизационных платежей; - вспомогательные функции. Полный список финансовых функций представлен в приложении А. Функции каждой группы имеют практически одинаковый набор обязательных и дополнительных (необязательных) аргументов. Дополнительную информацию по необходимой финансовой функции (расчетной формуле, реализованной в ней, списке аргументов и т. п.) пользователь может получить, вызвав контекстную справку, как показано на рисунке 4. Рисунок 4 Получение дополнительной справки по функции До версии Excel 2000 некоторые функции категории Финансовые в русской локализации назывались по другому. В таблице Б.1 приложения Б приведен полный список этих функций. 2.2 Анализ денежных потоков Имея дело с финансовыми функциями Excel, важно понимать то, как «представлять» денежные потоки, идущие в обоих направлениях. Чтобы решить финансовые задачи, используя финансовые функции Excel, нужно выполнить два предварительных действия: 1) определить владельца денежных средств. Например, в простой задаче накопления, вы смотрите на нее с точки зрения вкладчика или банка? В задаче займа вы должник или кредитор? При вычислении стоимости ряда будущих выплат, являетесь вы покупателем (выплата за 12

13 приобретенный товар) или вы продавец (получение выплат за проданный товар)? 2) определить, поступают к вам денежные средства (знак «+») или уходят от вас (знак ). Определившись с описанными выше категориями, вы сможете использовать финансовые функции Excel для проведения эффективных финансовых расчетов и правильно интерпретировать возвращаемые результаты. Обычно поступающие к вам деньги отмечаются знаком «+». Уходящие от вас деньги имеют знак. Например, если задача приведенной стоимости решается в пользу отрицательного значения, то это означает, что сумма предоставляется вами. Если значение положительное, то деньги вам одалживаются. Если вы берете деньги взаймы, то подсчитанные выплаты имеют знак (который указывает на то, что вы каждый период выплачиваете определенную сумму). Вычисляя процентную ставку займа, необходимо правильно определить направление выплат. Иначе Excel предположит, что все выплаты происходят в одном направлении и породит ошибку. Например, формула может показать значение #ЧИСЛО!, которое указывает на бесконечно высокую норму прибыли (деньги приходят к вам, при этом вами ничего не выплачивается). 2.3 Технологии Excel для финансовых расчетов Подбор параметра Вычислительные возможности электронных таблиц позволяют решать как «прямые», так и «обратные» задачи, выполнять исследование области допустимых значений аргументов, а также подбирать значения аргументов под заданное значение функции. Необходимость в этом обусловлена, в ряде случаев, отсутствием соответствующих «симметричных» финансовых функций. При установке курсора в ячейку, содержащую формулу, построенную с использованием финансовых функций, и выполнении команды Подбор параметра на вкладке Данные Анализ «что если» появляется диалоговое окно, в котором задается требуемое значение функции, как показано на рисунке 5. В поле Изменяя значение ячейки указывается адрес ячейки, содержащей значение одного из аргументов функции. Excel решает обратную задачу: подбор значения аргумента для заданного значения функции. 13

14 Рисунок 5 Работа с инструментарием Подбор параметра В случае успешного завершения подбора выводится окно, в котором указан результат текущее значение функции для подобранного значения аргумента, а новое значение аргумента функции содержится в соответствующей ячейке. При нажатии кнопки ОК подобранное значение аргумента сохраняется в ячейке аргумента; при нажатии кнопки Отмена происходит восстановление значения аргумента. При неуспешном завершении подбора параметра выдается соответствующее сообщение о невозможности подбора аргумента Диспетчер сценариев Для вариантных финансовых расчетов, основанных на задании различных значений аргументов функции, целесообразно воспользоваться сценарным подходом, реализованным средствами Excel. Сценарий именованная совокупность значений изменяемых ячеек. Для ячеек, являющихся аргументами финансовых функций, можно задавать различные значения. Команда Сценарии на вкладке Данные Анализ «что если» вызывает диалоговое окно Диспетчер сценариев (см.рис.4) для создания, редактирования, объединения, удаления и просмотра созданных сценариев расчетов для ячеек текущего рабочего листа. В окне Сценарии представлен список сценариев текущего рабочего листа. Возможно объединение сценариев, находящихся в открытых книгах или на других листах текущей рабочей книги при нажатии кнопки Объединить. Для создания нового сценария следует нажать кнопку Добавить, при этом появляется одноименное диалоговое окно. 14

15 На рисунке 6 в поле Название сценария вводится имя нового сценария последовательность символов, максимальная длина имени не более 255 знаков. На рабочем листе выделяются ячейки, не обязательно смежные, значения которых будут изменяться. Обычно это ячейки, содержащие исходные значения (аргументы) для вычисления функции. Для выделения несмежных ячеек используется нажатие клавиши . Рисунок 6 Работа с инструментарием Добавление сценария Состав изменяемых ячеек для различных сценариев одного и того же рабочего листа может изменяться. Это дает возможность подготовить аргументы и выполнить вариантные расчеты на одном рабочем листе для различных финансовых функций. В окне Примечание можно записать поясняющий сценарий текст. По умолчанию сюда заносится имя пользователя и дата создания сценария. С помощью переключателя Запретить изменения реализуется защита значений изменяемых ячеек от редактирования. Переключатель Скрыть позволяет не показывать имя сценария в списке (временно неактивный сценарий). При нажатии кнопки ОК появляется диалоговое окно для ввода значений изменяемых ячеек. После завершения ввода данных можно сформировать следующий новый сценарий кнопка Добавить (происходит возврат в основное окно Добавление сценария), либо завершить работу кнопка ОК и перейти в окно Диспетчер сценариев. Для просмотра результатов подстановки значений изменяемых ячеек по определенному сценарию в диалоговом окне Диспетчера сценариев следует выбрать из списка имя сценария и нажать кнопку Вывести. Excel выполняет подстановку значений изменяемых ячеек сценария и производит расчет значения функции. Все изменения будут отражены на рабочем листе в ячейках, содержащих формулы и имеющих ссылки на 15

16 изменяемые ячейки сценария. Новые результатные значения также будут выведены. Кнопка Закрыть обеспечивает выход из окна Диспетчер сценариев, при этом в изменяемых ячейках сохраняются значения последнего участвовавшего в просмотре сценария. На рисунке 7 кнопка Отчет предназначена для подготовки отчетов по сценариям, при ее нажатии появляется диалоговое окно для выбора типа итогового отчета. В поле Ячейки результата указывается адрес ячеек, значения которых зависят от изменяемых ячеек сценариев. Рисунок 7 Работа с инструментарием Добавление сценария Формируется два типа отчетов: итоги сценария табличный отчет, содержащий для каждого сценария состав изменяемых ячеек и значение выбранных результатных ячеек; сводная таблица результатов подстановки значений в изменяемые ячейки и вычисления результатов подстановки Анализ данных на основе использования Таблицы данных Многовариантность финансовых расчетов с целью выбора наиболее оптимального может быть выполнена с помощью средства Excel Таблицы данных (в предыдущих версиях Excel Таблица подстановки) на вкладке Данные Анализ «что если». При оценке и анализе вариантов инвестиций часто требуется получить конечные значения для различных наборов исходных данных. Одним из достоинств Excel является возможность быстрого решения подобных задач и автоматического пересчета результатов при изменении исходных данных. 16

17 Например, можно построить финансовую модель для различных значений процентных ставок и периодических выплат и выбрать оптимальное решение. Для решения подобных задач в Excel и необходима Таблицы данных, содержащая результаты подстановки различных значений в формулу. Возможные значения одного или двух аргументов функции необходимо представить в виде списка или таблицы. Для одного аргумента список исходных значений задается в виде строки или столбца таблицы. Excel подставляет эти значения в формулу (функцию), заданную пользователем, а затем выстраивает результаты соответственно в строку или столбец. При использовании таблицы с двумя переменными значения одной из них располагаются в столбце, другой в строке, а результат вычислений на пересечении столбца и строки. На рисунке 8 показан пример использования данного инструментария. Оценка инвестиций при использовании разных дисконтных ставок и разных сроков погашения займа реализована на основе финансовой функции Excel ЧПС и Таблицы данных. Рисунок 8 Работа с инструментарием Добавление сценария Для наглядности представления результатов финансовых расчетов целесообразно строить диаграммы, позволяющие оценить денежные потоки. Применение таблиц подстановки оправдано только в случае сложных расчетов. Если в конечном итоге требуется рассчитать одно или двухпараметрическую формулу, то проще ее скопировать на всю матрицу результатов, используя абсолютные и относительные ссылки. 17

18 3 ФУНКЦИИ EXCEL ДЛЯ РАСЧЕТА ОПЕРАЦИЙ ПО КРЕДИТАМ И ЗАЙМАМ 3.1 Определение будущей стоимости Расчеты на основе постоянной процентной ставки. Функция БС Понятие будущей стоимости основано на принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Вложения, сделанные сегодня, в будущем составят бόльшую величину. Эта группа функций позволяет рассчитать: - будущую и наращенную стоимость серии фиксированных периодических платежей, а также будущую стоимость текущего значения вклада или займа при постоянной процентной ставке (функция БС); - будущее значение инвестиции после начисления сложных процентов при переменной процентной ставке (функция БЗРАСПИС). Если проценты начисляются несколько раз в год, то необходимо рассчитать общее количество периодов начисления процентов и ставку процента за период начисления. Эти величины легко определить по таблице 1, в которой приводятся расчеты для наиболее распространенных методов начисления процентов в году. Таблица 1 Расчет основных величин при внутригодовом учете процента Метод начисления процентов Общее число периодов начисления процентов Ставка процента за период начисления,% Ежегодный n k Полугодовой n 2 k/2 Квартальный n 4 k/4 Месячный n 12 k/12 Ежедневный n 365 k/365 Синтаксис: БС (Ставка, Кпер, Плт, Пс, Тип), где Ставка это ставка за период начисления процентов, а не годичная ставка процента. При начислении m раз в год Ставка равна k /m; Кпер количество периодов начисления процентов. При начислении m раз в году в течении n лет Кпер= n m; Плт постоянные по величине выплаты за период m в течение всего времени начисления процентов n. Если выплат нет, то по умолчанию 18

19 Плт=0. Знак ставится, если деньги вносятся в счет погашения. Знак «+» ставится, если должны вам; Пс начальная сумма или приведенная, сегодняшняя сумма. Начальная сумма вводится со знаком минус. Если начальная сумма отсутствует, то по умолчанию она считается равной нулю. Знаки у аргументов Плт и Пс зависят от условия задачи; Тип значение 0, ставится по умолчанию и означает взносы (выплаты) в конце периода, значение 1 ставится, если взносы (выплаты) ставятся в конце периода. Если взносы (выплаты) отсутствуют, то значение аргумента Тип не влияет на результат. Пример 1 Рассчитаем, какая сумма окажется на счете, если 27 тыс. руб. положены на 33 года под 13.5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода. Решение В условии задачи указан годовой процент и число лет. Таким образом, в данной задаче при полугодовом учете процента общее число периодов начисления равно 33 2 (аргумент Кпер), а процент за период начисления равен 13.5%/2 (аргумент Ставка). По условию, аргумент Пс = 27. Это отрицательное число, означающее вложение денег. На рисунке 9 показано диалоговое окно функции для решения данной задачи. Используя функцию БС, получим ,644 руб. Рисунок 9 Вид диалогового окна для решения примера 1 Пример 2 Предположим, есть два варианта инвестирования средств в течение 4 лет: в начале каждого года под 26% годовых или в конце каждого года под 38% годовых. Пусть ежегодно вносится 300 тыс. руб. Определим, сколько денег окажется на счете в конце 4 го года для каждого варианта. 19

20 Решение В данном случае производятся периодические платежи. При работе с функцией БС следует указать аргументы Ставка = 26%, Кпер = 4, Плт = 300, Тип = 1 для первого варианта. Для второго варианта Ставка = 38%, Кпер = 4, Плт = 300, аргумент Тип = 0 можно опустить. Тогда БС(26%,4, 300 1) = для первого варианта, БС(38%,4, 300) = для второго варианта. Расчеты показали, что первый вариант предпочтительнее. Задания для самостоятельных расчетов 1 Рассчитайте, какая сумма будет на счете, если сумма размером 5000 тыс. руб. размещена под 12% годовых на 3 года, а проценты начисляются каждые полгода. Ответ: тыс. руб. 2 По вкладу размером 2000 тыс. руб. начисляется 10% годовых. Рассчитайте, какая сумма будет на сберегательном счете через 5 лет, если проценты начисляются ежемесячно. Ответ: тыс. руб. 3 На сберегательный счет вносятся платежи по 200 тыс. руб. в начале каждого месяца. Рассчитайте, какая сумма окажется на счете через 4 года при ставке процента 13.5% годовых. Ответ: тыс. руб. 4 Сравните будущее значение счета, если платежи вносятся в конце каждого месяца. Ответ: тыс. руб Расчеты на основе переменной процентной ставки. Функция БЗРАСПИС Если процентная ставка меняется с течением времени, то для расчета будущего значения инвестиции (единой суммы) после начисления сложных процентов можно использовать функцию БЗРАСПИС. Если применяется массив процентных ставок , то проще записать вместо массива ставок соответствующий интервал ячеек, содержащих значения переменных процентных ставок. Синтаксис: БЗРАСПИС (Первичное, План), где Первичное стоимость инвестиции на текущий момент; План массив применяемых процентных ставок. 20

21 Пример 3 По облигации номиналом 100 тыс. руб., выпущенной на 6 лет, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в первый год 10%, в два последующих года 20%, в оставшиеся три года 25%. Рассчитаем будущую (наращенную) стоимость облигации по сложной процентной ставке. Решение Пусть в ячейки В1:В6 введены числа 10%, 20%, 20%, 25%, 25%, 25% соответственно. Тогда наращенная стоимость облигации равна: БЗРАСПИС (В8,В1:В6) = тыс. руб. Пример 4 Исходя из плана начисления процентов, приведенного в примере 3, рассчитаем номинал облигации, если известно, что ее стоимость составила тыс. руб. Решение Для решения такой задачи необходимо использовать аппарат Подбор параметра. На рисунке 10 показано пошаговое решение задачи. Шаг 1 Шаг 2 Шаг 3 Рисунок 10 Пошаговое решение примера 4 21

22 Сначала решаем прямую задачу, используя функцию БЗРАСПИС (в нашем случае, это решение примера 3). Получив ответ и не выходя из этой ячейки, вызываем инструмент Подбор параметра на вкладке Данные Анализ «что если». В ячейку Значение вносим требуемую стоимость На третьем шаге сообщается, что результат подбора найден, а в ячейке В8 появится значение номинала облигации 500 тыс. руб. Задания для самостоятельных расчетов 1 Рассчитайте будущую стоимость облигации номиналом 300 тыс. руб., выпущенной на 5 лет, если предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в первые два года 13.5% годовых, в следующие два года 15% и в последний год 20% годовых. Ответ: тыс. руб. 2 Ожидается, что будущая стоимость инвестиции размером 1500 тыс. руб. к концу 4 го года составит 3000 тыс. руб. При этом за первый год доходность составит 15%, за второй 17%, за четвертый 23%. Рассчитайте доходность инвестиции за третий год. Используйте аппарат Подбор параметра. Ответ: 20.85%. 3.2 Определение текущей стоимости Расчет текущей стоимости вклада или выплат. Функция ПС Во многих задачах используется понятие текущей (современной) стоимости будущих доходов и расходов. Это понятие базируется на положении о том, что на начальный момент времени полученная в будущем сумма денег имеет меньшую стоимость, чем ее эквивалент, полученный в начальный момент времени. Согласно концепции временнόй стоимости денег, расходы и доходы, не относящиеся к одному моменту времени, можно сопоставить путем приведения к одному сроку (т.е. путем дисконтирования). Текущая стоимость получается как результат приведения будущих доходов и расходов к начальному периоду времени. Excel содержит функции, которые позволяют рассчитать: - текущую стоимость единой суммы вклада (займа) и фиксированных периодических платежей (функция ПС); - чистую текущую стоимость будущих периодических расходов и поступлений переменной величины (функция ЧПС). Функция ПС предназначена для расчета приведенной (текущей) стоимости как единой суммы вклада (займа), так и будущих 22

23 фиксированных периодических платежей. Этот расчет является обратным к определению будущей стоимости при помощи функции БС. Синтаксис: ПС (Ставка, Кпер, Плт, Пс, Тип), где Ставка процентная ставка за период. Если взносы (выплаты) осуществляются два раз в год, Ставка = r/2; Кпер количество периодов начисления. Например, если начисления производятся два раза в год в течении трех лет, то Кпер = 2 3=6; Плт платежи выплаты постоянные за весь период начисления Кпер. Знак ставится, если вы вносите деньги (выплаты); Бс будущая, наращенная сумма; Тип значение 0, ставится по умолчанию и означает выплаты в конце периода, значение 1 ставится, если выплаты ставятся в конце периода. Если взносы (выплаты) отсутствуют, то значение аргумента Тип не влияет на результат. Результат получается со знаком. Это означает, что надо выплатить указанную сумму. Эта функция может быть полезна, если: известно будущее (наращенное) значение вклада (займа). Требуется определить текущее значение этого вклада, т.е. сумму, которую необходимо положить на счет сегодня, чтобы в конце n го периода она достигла заданного значения; требуется рассчитать текущую стоимость постоянных периодических платежей. Пример 5 Фирме потребуется 5000 тыс. руб. через 12 лет. В настоящее время фирма располагает деньгами и готова положить их на депозит единым вкладом, чтобы через 12 лет он достиг 5000 тыс. руб. Определим необходимую сумму текущего вклада, если ставка процента по нему составляет 12% в год. Решение Для расчета используем функцию ПС. При этом Ставка =12%, Кпер= 12, Бс = Тогда ПС (12%,12,,5000) = тыс. руб. Результат получился отрицательный, поскольку это сумма, которую необходимо вложить. Пример 6 Предположим, рассматриваются два варианта покупки дома: заплатить сразу тыс. руб. или в рассрочку по 940 тыс. руб. ежемесячно в течение 15 лет. Определить, какой вариант предпочтительнее, если ставка процента 8% годовых. 23

24 Решение В задаче необходимо сравнить, что выгоднее: заплатить сегодня указанную сумму или растянуть платежи на определенный срок. Для сравнения следует привести эти денежные потоки к одному периоду времени, т.е. рассчитать текущую стоимость будущих фиксированных периодических выплат. Допустим, что выплаты происходят в конце каждого расчетного периода. По условию период начисления процентов равен месяцу. Из табл.1 определяем общее число выплат Кпер = и ставку процента за период начисления Ставка = 8% /12. Расчет можно вести, используя функцию ПС: ПС (8%/12,15 12, 940) = тыс. руб. Запрашиваемая цена (99000 тыс. руб.) больше рассчитанной текущей стоимости периодических выплат, следовательно, невыгодно покупать дом сразу, лучше растянуть платежи на 20 лет. Задания для самостоятельных расчетов 1 Рассчитайте текущую стоимость вклада, который через три года составит тыс. руб. при начислении 20% в год. Ответ: тыс. руб. 2 Определите текущую стоимость обязательных ежемесячных платежей размером 100 тыс. руб. в течение 5 лет, если процентная ставка составляет 12% годовых. Ответ: тыс. руб. 3 Определите текущую стоимость обычных ежемесячных платежей размером 50 тыс. руб. в течение двух лет при начислении 18% годовых. Ответ: тыс. руб. 4 Рассчитайте, какую сумму необходимо положить на депозит, чтобы через 4 года она достигла значения 20 млн. руб. при начислении 9% годовых. Ответ: тыс. руб. 5 Определите текущую стоимость обычных ежеквартальных платежей размером 350 тыс. руб. в течение 7 лет, если ставка процента 11% годовых. Ответ: тыс. руб. 24

25 3.3 Определение срока платежа и процентной ставки Расчет срока платежа. Функция КПЕР Эта функция вычисляет общее число периодов выплат, как для единой суммы вклада (займа), так и для периодических постоянных выплат на основе постоянной процентной ставки. Если платежи производятся несколько раз в год, найденное значение необходимо разделить на число расчетных периодов в году, чтобы найти число лет выплат. Синтаксис: КПЕР (Ставка, Плт, Пс, Бс, Тип), где Ставка процентная ставка за период; Плт выплата, производимая в каждый период; это значение не может меняться в течение всего периода выплат. Обычно это значение включает основной платеж и платеж по процентам, но не налоги и сборы; Пс приведенная (текущая) стоимость, т. е. общая сумма, которая на данный момент равноценна ряду будущих платежей; Бс значение будущей стоимости, т. е. желаемого остатка средств после последней выплаты. Если аргумент «Бс» опущен, предполагается, что он равен 0 (например, будущая стоимость для займа равна 0); Тип число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата. Функция может применяться в следующих расчетах: если рассчитывается общее число периодов начисления процентов, необходимых для того, чтобы начальная сумма размером Пс достигла указанного будущего значения Бс; для нахождения общего числа периодов, через которое совокупная величина фиксированных периодических выплат составит указанное значение Бс ; при погашении займа размером Пс равномерными постоянными платежами в конце каждого расчетного периода число периодов, через которое произойдет полное погашение. Полученное значение можно использовать также как показатель срока окупаемости при анализе инвестиционного проекта. При этом предполагается, что поступление доходов происходит периодически равными величинами в конце или в начале каждого расчетного периода. Рассчитанное значение будет представлять число расчетных периодов, через которое сумма доходов, дисконтированных на момент завершения инвестиций, будет равна величине инвестиций. 25

26 Пример 7 Рассчитать, через сколько лет вклад размером 1 млн. руб. достигнет величины 1 млрд. руб., если годовая ставка процента по вкладу 16.79% и начисление процентов производится ежеквартально. Решение В соответствии с табл.1 при квартальном начислении процентов размер процента за период равен 16.79%/4. Используем аргументы Ставка=16.79%/4, Пс = , Бс = функции КПЕР: КПЕР(16.79%/ , ) = 168 это число кварталов. Число лет составит 168/4 = 42. Пример 8 Для обеспечения будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты постнумерандо. Размер разового платежа 16 млн. руб. На поступившие взносы начисляется 11.18% годовых. Необходимо определить, когда величина фонда будет равна 100 млн. руб. Решение В Excel этот расчет выглядит так: КПЕР(11.18%, )=5, т.е. через 5 лет совокупная величина этих выплат составит 100 млн. руб. Пример 9 Ожидается, что ежегодные доходы от реализации проекта составят 33 млн. руб. Необходимо рассчитать срок окупаемости проекта, если инвестиции к началу поступления доходов составят 100 млн. руб., а норма дисконтирования 12.11%. Решение В задаче требуется определить, через сколько лет текущая стоимость ожидаемых доходов будет равна величине инвестиций. Используем аргументы функции КПЕР Пс = 100 (значение затрат), Плт =33 (ежегодные поступления), Ставка = 12.11% (норма дисконтирования): КПЕР(12.11%, 33, 100) = 4, т.е. срок окупаемости 4 года. Пример 10 Ссуда размером тыс. руб., выданная под 36% годовых, погашается обычными ежемесячными платежами по 6630 тыс. руб. Рассчитаем срок погашения ссуды. Решение Определим по табл.1 процентную ставку за месяц. Она составит 36%/12 (аргумент Ставка). При использовании функции КПЕР ежемесячные выплаты необходимо записать как отрицательные числа (аргумент Плт = 6630), а сумму полученного займа как положительное число (Пс = 66000). 26

27 Т.к. заем полностью погашается, его будущая стоимость равна 0 (аргумент Бс можно опустить). Срок, за который произойдет полное погашение займа, равен: КПЕР(36%/12, 6630, 66000) = 12 мес. или 1 год. Задания для самостоятельных расчетов. 1 Рассчитайте, через сколько лет обязательные ежемесячные платежи размером 150 тыс. руб. принесут доход в 10 млн. руб. при ставке процента 13.5% годовых. Ответ: 4.13 года 2 Рассчитайте, через сколько лет произойдет полное погашение займа размером 500 тыс. руб., если выплаты по 100 тыс. руб. производятся в конце каждого квартала, а ставка процента 15% годовых. Ответ: 1.41 года 3 Рассчитайте, через сколько лет вклад размером 500 тыс. руб. достигнет величины 1 млн. руб. при ежемесячном начислении процентов и ставке 35.18% годовых. Ответ: 2 года 4 Сравните по сроку окупаемости три варианта инвестиций, которые характеризуются соответствующими потоками платежей. Норма дисконтирования 12%. Вариант Начальные затраты, млн. руб Ежегодные поступления, млн. руб А Б В Ответ: срок окупаемости для вариантов А и В 4 года, для варианта Б 4.5 года Расчет процентной ставки. Функция СТАВКА Эта функция определяет значение процентной ставки за один расчетный период. Для нахождения годовой процентной ставки полученное значение следует умножить на число расчетных периодов, составляющих год. Синтаксис: СТАВКА (Кпер, Плт, Пс, Бс, Тип, Предположение), 27

28 где Кпер общее число периодов выплат займа или инвестиции; Плт выплата, производимая в каждый период; это значение не может меняться в течение всего периода выплат. Обычно это значение включает основной платеж и платеж по процентам, но не налоги и сборы; Пс приведенная (текущая) стоимость, т. е. общая сумма, которая на данный момент равноценна ряду будущих платежей; Бс значение будущей стоимости, т. е. желаемого остатка средств после последней выплаты. Если аргумент «Бс» опущен, предполагается, что он равен 0 (например, будущая стоимость для займа равна 0); Тип число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата; Предположение предполагаемая величина ставки. Если значение не указано, то оно принимается равным 10 %. Функция СТАВКА может не иметь решения или иметь несколько решений. Если после 20 итераций погрешность ставки превышает , то функция возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. В этом случае можно попытаться задать другой аргумент Предположение, по умолчанию заданный 10%. В большинстве случаев не требуется задавать аргумент Предположение Функция может применяться, когда: необходимо рассчитать процентную ставку при известной текущей стоимости Пс, будущей стоимости Бс, числе периодов Кпер; требуется провести расчет процентной ставки по займу размером Пс при равномерно погашении обычными периодическими платежами, при условии, что заем полностью погашается. Пример 11 Предположим, что компании Х потребуется тыс. руб. через 2 года. Компания готова вложить 5000 тыс. руб. сразу и по 2500 тыс. руб. каждый последующий месяц. Каким должен быть процент на инвестированные средства, чтобы получить необходимую сумму в конце второго года? Решение В этой задаче сумма тыс. руб. (аргумент Бс функции СТАВКА) формируется за счет приведения к будущему моменту начального вклада размером 5000 тыс. руб. и фиксированных ежемесячных выплат. Поэтому среди аргументов функции СТАВКА следует указать оба аргумента: Плт = 2500, Пс = Общее число периодов начисления процентов определяем исходя из табл.1, Кпер = Подставив эти числа, получаем: СТАВКА(24, 2500, 5000, ) = 3.28%. 28

29 Годовая процентная ставка составит 3.28% 12 = 39.36%. Процент на вложенные средства должен быть не меньше этой величины. Пример 12 Предположим, что компания Х отказалась от ежемесячных выплат (см. пример 11) и готова сегодня положить на депозит тыс. руб. Определим, как в этом случае изменится минимальная годовая процентная ставка. Решение Сумма тыс. руб. формируется только за счет приведения к будущему моменту начального вклада. В этом случае минимальная годовая процентная ставка, при которой достигается заданное будущее значение, возрастает до 46.7%, т.к. 12 СТАВКА(24,, 40000,100000) = 46.7% Пример 13 Рассчитайте процентную ставку для четырехлетнего займа в 7000 тыс. руб. с ежемесячным погашением по 250 тыс. руб. при условии, что заем полностью погашается. Решение Будущее значение ежемесячных выплат по 250 тыс. руб. должно составить через 4 года сумму займа с процентами, т.е. заем должен быть полностью погашен. Текущая стоимость займа по условию равна 7000 тыс. руб. (аргумент Пс = 7000). По займу начисляется процент в течение 4 12 периодов (аргумент Кпер). При этих условиях ежемесячная ставка процента должна составлять: СТАВКА (48, 250,7000) = 2.46%. Годовая процентная ставка составит 2.46% 12 = 29.5%. Задания для самостоятельных расчетов 1 Предполагается путем ежеквартальных взносов постнумерандо по 35 млн. руб. в течение 3 лет создать фонд размером 500 млн. руб. Какой должна быть годовая процентная ставка? Ответ: % 2 Какой должна быть годовая процентная ставка по вкладу размером 800 тыс. руб., если его величина к концу года составила 1200 тыс. руб., а проценты начислялись ежемесячно? Ответ: % 3 Рассчитайте процентную ставку для 3 летнего займа размером 5 млн. руб. с ежеквартальным погашением по 500 тыс. руб. 29

30 3.4 Расчет периодических платежей Ответ: % Общие сведения о функциях, связанных с периодическими выплатами Функции EXCEL позволяют вычислять следующие величины, связанные с периодическими выплатами: - периодические платежи, осуществляемые на основе постоянной процентной ставки и не меняющиеся за все время расчета (функция ПЛТ); - платежи по процентам за конкретный период (функция ПРПЛТ); - сумму платежей по процентам за несколько периодов, идущих подряд (функция ОБЩПЛАТ); - основные платежи по займу (за вычетом процентов) за конкретный период (функция ОСПЛТ); - сумму основных платежей за несколько периодов, идущих подряд (функция ОБЩДОХОД). Все эти величины вычисляются, например, при расчете схемы равномерного погашения займа. Допустим, что заем погашается одинаковыми платежами в конце каждого расчетного периода. Будущая стоимость этих платежей будет равна сумме займа с начисленными процентами к концу последнего расчетного периода, если в нем предполагается полное погашение займа. С другой стороны, текущая стоимость выплат по займу должна равняться настоящей сумме займа. Если известна сумма займа, ставка процента, срок, на который выдан заем, то можно рассчитать сумму постоянных периодических платежей, необходимых для равномерного погашения займа с помощью функции ПЛТ. Вычисленные платежи включают в себя сумму процентов по непогашенной части займа и основную выплату по займу. Обе величины зависят от номера периода и могут быть рассчитаны при помощи функций ПРПЛТ, ОСПЛТ. Накопленные за несколько периодов величины вычисляют функции ОБЩПЛАТ и ОБЩДОХОД Расчет постоянных периодических выплат. Функция ПЛТ Функция ПЛТ позволяет рассчитать месячную сумму платежа по кредиту в случае аннуитетных платежей (когда за кредит платится равными частями). 30

31 Синтаксис: ПЛТ (Ставка, Пс, Бс, Тип), где Ставка процентная ставка по кредиту (ссуде); Кпер общее число выплат по кредиту; Пс сумма кредита; Бс необязательный аргумент требуемое значение остатка по кредиту после последней выплаты. Если аргумент Бс опущен, предполагается, что он равен 0 (т.е. кредит будет полностью возвращен); Тип число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата. Функция ПЛТ может применяться, когда: известна будущая стоимость фиксированных периодических выплат, производимых в начале и в конце каждого расчетного периода. Требуется рассчитать размер этих выплат; рассчитываются равные периодические платежи по займу величиной Пс, необходимые для полного погашения этого займа через Кпер число периодов. Текущая стоимость этих выплат должна равняться текущей сумме займа. Выплаты, возвращаемые функцией ПЛТ, включают основные платежи и платежи по процентам, но не включают налогов, резервных платежей или комиссий, иногда связываемых со ссудой. Пример 14 Предположим, что необходимо накопить 4000 тыс. руб. за 3 года, откладывая постоянную сумму в конце каждого месяца. Какой должна быть эта сумма, если норма процента по вкладу составляет 12% годовых. Решение Определим общее число периодов начисления процентов и ставку процента за период по табл.1. Эти величины составят соответственно 3 12 (аргумент Кпер) и 12%/12 (аргумент Ставка). Аргумент Тип = 0, т.к. по условию это вклады постнумерандо. Рассчитаем величину ежемесячных выплат: ПЛТ(12%/2, ) = тыс.руб. Пример 15 Допустим, банк выдал ссуду 200 млн. руб. на 4 года под 18% годовых. Ссуда выдана в начале года, а погашение начинается в конце года одинаковыми платежами. Определите размер ежегодного погашения ссуды. Решение Ежегодные платежи составят ПЛТ(18%,4, 200) = млн. руб. 31

32 Обратите внимание, что для банка выданная ссуда это отрицательная величина, а вычисленные ежегодные поступления положительные значения. Задания для самостоятельных расчетов 1 Определите размеры периодических взносов в фонд размером 100 млн. руб., сформированный за два года ежемесячными платежами, если процентная ставка составляет 20% годовых. Ответ: млн. руб. 2 Определите размер ежегодного погашения займа размером 50 млн. руб., выданного на 3 года под 38% годовых. Ответ: млн. руб Расчет платежей по процентам. Функция ПРПЛТ При равномерном погашении займа постоянная периодическая выплата включает в себя платежи по процентам по непогашенной части займа и выплату задолженности. Т.к. непогашенная часть займа уменьшается по мере его погашения, то уменьшается и доля платежей по процентам в общей сумме выплаты, и увеличивается доля выплаты задолженности. Функция ПРПЛТ вычисляет платежи по процентам за заданный период на основе периодических постоянных выплат и постоянной процентной ставки. Синтаксис: ПРПЛТ (Ставка;Период;Кпер;Пс;Бс;Тип), где Ставка процентная ставка за период; Период это период, для которого нужно определить сумму выплаты, должен находиться в интервале от 1 до Кпер; Кпер общее число периодов выплат инвестиции; Пс приведенная (нынешняя) стоимость общая сумма, равноценная на данный момент серии будущих платежей; Бс будущая стоимость или баланс наличности, который нужно достичь после последней выплаты. Если аргумент опущен, он полагается равным 0; Тип число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата: 0 или пропущено в конце периода, 1 в начале периода. 32