9. МНОГОГРАННИКИ Способы задания многогранников и построение их проекций
1 9. МНОГОГРАННИКИ 9.. Способы задания многогранников и построение их проекций 9.. Пересечение плоскости и прямой с многогранниками 9.3. Взаимное пересечение многогранников 9.. Способы задания многогранников и построение их проекций Одним из видов пространственных форм являются многогранники. Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого. Вершины и стороны многоугольников являются вершинами и ребрами многогранников, а сами многоугольники гранями. Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т.е. такие, которые расположены по одну сторону плоскости любой из его граней. Наибольший практический интерес представляют призмы и пирамиды. Призмой называется многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами основаниями. Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные между собой, называют боковыми ребрами. Пирамидой называется многогранник, одна грань которого многоугольник со сколь угодно большим числом сторон (не менее трех), а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Форма и положение многогранника в пространстве могут быть определены заданием его ребер, основанием и вершиной, если это пирамида, основанием и высотой, если это призма. Выбирая положение пирамиды и призмы для ее изображения, целесообразно располагать их основания параллельно плоскости проекций. Примеры даны на рис. 9.; 9.; 9.3. Здесь в системе плоскостей проекций П, П изображены трехгранная пирамида, прямая и наклонная призмы. Как видно, пирамида задается на эпюре проекциями ее основания и вершиной, а призма проекциями основания и ребер.
2 S B D B B A ' B ' D ' C ' A ' B ' C ' B ' B ' S A ' A ' C ' D D ' C ' Рис 9. Рис 9. Рис Пересечение плоскости и прямой с многогранниками При пересечении многогранника плоскостью в общем случае получается плоский многоугольник АВСD (рис.9.4). Этот многоугольник можно построить или по точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника, или по линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. Следовательно, задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей. Первый способ на практике применяется чаще второго. Плоскую фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью, называют сечением. B C А D Рис 9.4
3 Рассмотрим несколько примеров. На рис.9.5 построены проекции фигуры сечения наклонной трехгранной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Φ (Φ). A ' B ' C ' Ф B 3 C ' A ' B ' Рис 9.5 Фронтальными проекциями точек встречи ребер призмы с секущей плоскостью (фронтальными проекциями вершин фигуры сечения) являются точки. Их горизонтальные проекции 3 определены при помощи линий связи. Фронтальной проекцией фигуры сечения в данном примере является отрезок,совпадающий с фронтальным следом плоскости Ф, а горизонтальной - треугольник 3. На рис. 9.6 построены проекции фигуры сечения четырехгранной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью. Здесь, как и в предыдущем примере, фронтальная проекция сечения 4 изображается отрезком прямой, совпадающим с фронтальным следом плоскости Г. Горизонтальная проекция сечения 3 4 находится по линиям связи. Если многогранник пересекает плоскость общего положения, то для определения линии пересечения необходимо воспользоваться некоторыми
4 дополнительными вспомогательными построениями. Эти построения возможно выполнять двумя способами: а) метод ребер нахождение точек пересечения ребер многогранника с плоскостью, т.е. нахождение вершин многогранника, получающегося в сечении; б) метод граней нахождение линий пересечения граней многогранника с секущей плоскостью, т.е. нахождение сторон сечения. S Г B D 4 3 S 4 D Рис 9.6 Так, на рис линия пересечения призмы ABC с плоскостью общего положения Ф построена с использованием метода ребер. Горизонтальный след Ф проходит по нижнему основанию, следовательно, он пересекает нижнее основание по прямой. Ребро А находится перед плоскостью и не пересекается с ней. Через ребра призмы B и C проводим фронтальные плоскости Г и и строим линии пересечения вспомогательных плоскостей с плоскостью Φ. Фронтальные проекции ребер будут пересекаться с проекциями линий пересечения плоскостей в точках встречи их с плоскостью Ф.
5 Ф 4 Ф х Г М M M B 3 С 4 Ф Рис 9.7 Использование метода граней показано на рис. 9.8, когда необходимо построить сечение призмы ABC плоскостью общего положения Ф (а b). Заключаем грани AB и BC в горизонтально-проецирующие плоскости Г, и строим линии пересечения данных плоскостей с плоскостью Ф. В пределах граней AB и BC эти линии являются сторонами многоугольника, получаемые при пересечении плоскостью Ф призмы ABC. На рис.9.9. построены проекции сечений плоскостью Ф наклонной призмы. Для нахождения проекций сечения заключаем поочередно ребра призмы во фронтально-проецирующие плоскости Г,, и находим точки встречи ребер с плоскостью Ф. Полученные точки,, 3 соединяем ломаной линией и определяем видимость.
6 5 7 4 a 6 b B a С 7 Г 3 b Рис 9.8 Г E D F Ф N N ' N ' ' B 3 N ' C M M ' N M '' N '' B Ф х 3 M ' ' E F Ф M Г M ' D Рис 9.9
7 На рис. 9.0 построены проекции сечения плоскостью Ф ( ABC) пирамиды. Г B S F D E 8 F 9 D S E 7 4 Рис 9.0 Задача решена нахождением точек встречи (точек 3, 6, 9) каждого ребра пирамиды с секущей плоскостью. Чтобы найти точку (3) встречи ребра FS с секущей плоскостью ( ABC ), через ребро необходимо провести вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Г, построить линию пересечения, с секущей плоскостью Ф ( ABC ) и в пересечении горизонтальной проекции линии пересечения с горизонтальной проекцией ребра FS отметить горизонтальную проекцию искомой точки 3. Фронтальная проекция точки 3 построена при помощи линии связи. Точка 9 по-
8 строена аналогично. Для нахождения точки встречи ребра ES с плоскостью Ф ( ABC), ребро заключаем во вспомогательную горизонтальнопроецирующую плоскость Θ. Соединив точки 3, 6, 9 находим искомое сечение. Прямая линия может пересекать поверхность многогранника в двух точках при условии, что многогранник выпуклый. Решение этой задачи основано на схеме определения точки пересечения прямой с плоскостью и распадается на три этапа: ) через заданную прямую проводится вспомогательная плоскость; ) строится проекция фигуры сечения многогранника; 3) определяются точки пересечения прямой с контуром сечения. На рис. 9. построены точки M(М М) и N (N N)пересечения прямой l с поверхностью пирамиды SABC. S M N l Г B 3 l S M N Рис 9.
9 На рис. 9. построены точки R (R R) и S (S S) пересечения прямой k с поверхностью наклонной призмы. E D F k S R B E 3 R F S k D Рис Взаимное пересечение многогранников Многогранные поверхности пересекаются друг с другом по замкнутым ломаным линиям, для построения которых сначала находим точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, а затем - ребер второго с гранями первого. Соединяя в определенной последовательности полученные точки, строим искомую ломаную, каждое звено которой представляет собой прямую пересечения двух граней грани первого многогранника с гранью второго. Итак, построение линии пересечения двух многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с многогранником (или на взаимное пересечение двух плоскостей граней многогранников).
10 На чертеже 9.3 приведен пример построения линии взаимного пересечения прямой четырехугольной призмы с пирамидой SABC. B 8 D E S 6 Ф 5 D S E 3 Рис 9.3 Основание призмы совмещено с плоскостью П. Горизонтальные проекции вертикальных ребер преобразуются в точки. Грани боковой поверхности призмы представляют собой отсеки горизонтальнопроецирующих плоскостей. Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника. Так, ребро SA (S, S ) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы: одну в точке ( ) и вторую в точке ( ). Ребро SB (S S B ) пирамиды пересекает две вертикальные грани призмы в точках 3 (3 ) и 4 (4 4 ): ребро SC (S S ) в точках 5 (5 5 ) и 6 (6 6 ). Из четырех вертикальных ребер призмы только одно пересекает пирамиду. Находим точки его пересечения с гранями пирамиды. Через это ребро и вершину S (S S ) пирамиды проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Ф. Она пересекает пирамиду по прямым
11 DS ( D S, D S ) и ES ( E S, E S ). Эти прямые пересекают ребро призмы в точках 7 (7 7 ) и 8 (8 8 ) в точках пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 3857 ( , ), другая треугольник 46 ( 4 6, 4 6 ). Видимыми являются только те из отрезков многоугольников пересечения, которые принадлежат видимым граням многогранников: невидимые отрезки обозначаем на эпюре штриховыми линиями. Отрезки 4 ( 4, 4 ) и 6 ( 6, 6 ) линии пересечения 46 ( 4 6, 4 6 ) видимы на фронтальной проекции. Они принадлежат видимым граням призмы и пирамиды. Отрезок 46 (4 6, 4 6 ) является невидимым на фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой на этой проекции грани призмы и невидимой грани пирамиды. На фронтальной проекции видимы отрезки 3 ( 3, ) и 7 ( 7, 7 ) второй линии пересечения, а отрезки 38 (3 8, 8 ), 85 (8 5, 8 5 ) и 75 (7 5, 7 5 ) этой линии - невидимы.