Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14)

1 Вебинар 6 Тема: Многогранники Угол между плоскостями Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 4) Призма и ее элементы Призма многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований и называемых боковыми гранями призмы Стороны боковых граней, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы Призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники, называется прямой В противном случае призма называется наклонной Прямая призма ABC и A B C - основания призмы AA, BB, CC боковые ребра AA ABC, AA высота призмы ABB A боковые грани прямоугольники Наклонная призма ABB A боковые грани параллелограммы Высота призмы расстояние между плоскостями ее оснований A D ABC, A D высота призмы

2 Вебинар 6 Свойства Основания призмы равны Основания призмы лежат в параллельных плоскостях 3 Боковые ребра призмы параллельны и равны 4 Боковые грани наклонной призмы параллелограммы, прямой призмы прямоугольники 5 S S S полн бок осн S P AA (для наклонной призмы) бок перпендикулярного сечения S P AA (для прямой призмы) бок осн S S, где S площадь поверхности одной боковой грани призмы бок поверхности i i i n 6 Vпризмы Sосн h, где h высота призмы Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной

3 Вебинар 6 Параллелепипед Параллелепипедом называют призму, в основании которой лежит параллелограмм Свойства У параллелепипеда все грани параллелограммы У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом Свойства У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений d a b c полн S ab bc ac Vпрям пар abc Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны Свойства У куба все грани квадраты d a 3, где а ребро куба, d диагональ куба Sполн 6a Vкуба a 3

4 Вебинар 6 Угол между плоскостями Угол между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями Его определяют как угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей соответственно из каждой грани двугранного угла Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно определить как угол между перпендикулярами, проведенными к этим плоскостям

5 Вебинар 6 Задание 8 В прямоугольном параллелепипеде A D известно, что BD 7, CD 3, AD 4 Найдите длину ребра CC В прямоугольном параллелепипеде: BD BB BC BA 7 BB 4 3 d a b c BB, BB BB 359, BB 44, BB Ответ: Найдите расстояние между вершинами A и C многогранника, изображенного на рисунке Все двугранные углы многогранника прямые Отрезок AC является диагональю прямоугольного параллелепипеда с измерениями: AD, DC и AA AC AD D C AA AC AC 3 Ответ: 3 3 Найдите расстояние между вершинами B и D многогранника, изображенного на рисунке Все двугранные углы многогранника прямые Отрезок BD является диагональю прямоугольного параллелепипеда с измерениями: AB, AD, DC B D AB A D D C BD BD 3 Ответ: 3

6 Вебинар 6 4 Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 3 многогранника, изображенного на рисунке Все двугранные углы многогранника прямые Отрезок AC 3 является диагональю прямоугольного параллелепипеда с измерениями: AB CC 3, CC CC3, BC 3 AC3 3 7 Ответ: 7 6 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4 Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94 Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины Пусть a 3, b 4, c искомое ребро S ab bc ac полн c c 47 7c 7c 35 c 5 Ответ: 5 7 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны, Площадь поверхности параллелепипеда равна 6 Найдите его диагональ ) Пусть a, b, c неизвестное ребро S ab bc ac полн c 6 c 8 3c 3c 6 c ) В прямоугольном параллелепипеде: d a b c d 3 Ответ: 3 8 Площадь поверхности куба равна 8 Найдите его диагональ Пусть a ребро куба ) S полн 6a 8 6a a 3 a 3 ) В кубе: d a 3 d Ответ:3

7 Вебинар 6 9 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 0 Призма правильная шестиугольная, поэтому она прямая и в основании лежит правильный шестиугольник Для правильной призмы площадь боковой поверхности можно найти по формуле: S P h бок пов осн Sбок пов Ответ: Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 0 В прямой призме боковое ребро является высотой призмы Основание - ромб Sосн d d Sбок пов Pосн h S S S полн бок осн Ответ: 48 Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 0, а площадь поверхности равна 760 В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат S S S полн бок осн h 0 h Ответ: Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 Площадь ее поверхности равна 88 Найдите высоту призмы ab 68 Sосн 4 Sбок пов Pосн h h 4h Sп п Sосн Sбок 4 4h 88 h 0 Ответ: 0 3 Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6 Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза? Тк все ребра увеличиваются в одно и то же число раз, то получим призму подобную данной, с коэффициентом подобия k 3 Тогда площадь поверхности увеличивается в k раз, те в 9 ' S S k Ответ: 54

8 Вебинар 6 4 Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром Найдите площадь поверхности оставшейся части куба ) Площадь боковой поверхности внешней части куба: S 4a 4 4 ) Площадь боковой поверхности внутренней части куба: S 40,5 3) Площадь основания: S осн 0,5 0,75 4) S S S S 4 0,75 7,5 Ответ: 7,5 пов осн 5 Если каждое ребро куба увеличить на, то его площадь поверхности увеличится на 54 Найдите ребро куба Ребро куба Площадь поверхности Было a Стало 6a a 6a 54 6 a 54 a 6 a 48 a 4 Ответ:4 6 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA BC DE F все ребра равны Найдите расстояние между точками A и E Меньшая диагональ правильного шестиугольника d a 3 AE 3 3 AEE AE AE EE 3 4; AE м Ответ: 7 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA BC DE F все ребра равны расстояние между точками B и E 5 Найдите Большая диагональ правильного шестиугольника d a BEE BE BE EE 5 5 5; BE 5 б, BE 5 Ответ: 5

9 Вебинар 6 Задание 4 8 В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 5 На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM точка L Известно, что AD AE AL 4 а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D L а) Пусть O центр основания пирамиды В равностороннем треугольнике ABC по условию AD AE 4 и BE DC 6 4, значит, AE : EB AD : DC : Отрезок DE делит медиану AA в отношении : То есть содержит точку O Заметим, что тк DE BC и AA BC, то AO DE б) ABC LDE DE и проведем LK ABC, тогда LO DE по теореме о трех перпендикулярах Значит, LOK искомый линейный угол двугранного угла между плоскостями MO AM AO Из подобия треугольников ALK и AMO следует, что AL AK LK, 4 AK LK AM AO MO AK, KO AO AK 3, LK 5 LK В треугольнике LKO tglok : KO LOK arctg 3 Ответ: 39 arctg 3

10 Вебинар 6 9 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны Точка F середина ребра SB, G середина ребра SC а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF По теореме косинусов в треугольнике MHF : а) ABG DCS MG, MG AB GDF BCS GF, GF DA ABG GDF AG б) Треугольники GFA и GMA равны по трем сторонам ( AF AM MG GF как средние линии равносторонних треугольников, AG общая сторона), поэтому перпендикуляры, проведенные из вершин M и F к стороне AG, имеют общее основание точку H MHF искомый линейный угол двугранного угла как медианы равносторонних треугольников, между плоскостями (или смежный с ним) MF MH HF MH HF cos MHF DB MF как средняя линия BSD Для нахождения MH FH рассмотрим равнобедренную трапецию AFGD FGA GAD как накрест лежащие углы при основаниях трапеции Проведем GL AD 3 3 AD GF 0,5 DG DC, DL GL DG DL, LA GA GL LA, 6 6 FH GF sin FGH В треугольнике MHF Тк cos MHF 0 9 arccos равен GL 5 sin LAG : GA cos MHF, cos MHF , то искомый угол между плоскостями это острый угол, смежный с углом MHF, и он Ответ: 9 arccos

11 Вебинар 6 0 Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA BC D квадрат со стороной, а AA отмечена точка E так, что AE : EA 3: боковые ребра равны 4 На ребре а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED DE и AD лежат в плоскости ADD и а) Прямые пересекаются в точке M Точки B и M общие точки плоскостей ABC и BED, поэтому BM прямая пересечения этих плоскостей б) Проведем AH BM и тк EA ABC о трех перпендикулярах EH BM, тогда EHA искомый угол AA 3x x 4x 4, x, AE 3 MDD и MAE подобны Треугольники, то по теореме DD AE DM, 4 AM, AM 3 AM 3 AM Треугольник MBA прямоугольный AM AB 3 3 AH BM 3 0 Треугольник EAH прямоугольный, EA 3 tg EHA AH 3 0 EHA arctg 0 0 Ответ: arctg 0

12 Вебинар 6 В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA BC D лежит квадрат ABCD со стороной, а боковое ребро равно Точка E лежит на диагонали BD, причем BE а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью AC E б) Найдите угол между плоскостями сечения и плоскостью ABC CE лежат в одной плоскости а) Прямые AB и ABC и пересекаются в точке M Аналогично, BC и AE лежат в одной плоскости BCA и пересекаются в точке N Трапеция AC NM искомое сечение б) BD как диагональ 3 прямоугольного параллелепипеда BE, тогда Треугольники BE ED D C E и BME подобны, поэтому BM BE BM, тогда и BM DC ED AM MN AC и тк треугольник ABC Следовательно, равнобедренный, то значит, BN MBN тоже равнобедренный, Опустим перпендикуляр AH на прямую MN По A H MN теореме о трех перпендикулярах A HA искомый угол MBN прямоугольный равнобедренный, BMN 45 BMN HMA, тогда в треугольнике HMA AH AM sin 45 AA tg A HA AH, A HA arctg, значит, Ответ: arctg

13 Вебинар 6 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D известны длины ребер: AA 5, AB, AD 8 Точка K середина ребра CD а) Постройте прямую пересечения плоскости AA K с плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AK б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC а) ) Плоскость AA K пересекает ребро DC в точке N, причем KN AA KN ABC AK AA K Прямая Надо построить плоскость, проходящую через точку B перпендикулярно AK ) В плоскости ABC проведем BM AN и тк NA проекция наклонной AK на плоскость ABC, то по теореме о трех перпендикулярах AK BM 3) BM AN O В плоскости AA K проведем OP AK Получили, что прямая AK перпендикулярна двум пересекающимся прямым OP и BM, следовательно, AK MPB AA K MPB OP, причем плоскость MPB AK и проходит через точку B 4) б) Угол между плоскостями можно найти как угол между перпендикулярами к этим плоскостям Поэтому тк AK MPB и AA ABC, то угол между плоскостями MPB и ABC найдем как угол между прямыми AK и AA KA В прямоугольном треугольнике AA K tgkaa AA Из прямоугольного треугольника AD K найдем 0 KA A D DK 8 6 0, tgkaa 5 Ответ:

14 Вебинар 6 Тест Задание 8 В прямоугольном параллелепипеде A D известно, что BD 3, AB, BC 6 Найдите длину ребра DD Ответ: 3 Найдите расстояние между вершинами D и B многогранника, изображенного на рисунке Все двугранные углы многогранника прямые Ответ: 3 3 Найдите расстояние между вершинами C и B многогранника, изображенного на рисунке Все двугранные углы многогранника прямые Ответ: 9 4 Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C 3 многогранника, изображенного на рисунке Все двугранные углы многогранника прямые Ответ: 6

15 Вебинар 6 5 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6 и 3 Диагональ параллелепипеда равна 9 Найдите площадь поверхности параллелепипеда Ответ: 44 6 Площадь поверхности куба равна 00 Найдите его диагональ Ответ: 0 7 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота 0 Ответ: 80 8 Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 5 и, и боковым ребром, равным 7 Ответ: 50 9 Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 3, а площадь поверхности равна 66 Ответ: 4

16 Вебинар 6 0 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и, высота призмы равна 8 Найдите площадь ее поверхности Ответ: 300 Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 0 Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в пять раз? Ответ: 50 Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром Найдите площадь поверхности оставшейся части куба Ответ: 7,8 3 Если каждое ребро куба увеличить на 4, то его площадь поверхности увеличится на 40 Найдите ребро куба Ответ: 3 4 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA BC DE F все ребра равны 4 Найдите расстояние между точками E и C Ответ: 8

17 Вебинар 6 Задание 4 5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AS б) Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно прямой AS Ответ: 90 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны Точка F середина ребра SB, G середина ребра SC а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF Ответ: arccos 33 7 Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA BC D квадрат со стороной, а боковые ребра равны 3 На ребре AA отмечена точка E так, что AE : EA : а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED Ответ: arctg 5 8 В основании прямой призмы ABCDA BC D лежит квадрат ABCD со стороной 4, а высота призмы равна 7 Точка E лежит на диагонали BD, причем BE а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью AC E б) Найдите угол между плоскостями сечения и плоскостью ABC Ответ: 3 34 arctg 0 9 Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA BC D прямоугольник ABCD, в котором AB 3, AD 33 Расстояние между прямыми AC и BD равно 5 а) Постройте прямую пересечения плоскости BBD D с плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD б) Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD, и плоскостью основания параллелепипеда Ответ:,