Доказательство. Свойство 3 (свойство двух милиционеров): Пусть даны три последовательности (аn), (bn), (cn), такие что

Свойство 3 (свойство двух милиционеров): Пусть даны три последовательности (аn), (bn), (cn), такие что, что и . Если аn ≤ bn ≤ cn, то .

Доказательство.По условию: пусть >0 – произвольное. Так как , тогда N1 N 1: . Из условия следует, что для того же числа >0 N2 N 2 : . Положим , тогда : .

Свойство 4: Если , то .

Доказательство. Так как выполняется неравенство

то по свойству двух милиционеров

Аналогично определению (11.1) можно дать определение ограниченной последовательности в виде: последовательность (an) называется ограниченной, если

RN . (11.4)

Свойство 5: Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть . Пусть N взято из (11.2) при =1: : . Тогда обозначим через М наибольшее из чисел: М=max.

Рассмотрим 2 случая.

1. Если выполняется условие .

Следовательно -ограниченна. Чтд.

Свойство 6: Пусть , . Тогда

Положим , тогда >0 N( )

в) Так как существуют , , то по определению пределов N( ) : и , где М – число, ограничивающее по свойству 5 сходящую последовательность (an) . Тогда

Так как (bn) – сходящаяся последовательность, то по свойству 5 она ограничена. Пусть .

Свойство 7: Если , а – ограничена, то .

Доказательство.Пусть . Тогда исходя из неравенства и выполнения , , по свойству двух милиционеров .

Теорема Вейерштрасса: Всякая возрастающая числовая последовательность (аn) имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограниченна сверху, причем

Аналогично, если (аn) – убывающая последовательность, то она имеет предел и этот предел конечен, если последовательность ограничена снизу, и бесконечен, если она неограниченна снизу, причем

Доказательство. Пусть существует (аn) – возрастающая последовательность. Тогда Е= ограничено с верху. Пусть а=sup E (значение а может быть как конечным, так и бесконечным). Докажем, что .

Пусть >0 – взятое произвольно. Покажем, что . Если это не так, то : , но тогда ( ) – мажоранта Е. Пришли к противоречию.

Аналогично рассматривается случай убывающей последовательности.

Лемма вложенных отрезков. Если [an, bn] – система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Тогда существует точка а, принадлежащая всем отрезкам этой системы, такая, что

Так как , то (аn) – возрастающая ограниченная последовательность, (bn) – убывающая ограниченная последовательность. Тогда в силу теоремы Вейерштрасса а: =аn : а [an, bn] .

Так как n, m(-фиксированное число) выполняется неравенство , следовательно bm – является мажорантой для (аn). Поэтому m : . И тогда точка а, принадлежит всем отрезкам системы [an, bn].

Докажем единственность. Пусть существует точка а', также принадлежащая всем отрезкам системы [an, bn]. Тогда n . Но так как = =а, то свойству двух милиционеров =а. А в силу единственности предела а'=а.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Всякая ограниченная последовательность обладает сходящейся подпоследовательностью.

Доказательство. Пусть существует (хn) – ограниченная последовательность. Тогда R, что для всех номеров n выполняется неравенство:

Выберем произвольно какой-либо член последовательности, пусть его номер равен n1:

Разделим отрезок [a0, b0] на два равных отрезка, тогда по крайней мере в одном из них окажется бесконечно много членов рассматриваемой последовательности (хn). Обозначим этот отрезок [a1, b1] и в нем найдется член этой последовательности с номером, большим n1. Обозначим номер этого члена через n2.

Таким образом, будем иметь

Разделим отрезок [a1, b1] снова на два равных отрезка и обозначим через [a2, b2] тот из них, на котором имеется бесконечно много членов последовательности (хn). Среди них выберем член этой последовательности с номером, большим n2. Обозначим этот номер через n3, получим

Продолжая этот процесс получим подпоследовательность последовательности (хn) такую, что

В результате получилась система вложенных отрезков [ak, bk], k=0, 1, 2, …, длины которых стремятся к нулю. Следовательно, по лемме вложенных отрезков существует единственная точка а, принадлежащая всем этим отрезкам, такая, что

Тогда по свойству двух милиционеров = а.

Это означает, что подпоследовательность имеет конечный предел, т.е. сходится.

Предел подпоследовательности числовой последовательности называется частичным пределом этой последовательности.

Числовая последовательность называется фундаментальной последовательностью, если

>0 N : (условие Коши)

Критерий Коши: Последовательность сходится тогда только тогда, когда она фундаментальна.

Число е (=2,71828…)

Числом е называется предел

Применив формулу бинома Ньютона

Воспользовавшись неравенством мы можем показать, что последовательность строго возрастает и ограничена 2<хn<3, а следовательно имеет конечный предел по тереме Вейерштрасса.