Исследовательская работа по теме "Биссектриса угла треугольника", 9класс

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника………………………………………………………………………..

2.26. Доказательство с применением осевой симметрии……………………

2.3. Решение задач на применение……………………………………………..8

2.31. Решение задач из учебника…………………………………………….

2.32. Решение олимпиадных задач…………………………………………….

4.Используемая литература …………………………………………………….11

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал её богатства. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтёсывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Люди натягивали свои луки, изготавливали разные предметы с прямыми рёбрам и постепенно дошли до отвлечённого понятия прямой линии.

Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Геометрия стала наукой лишь после появления в ней теорем и доказательств.

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о биссектрисе угла треугольника.

Теорема о биссектрисе треугольника часто используется при решении геометрических задач. Теорема интересна тем, что существует много методов ее доказательства (метод подобия, метод площадей, метод движений и т.д.). В данной работе предлагаются только 4 способа доказательства этой замечательной теоремы.

Цель и задачи исследования:

Изучить доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника.

Научиться работать с чертежами.

Решать задачи на применение теоремы.

Составлять и решать задачи практического содержания.

Основная часть.

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника.

Теорема: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит

противоположную сторону на части, пропорциональные

прилежащим сторонам треугольника.

Если BD – биссектриса ∆ ABC , то выполняется равенство .

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе

угла треугольника.

2.21. Метод подобия

Проведем прямую m параллельную биссектрисе BD .

 ABD =  DBC (т.к. BD – биссектриса).

 DBC = BCD ₁ (т.к. m ǁ BD и BC – секущая).

 BD ₁ C = ABD (т.к. m ǁ BD и BD ₁ - секущая).

Значит ∆ BCD ₁ - равнобедренный => BC = BD ₁ .

∆ ABD ∆ AD ₁ C (по двум углам).

Что и требовалось доказать.

2.22. Метод площадей.

Рассмотрим ∆ ABD и ∆ CBD .

S ∆ ABD : S ∆ CBD = AD : D С ( так как h – общая высота).

BD – биссектриса ∆ ABC . Каждая точка биссектрисы BD равноудалена от

сторон ∆ ABC . Значит DH = DM - высоты ∆ ABD и ∆ CBD .

Итак : AB : BC = AD : D С => AB : AD = BC : D С .

Что и требовалось доказать.

2.23.Описанная окружность.

Опишем вокруг ∆ ABC окружность. Продолжим BD до пересечения с

окружностью в точке Е.

∆ BAE ∆ BDC (по двум углам). Значит: (1).

∆ BCE ∆ BAD (по двум углам). Значит: (2).

Так как ∆ ACE – равнобедренный , то AE = CE . Тогда AB ∙ DC = BC ∙ AD =>

Что и требовалось доказать.

2.24. По теореме синусов.

В треугольнике ABC ABD =  DBC = β (т.к. BD – биссектриса ∆ ABC ).

Рассмотрим ∆ ABD . По теореме синусов: (1).

Рассмотрим ∆ BCD . По теореме синусов:

Что и требовалось доказать.

2.25.Векторный метод.

Для любой точки Д отрезка АС вектор ,

В нашем случае вектор параллелен вектору ∙ + ∙ ,

и поэтому = : , тогда = , откуда = .

Что и требовалось доказать.

2.26.Осевая симметрия.

Выполним осевую симметрию S треугольника ABC относительно BD ,

Тогда ∆ CDC 1 ∆ ADA 1 (по двум углам) и ∆ СС 1 B ∆ AA 1 B (по двум углам).

AB = A 1 B (т.к. ∆ ABA 1 – равнобедренный).

Тогда и . Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

2.3 Решение задач на применение.

2.31.Задача из учебника.

Медиана и высота делят треугольник на три равные части. Найдите углы треугольника.

∆ ACH =∆ MCH по катету и острому углу.

Поэтому ∆ AC М - равнобедренный, АН=НМ. Пусть АН = НМ = а, МВ = 2а.

По свойству биссектрисы СМ ∆ H ВС имеем: . Тогда СВ=2СН ,

ÐСВН=30 ⁰ , ÐВСН= 60 ⁰ , β =30 ⁰ , ÐС=90 ⁰

Ответ: 30 ⁰ , 60 ⁰ , 90 ⁰ .

2.32.Олимпиадная задача.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.

В равнобедренном треугольнике BMN точка O является точкой пересечения высот. Поэтому BP — биссектриса треугольника BMN и треугольника ABC. По теореме о биссектрисе треугольника AB: BC = AP: PC, поэтому

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника:

. Следовательно: BP = 5.

2.32.Авторская задача.

ВС=6см, ВК=4см, ВК- биссектриса ∆ АВС.

КС=3см, R ∆ BKC =1см. S ∆ ABC =60см².

1. S ∆ BKC = . Следовательно: S ∆ BKC =18см².

2. S ∆ АВК = S ∆ АВС – S ∆ ВКС . Следовательно: S ∆ АВК = 42см².

3.Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как

4. По теореме о биссектрисе треугольника: АК: КС=АВ: ВС.

Тогда 21: 9 = АВ: 4, отсюда: АВ=14см.

3.Заключение.

Подводя итог работе, хотелось бы сказать, что биссектриса очень важный элемент в геометрии. Она обладает огромным количеством свойств и эти свойства помогают при решении различных геометрических задач.

Теорема о биссектрисе угла – одно из основных свойств биссектрисы. С помощью неё я смог доказывать другие теоремы.

В этой работе, приведя различные способы эта доказательства, я показал насколько универсальна теорема.

Она проста в понимании, но в то же время помогает мне при решении очень сложных и запутанных задач.

Изучив эту теорему, я открыл много нового для себя, расширил свои знания и думаю, что проложил дорогу к дальнейшему изучению геометрии .