Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка записывают как:

а линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка записывают как:

где функции f(x), p(x) и q(x) являются непрерывными на интервале интегрирования X.

Для понимания того, в каком виде необходимо искать общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений и линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка необходимо сформулировать 2 теоремы:

Общее решениее y0 ЛОДУ на интервале X с непрерывными коэффициентами на X - линейная комбинация n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения с произвольными постоянными коэффициентами , т.е. .

Общим решением y ЛНДУ на интервале X с непрерывными на этом же промежутке X коэффициентами и функцией f(x) является суммой , где y0 - является общим решением решаемого линейного однородного дифференциального уравнения , а - является любым частным решением заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

• y0=C1⋅y1+C2⋅y2 - является общим решением ЛОДУ , где y1 и y2 – являются его линейно независимыми частные решения,
• а - является общим решением ЛНДУ , где - является любым из частных решений уравнения, а y0- является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Теперь рассмотрим методы определения y1, y2 и .

В самых элементарных примерах эти функции вычисляются методом подбора. Линейно независимые функции y1 и y2 чаще всего определяют из наборов:

Проверить линейную независимость функций y1 и y2 можно при помощи определителя Вронского:

Если функции линейно независимы на интервале X, значит, определитель Вронского не равен нулю для всех x из промежутка X.

Например, функции y1 = 1 и y2 = x являются линейно независимыми для всех действительных значений x, потому что

Функции y1 = sinx и y2 = cosx тоже являются линейно независимыми на R, потому что

А функции y1 = - x - 1 и y2 = x + 1 являются линейно зависимыми на интервале (-∞; +∞), потому что

В общем случае определение функций y1, y2 и методом подбора достаточно сложно и зачастую невозможно.

Если удастся подобрать нетривиальное (не равное нулю) частное решение y1 линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка , тогда общее решение этого уравнения можно найти методом понижения степени уравнения до первой при помощи подстановки .

Разберем метод на примере.

Необходимо вычислить общее решение ЛОДУ 2-го порядка .

Хорошо видно, что y1 = x оказывается частным решением исходного уравнения при x не равном нулю. Понижаем степень заданного ЛОДУ используя замену

Вспоминая правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, получаем

Интегрируем обе части равенства:

произведя потенцирование, записываем общее решение исходного уравнения

где С – является произвольной постоянной.

Т.к. мы принимали , то общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается как:

где F(x) является одной из первообразных функции .

В элементарных функциях первообразная F(x) не выражается.

Решая ЛНДУ второго порядка , если получилось вычислить y1 и y2, тогда можно не подбирать . В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно найти варьируя произвольные постоянные.

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть так:

Варьируя произвольные постоянные, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем

Производные неизвестных функции C1(x) и C2(x) вычисляются из системы уравнений

а функции C1(x) и C2(x) вычисляются при дальнейшем интегрировании.