Непараметрические методы сравнения двух выборок и их применение в R

В этой статье Вы узнаете, почему кроме t-теста существуют другие методы сравнения двух выборок. Начнем мы с того, что вспомним о нормальности данных и связанной с ней делением статистических тестов на две категории: параметрические и непараметрические. О последних мы поговорим более подробно: разберем три наиболее популярных теста, а также научимся их запускать в среде R.

Параметрический или непараметрический критерий различия?

Статистические методы, использующие параметры нормального распределения данных (среднее, стандартное отклонение и прочее) называются параметрическими. Так например, рассмотренный в предыдущей статье t-тест является типичным параметрическим методом. Почему? Потому, что главным условием для его проведения является нормальное распределение количественных данных. Непараметрические методы, напротив, не зависят от распределения данных и позволяют работать как с количественными, так и с порядковыми данными (например: размер обуви, шкала силы землетрясений).

При нормальном распределении данных параметрические критерии имеют большую мощность по сравнению с непараметрическими. Однако, когда данные выборок не проходят тесты нормальности (такие, как qqplot и Шапиро тест), непараметрические методы дают более точные предсказания. Особенно они эффективны с выборками небольшого размера (<100 наблюдений), на распределение которых могут влиять неизвестные факторы. Сегодня мы познакомимся с непараметрическими аналогами t-теста, использующимися также, для сравнения двух выборок. При выборе критерия следует обратить внимание на две вещи: зависимость данных выборок друг от друга и объем выборок.

На приведенном выше рисунке Вы видите упрощенную классификацию методов сравнения средних (или медиан) двух выборок. Мы кратко поговорим о каждом из непараметрических критериев, и научимся применять их в среде R. Чтож, приступим!

Критерий Уилкоксона

Начнем знакомство с непараметрических тестов для зависимых выборок. Прежде всего стоит отметить, что выборки называются зависимыми, когда испытуемые одной и той же группы были протестированы в разные моменты времени с меняющимися (1) или неменяющимися (2) условиями эксперимента. В первом случае проверяется эффект какого либо действия в сравнении с контрольным измерением ("до и после"), во втором - повторяемость результатов эксперимента ("контроль-повтор").

Тест Уилкоксона (от английского "Wilcoxon signed-rank test") является широко используемым и эффективным методом выявления различий между медианами двух зависимых выборок с распределением данных отличным от нормального. Он идеально подходит для сравнения маленьких выборок, где количество испытуемых/исследований больше 5, но меньше 50. Как и для всех критериев, рассмотренных в этой статье, данные могут быть как количественными, так и порядковыми. Метод был разработан в 1945 году американским статистиком и химиком Фрэнком Уилкоксоном (фото справа).

Чтобы запустить тест Уилкоксона в среде R следует загрузить данные выборок и ввести следующую команду:

Как и в t-тесте, в непараметрических статистических тестах внутри скобок можно добавить дополнительные параметры, такие как alternative , conf.int , conf.level . Чтобы посмотреть все аргументы функции, поставьте перед ней знак вопроса, в нашем случае: ?wilcox.test

G-критерий знаков

Если же количество исследований в выборке больше 50, то следует использовать G-критерий знаков. Критерий знаков по статистической мощности уступает Уилкоксону, но превосходит большинство других непараметрических аналогов. Данные выборок должны быть зависимыми, количество исследований в выборке от 5, но не более 300 (про механизм расчетов и ограничения метода можно почитать здесь).

Провести тест в R не сложно, но потребуется сделать несколько манипуляций с данными. Сначала мы загрузим данные двух зависимых выборок, например систолическое (верхнее) давление до и после применения лекарства у 60 пациентов-гипертоников. Загрузим данные "before" и "after" в среду R. Затем визуализируем их.

Затем найдем разность между векторами "before" и "after" и назовем новый вектор "difference", после чего при помощи команды length узнаем его длину. Так как нас интересует, снижает ли лекарство давление у пациентов, мы узнаем какое количество элементов в векторе "difference" больше нуля. Это количество принято называть числом "успехов".

Теперь все готово для того, чтобы запустить G-критерий знаков в R. Для этого воспользуемся командой binom.test , где в параметрах функции укажем сначала число "успехов", затем число исследований в выборке.

Нулевая гипотеза говорит о том, что медианы выборок статистически не отличаются, альтернативная - что статистические различия есть. В нашем случае p-value значительно меньше 0.05, поэтому мы можем с уверенностью отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативую: две выборки статистически отличаются друг от друга. Также мы видим, что у 83% пациентов давление снизилось. Для демонстрации статистической значимости результатов эксперимента, просто добавьте к графику надпись p-value < 0.001.

Критерий Манна-Уитни

Этот тест также был изначально разработан и опубликован Уилкоксоном в 1945 году. Однако спустя два года его существенно усовершенствовали два математика, в честь которых и был назван критерий. В отличие от двух предыдущих критериев, тест Манна-Уитни используется при сравнении двух независимых выборок , также имеющих отклонения от нормального распределения. Подробнее об алгоритме расчета данного критерия можете почитать в этой статье.

Запустить тест Манна-Уитни в R крайне просто, используем уже известную нам функцию "wilcox.test" и убираем из скобок "paired = T":

Однако при проведении этого метода необходимо соблюдать два условия. Во-первых, одинаковые значения в выборке должны быть сведены к минимуму (все числа должны быть разными). Во-вторых, в каждой выборке должно быть не менее трех исследований (минимум 3 и 3, также допускается 5 и 2).

Заключение

Непараметрических методов существует великое множество, сегодня мы познакомились лишь с тремя наиболее используемыми критериями для сравнения двух выборок. В среде R эти тесты запустить довольно просто, поэтому главный акцент в выборе метода следует делать на его пригодность к решению конкретно Вашей задачи.

Если у Вас возникли вопросы, я буду рад ответить на них в комментариях. Также буду благодарен за критические замечания к этой статье :-)