4. Производная, дифференциальное исчисление

Теорема. Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то эта функция непрерывна в точке $x_0$.

Согласно условию теоремы, существует предел

причем $\alpha (\Delta x) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$. Значит, правая часть этого равенства стремится к $f(x_0)$ при $\Delta x \rightarrow 0$, это и означает непрерывность $f(x)$ в точке $x_0$.

Замечание. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Т.о., дифференцируемость "более сильное" свойство, чем непрерывность.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$. Говорят, что функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум, если для некоторой окрестности этой точки $U$ справедливо: $f(x) \leq f(x_0)$ при всех $x \in U$. Аналогичным образом определяется локальный минимум.

Теорема Ферма. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$, причем $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Если $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум (или локальный минимум), то $f'(x_0)=0$.

Будем для определенности считать, что в точке $x_0$ имеется локальный максимум (доказательство для локального минимума по существу то же самое). Рассмотрим выражение

$A(x_0,\Delta x)=\frac$. Рассмотрим знак этого выражения. При достаточно малых положительных $\Delta x$ мы, согласно определению локального максимума, имеем: $f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)$, так что числитель этой дроби неположителен, в то время как знаменатель - положителен. Поэтому имеем для таких $\Delta x$: $A(x_0,\Delta x) \leq 0$. Переходя к пределу (который существует, поскольку существует производная $f'(x_0)$) получаем: $f'(x_0) \leq 0$. Рассматривая отрицательные значения $\Delta x$, аналогичным образом получаем: $f'(x_0) \geq 0$. В итоге заключаем: $f'(x_0)=0$.

Теорема Ферма является необходимым условием наличия в точке $x_0$ локального максимума или локального минимума функции $f(x)$ - этим условием является равенство $f'(x_0)=0$. Для вывода достаточного условия нам потребуется несколько более продвинутая техника, оно обсуждается ниже. В связи с этими условиями возникает следующее определение.

Определение. Стационарной точкой (или: экстремальной точкой) функции $f(x)$ называется такая точка $x_0$, которая удовлетворяет условию $f'(x_0)=0$.

Теорема Ролля. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям. 1. Она непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$. 2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$. 3. $f(a)=f(b)$. Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что $f'(c)=0$.

Согласно свойствам непрерывных функциях они на замкнутом конечном интервале $\left [ a,b\right ]$ принимают максимальное и минимальное значения $M,m$, которые, естественно, является и локальными максимумом и минимумом. Возможны следующие варианты.

а) $M=m$, откуда следует, что $f(x)=const=m$. При этом $f'(x)=0$ для всех $x \in (a,b)$.

б) $M \neq m$. Возможна ли ситуация, когда оба эти значения принимаются на концах интервала? Поскольку $f(a)=f(b)$, этого быть не может. Значит, одно из этих значений принимается в точке $c$, лежащей внутри интервала $(a,b)$. Соответственно, по теореме Ферма, имеем: $f'(c)=0$.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Ролля.

Рис 4: К геометрическому смыслу теоремы Ролля

На рисунке 4 изображена функция, принимающая равные значения на концах. В соответствии с заключением теоремы, существует точка $c$, в которой касательная к графику функции параллельна оси $x$ (т.е. $f'(c)=0$).

Теорема Лагранжа. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям. 1. Она непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$. 2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$.

Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что \begin f'(c)=\frac. (11) \label \end

Введем константу $$ Q=\frac$$ и новую функцию $$F(x)=f(x)-f(a)-Q\cdot (x-a).$$ Из этих определений следует, что $F(a)=F(b)=0$, функция $F(x)$ непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$. Таким образом, она удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, согласно этой теореме, существует $c \in (a,b)$ такая, что $F'(c)=0$. Из наших определений следует: $F'(c)=f'(c)-Q=0$.

Формула (11) называется формулой конечных приращений. Ее можно переписать в виде: \[ f(b)-f(a)=f'(c)\cdot (b-a), \] где, напомним, $c \in (a,b)$.

Рис 5:К геометрическому смыслу теоремы Лагранжа

В таком виде она часто используется в том случае, когда требуется вычислить (или оценить) величину $f(b)-f(a)$.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа, см. рис. 5. Значение $f'(c)$ фиксирует угол наклона касательной к графику в точке $c$, выражение $(f(b)-f(a))/(b-a) $ задает угол наклона хорды, соединяющей концы кривой. Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что между $a$ и $b$ найдется такая точка $c$, что каcательная к графику в этой точке параллельна хорде, соединяющей концы кривой.

Теорема Коши. Пусть функции $f(x),g(x)$ удовлетворяют следующим условиям. 1. Они непрерывны на интервале $\left [ a,b\right ]$. 2. Они дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g(a) \neq g(b)$. Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что \[ \frac=\frac. \]

Определим константу $$Q=\frac$$ и функцию $$F(x)=f(x)-Q \cdot g(x)$$

Эта функция непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$, дифференцируема на интервале $(a,b)$, причем $$F(a)=f(a)-g(a)\cdot \frac=\frac=$$ $$f(b)-g(a)\cdot \frac=F(b).$$

Таким образом, функция $F(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно, существует $c \in (a,b)$ такая, что $F'(c)=0$. Это равенство можно переписать в виде: \[ f'(c)-Q\cdot g'(c)=0, \] что эквивалентно заключению теоремы.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши в том случае, когда $g(x)=x$.