5. Суть, причины и последствия автокорреляции.

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях, т.е. .

Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. Поскольку значения случайных членов неизвестны, то проверяется статистическая некоррелированность остатков, в частности двух последовательных и . Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Пусть - коэффициент корреляции между двумя соседними случайными членами и :

если > 0, то автокорреляция положительная;

если < 0, то автокорреляция отрицательная;

если = 0, то автокорреляция отсутствует, и третье условие Гаусса-Маркова удовлетворяется.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить следующие.

Ошибки спецификации: неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии.

Инерция в изменении экономических показателей: многие экономические показатели обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей.

Эффект паутины: экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием. Например, большая цена сельхозпродукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а, следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных: данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными.

2. Дисперсии оценок являются смещенными (заниженными), это влечет увеличение t-статистик, и признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые такими не являются.

3. Оценка дисперсии регрессии S 2 является смещенной (заниженной).

4. Выводы по t- и поF-статистикам оказываются неверными, из-за чего ухудшаются прогнозные качества модели.

6. Обнаружение автокорреляции.

В силу неизвестности значений параметров регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений , поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок , полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

Графический метод. Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них состоит в анализе последовательно-временных графиков. По оси абсцисс откладывают время, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (Рис. 1).

Естественно предположить, что на рис. 1, а - гимеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 1,дскорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 1, ботклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 1,бдополнить графиком зависимости от (рис. 2).

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Современные ППП решение задач построения регрессии дополняют графическим представлением результатов: график реальных колебаний зависимой переменной накладывается на график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставление этих графиков часто дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции.

Метод рядов. Последовательно определяются знаки отклонений . Например,

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называют длиной ряда. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Пустьn– объем выборки,n1иn2– общее количество, соответственно, знаков «+» и «-»,k– количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n1> 10,

n2> 10) и отсутствии автокорреляции случайная величинаkимеет асимптотически нормальное распределение с

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Число определяется по таблице функции стандартного нормального распределения из равенстваF( ) = . Например, при , =1,96 и при , =2,58.

Для небольшого числа наблюдений (n1< 20,n2< 20) разработаны таблицы критических значений количества рядов приnнаблюдениях. Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки n1и столбцаn2определяются нижнееk1и верхнееk2значения при уровне значимости (Рис.3).

автокорреляция > 0 автокорреляция = 0 автокорреляция < 0

Пример 1. Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потреблениеyот среднедушевого доходахпо данным некоторой страны за 16 лет.

Исходные (и расчетные для примера 3) данные (усл.ед.) представлены в следующей таблице: