Рабочая тетрадь по начертательной геометрии

Прямые линии, не принадлежащие плоскости, могут пересекаться с ней (в том числе и под прямым углом) или быть ей параллельными.

1.Пересечение прямой с плоскостью

Задачи на пересечение прямой линии с плоскостью можно разделить на три группы в зависимости от положения прямой и плоскости относительно плоскости проекций. Для каждой группы характерна своя методика решения задач.

К первой группе относят задачи на пересечение прямой линии с проецирующими плоскостями или с плоскостями, параллельными плоскостям проекций (плоскостями уровня).

В задачах первой группы одна проекция точки пересечения прямой и плоскости уже задана на исходном чертеже, а вторую проекцию находят без дополнительных построений с помощью одной линии проекционной связи.

Если плоскость задана плоской фигурой, то на чертеже следует отметить видимые и невидимые части прямой, считая плоскость ограниченной контуром фигуры.

Ко второй группе относят задачи на пересечение проецирующих прямых с плоскостями, занимающими общее или частное положение относительно плоскостей проекций.

В задачах второй группы точку пересечения прямой с плоскостью находят с помощью вспомогательной прямой, проведенной в заданной плоскости через известную проекцию точки пересечения.

В третью группу включены задачи на пересечение прямых общего положения или горизонтальных, фронтальных и профильных прямых с плоскостью общего положения.

При решении задач третьей группы используют вспомогательную плоскость, которую проводят через заданную прямую. В качестве вспомогательных плоскостей проще всего брать проецирующие плоскости.

При решении задач третьей группы руководствуются следующим планом: Проводят через заданную прямую вспомогательную плоскость.

Определяют линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей.

Находят точку пересечения заданных прямой и плоскости.

При определении точки пересечения профильной прямой с плоскостью общего положения через прямую проводят вспомогательную профильную плоскость.

Для определения проекций точки пересечения строят профильные проекции прямой и линии пересечения, так как горизонтальные и фронтальные проекции этих прямых расположены на общей линии проекционной связи.

Решение задач на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения упрощается при использовании способа замены плоскостей проекций. Задают новую плоскость 4 перпендикулярно линии уровня. В новой системе плоскостей проекций, плоскость общего положения займет проецирующее положение и задача на пересечение прямой с плоскостью может быть отнесена к первой группе.

2.Параллельность прямой и плоскости

Если прямая параллельна какой – нибудь прямой, расположенной в плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Если требуется определить параллельны ли прямая и плоскость, то руководствуются следующим планом решения задачи:

В плоскости задают произвольную точку или используют одну из точек, определяющих положение плоскости. Через эту точку проводят прямую, параллельную заданной прямой и определяют, принадлежит ли построенная прямая плоскости.

3.Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , принадлежащим плоскости . Известно, что построить две взаимно перпендикулярные прямые можно только тогда, когда одна из прямых параллельна какой - либо плоскости проекций. Поэтому о перпендикулярности прямой и плоскости судят по линиям уровня,

принадлежащим заданной плоскости. Прямую, перпендикулярную к

заданной плоскости, можно проводить через точку, расположенную на плоскости или вне ее.

При построении прямой, перпендикулярной к плоскости общего положения, в заданной плоскости проводят

произвольные горизонтальную h и фронтальную f прямые, пересекающиеся в точке А . Далее строят прямую А В h и АВ f . Построенная прямая АВ будет перпендикулярна к плоскости .

Горизонтальная проекция прямой, перпендикулярной к заданной плоскости , должна быть перпендикулярна к h , а её фронтальная проекция проведена перпендикулярно к f . Первое условие обеспечивает перпендикулярность между искомой прямой и горизонтальной прямой плоскости, а второе - между искомой прямой и фронтальной прямой плоскости.

Для того, чтобы найти точку пересечения построенного перпендикуляра и плоскости, нужно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью.

В тех случаях, когда плоскость является проецирующей, перпендикуляр к ней будет прямой частного положения.

Плоскость, перпендикулярную к заданной прямой, обычно задают горизонтальной и фронтальной прямыми, перпендикулярными к ней.

При построении геометрического места точек пространства, равноудаленного от концов отрезка АВ, (искомым геометрическим местом точек будет плоскость, проведенная через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему и заданная горизонтальной h

АВ и фронтальной f АВ прямыми.

4 . Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости перпендикулярны , если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Вопросы для самопроверки:

Какими способами могут быть заданы плоскости на эпюре? Какие плоскости называют плоскостями общего и частных положений?

По каким признакам на эпюре может быть определена принадлежность прямой плоскости?

В каких случаях точка принадлежит плоскости?

Как построить проекции точки, принадлежащей плоскости общего положения, по заданным координатам у и z?

Как проверить, является ли заданный многоугольник плоской фигурой?

Как расположены проекции линий уровня в плоскостях общего и частных положений?

Как построить проекции линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций?

Как построить проекции прямой, параллельной заданной плоскости?

Как построить проекции плоскости, проходящей через заданную прямую и параллельную другой прямой?

Как установить по эпюру, параллельны ли заданные прямая и плоскость?

Как построить проекции плоскости, параллельной заданной плоскости?

Как определить по эпюру, параллельны ли две заданные плоскости?

Как расположены на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости?

Как задать плоскость, перпендикулярную к заданной прямой? Как задать плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости?

Как определить по эпюру, перпендикулярны ли друг к другу две заданные плоскости?

Как построить точку пересечения прямой с плоскостью частного положения?

Каков алгоритм определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?

Как построить проекции линии пересечения плоскостей общего и частного положений?

Каким образом определяют взаимную видимость пересекающихся прямой и плоскости, плоскостей?

Какие способы существуют для определения линии пересечения плоскостей общего положения?

3.1 Определить, принадлежат ли точки А , В , С и D одной плоскости (рис.3.1). Координаты точек: А (65,25,25),

B (55,10,10), C (40,35,40), D (15,20,15).

3.2. Построить фронтальную проекцию точки А (рис.3.2), принадлежащей плоскости ( а ∩ p ).

3.3. Как расположена точка М (рис.3.3) относительно плоскости ( а ∩ b ): принадлежит ей, находится перед или за ней?

3.4. Определить положение точки Е относительно параллелограмма ABCD и отметить ее видимость (рис.3.4).

Координаты точек: А (50,10,35), В (5,25,35), C (20,45,10), D (. 10), Е (35,30,15).

3.5. Построить фронтальную

проекцию треугольника DEF

плоскости ( а ∩ b ), если DE || b .

3.6. Через точку А провести прямую с (рис.3.6), параллельную прямой р (варианты решений).

3.7. В плоскости ( АВС ) построить три проекции горизонтали, фронтали и профильной прямых, проходящих соответственно через точки А (70,10,25), С (20,25,10), В (35,45,45) (рис.3.7).

3.8. Построить проекции горизонталей, фронталей и профильных прямых (рис.3.8), произвольно расположенных в проецирующих плоскостях ( a || b ), β( ABC ) и γ .

3.9. Построить дополнительную проекцию треугольника ABC на плоскость, перпендикулярную его горизонтали (рис.3.9).

Координаты точек: А (50,0,10), В (25,45,25), С (10,20,0).

3.10. Построить дополнительную проекцию треугольника ABC ,

перпендикулярного к плоскости проекций 2 , на плоскость, расположенную параллельно ему (рис.3.10). Координаты точек: А (55,0,20), В (10,10,0), С (30,30,?).

3.11. Задать произвольную плоскость, проходящую через прямую

а и параллельную прямой b (рис.3.11).

3.12. Определить, параллельны ли заданные плоскость ( f ∩ p ) и прямая n (рис.3.12).

3.13. Построить проекции горизонтально проецирующей плоскости (рис.3.13), проходящей через точку М параллельно

плоскости ( a || b ).

3.14. Построить проекции плоскости, проходящей через точку М

3.15. Построить проекции прямой (рис.3.15), проходящей через точку М параллельно плоскости ( А , а ) и пересекающей прямую b .

3.16. Построить проекции перпендикуляра к плоскости треугольника ABC , проходящего через точку пересечения его медиан (рис.3.16). Координаты точек: А (65,10,25),

В (40,40,60), С (10,10,10).

3.17. Построить проекции прямой, проходящей через точку D и перпендикулярной к фронтально проецирующей плоскости

( АВС ) (рис.3.17) Координаты точек: А (60,35,10), В (35,15,30), С (15,50,?), D (10,10,10).

3.18. Построить проекции плоскости (рис.3.18), проходящей через точку А перпендикулярно прямой а . Плоскость задать горизонталью и фронталью.