Учебное пособие по начертательной геометрии

Проекции сечение могут изображаться : а ) отрезком прямой и окружностью при сечении сферы плоскостями уровня ( рис .66 а ); эллипсом и прямой сечении проецирующими плоскостями ( рис .66 б ).

На рисунке 67 выполнено построение проекций сечения сферы горизонтальной плоскостью λ.

На рисунке 68 выполнено построение проекций сечения сферы фронтально проецирующей плоскостью Σ.

Рисунок 67- Построение сечения горизонтальной плоскостью λ.

Рисунок 68- Построение сечения фронтально проецирующей плоскостью Σ.

8.5 Построение линии пересечения двух поверхностей

Для решения задач на построение линии пересечения двух поверхностей общего положения в качестве вспомогательной поверхности ( посредник ), следует выбирать такие , которые пересекали бы заданные по наиболее простым для построения линиям – прямым или окружностям .

В качестве вспомогательных поверхностей ( посредников ) наиболее часто используются секущие плоскости и сферические поверхности .

Прежде чем решить вопрос , какие вспомогательные поверхности следует выбрать необходимо , выяснить , не занимает ли одна из пересекающихся поверхностей проецирующее положение , т . к . в данном случае решение поставленной задачи значительно упрощается . Это происходит из - за того , что одна из проекций линии пересечения будет совпадать с главной проекцией проецирующей поверхности . Поэтому решение сводится к определению недостающей проекции линии , принадлежащей заданным поверхностям из условия принадлежности .

Пример решение задач :

Задача . Построить линию пересечения пирамиды и призмы ( рисунок 69)

1. Заданы многогранники . Все ребра призмы пересекают грани пирамиды . Имеем случай проницания . Призма занимает профильно - проецирующее положение .

2. Так как призма перпендикулярна П 3 , то профильная проекция линии пересечения заданных многогранников совпадает с профильной проекцией призмы .

3. Линия пересечения распалась на две замкнутые ломаные линии : пространственную 1-6-8-9-4-3-1 и плоскую 2-5-10-7-2. Фронтальная и горизонтальная проекция линии пересечения построена из условия принадлежности пирамиды .

4. Отрезки прямых соединены с учетом видимости . Видимыми считаются те участки ломаной , которые являются линией пересечения двух видимых граней многогранника и наоборот .

Рисунок 69 – Пересечение пирамиды и призмы

Задача . Построить проекции линии пересечения конуса и треугольной призмы ( рисунок 70).

1. Линия состоит из совокупности дуги окружности , части гиперболы

и части эллипса .

2. Так как призма фронтально - проецирующая , то фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией призмы .

3. Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения построены из условия принадлежности конусу .

Рисунок 70 – Пересечение конуса и призмы

Задача . Построить линию пересечения конуса и цилиндра ( рисунок 71)

1. Заданы кривые поверхности . Случай врезки . Цилиндр занимает фронтально - проецирующее положение

2. Линия пересечения – пространственная замкнутая кривая

3. Так как цилиндр занимает фронтально - проецирующее положение , то фронтальная проекция линии пересечения заданных поверхностей совпадает с

фронтальной проекцией цилиндра , а горизонтальная проекция строится по принадлежности конусу .

Рисунок 71 – Пересечение конуса и цилиндра

4. Опорные точки : А , С , С ′ – экстремальные . А – высшая точка , С , С ′ -

низшие , D, D′ – очерковые ( точки смены видимости на П 1 ). Точки 1, 1′ и 2, 2′ –

очерковые относительно П 3 . Точки 3, 3′ – точки касания образующих конуса и цилиндра . Остальные точки – промежуточные .

5. Соединив полученные точки плавной кривой с учетом видимости , получим горизонтальную проекцию линии перемещения заданных поверхностей .

8.6 Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей

Задача . Построить линию пересечения полусферы Р и пирамиды Q ( рисунок 72)

Рисунок 72 – Пересечение пирамиды и сферы

1. Задача решается при помощи посредников . За посредники выбираем горизонтальные плоскости уровня . Они пересекают Р по параллелям ,

а Q по треугольникам – графически простым линиям .

2. Определяем опорные точки на линии пересечения m. Находим точки пересечения ребер пирамиды с полусферой : M 1 , F 1 и Е 1 . Точку М =SB∩P

находим с помощью плоскости Σ(Σ 1 ) – плоскости главного меридиана полусферы Р . Точки Е и F получаются в результате пересечения ребер AS и SC

и полусферой Р , найдены точки с помощью плоскости ( 2 ) – плоскость экватора полусферы . Точки М , Е , F являются экстремальными точками , а так же очерковыми на П 2 , точки Е и F очерковыми на П 1 , и они же точки смены видимости на П 1 .

3. Случайные точки определяем с помощью плоскостей уровня λ(λ 2 ) и

Г ( Г 2 ); λ∩P=n(n 2 ,n 1 ) - параллель полусферы λ∩Q= l ( l 2 , l 1 ) – треугольник DTS; n∩L= точки 1 и 2. Аналогично с помощью плоскости Г ( Г 2 ) находятся точки 3 и

4. Соединяем найденные точки линии m с учетом видимости .

5. Определяем взаимную видимость Р и Q.

8.7 Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных концентрических сфер

Известно , что если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность , то линия пересечения – окружность , плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения . При этом если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций , то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии .

Рисунок 73 – Пересечение сферы с поверхностями вращения

На рисунке 73 показана фронтальная проекция линий пересечения сферой радиуса R с поверхностями вращения – конусом , тором , цилиндром , сферой , оси которых проходят через центр сферы . Окружности , по которым пересекаются указанные поверхности вращения с поверхностью сферы , проецируется на плоскость в виде отрезков прямых . Это свойство используется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер , но при следующих условиях :

1. Обе поверхности – поверхности вращения

2. Оси поверхностей пересекаются в точке ( центр вспомогательных сфер )

3. Плоскость , образованная осями поверхностей ( плоскость симметрии ) должна быть параллельна плоскости проекции .

Задача . Построить проекции линии пересечения поверхностей цилиндра

( Г ) и конуса ( ψ ) ( рисунок 74).

1. Заданы две поверхности вращения . Оси поверхностей пересекаются .

Имеется общая плоскость симметрии λ, параллельная П 2 .

2. Линия пересечения – пространственная замкнутая кривая 1-4-3-5-2-5′- 3′-4′-1 ( рисунок 74).

3. Опорные точки : 1, 2 – экстремальные ; точки 3 и 3′ – очерковые относительно П 1 .

Рисунок 74 – Пересечение цилиндра и конуса

4. Промежуточные точки : 4, 4′,5, 5′ найдены с помощью вспомогательной сферы ( ) с центром в точке О , соосной с заданными поверхностями .