4.2. Переходные процессы в RL-цепях

Рассмотрим переходные процессы в RL-цепи на примере схемы, изображенной на рис. 4.1,а. Из рисунка видно, что переходные процессы в цепи будут возникать в моменты установки ключа К в положения 1 или 2.

При установке ключа в положение 1 происходит подключение к RL-цепи источника входного воздействия u(t) и начинается переходной процесс при нулевых начальных условиях. При установке ключа в положение 2 происходит отключение входного воздействия от цепи и замыкание индуктивностиL на резистор R и начинается переходной процесс при ненулевых начальных условиях.

Переходной процесс в RL-цепи при нулевых начальных условиях. Установим ключ К в положение 1 (рис. 4.1,а). При этом в цепи возникает ток i, который создает падения напряжений на R и L.

Рис. 4.1. RL-цепь (а) и переходные процессы в ней при подключении входного воздействия (б) и при отключеии входного воздействия(в).

Согласно второго закона Кирхгофа приложенное напряжение u(t) уравновешивается падениями напряжений на R и L, т.е.

u(t)=uR + uL = iR + Ldi/dt. (4.1)

Решение уравнения (4.1) можно записать в виде

где iсв – свободная составляющая тока, iпр – принужденная составляющая тока, обусловленная действием u(t).

Для определения свободной составляющей тока уравнение (4.1) необходимо приравнять к нулю, тогда будем иметь.

iсвR + Ldiсв/dt = 0. (4.3)

Выражение (4.3) является однородным дифференциальным уравнением, общее решение которого имеет вид

где А – постоянная интегрирования; р – корень характеристического уравнения, составленного из (4.3). R + pL = 0, откуда p = -R/L = -1/τ , тогда свободная составляющая тока (4.4) будет равна

где τ = L/R [с] –постоянная времени RL-цепи.

Принужденную составляющую iпр найдем полагая, что u(t) = U = const, тогда в установившемся режиме iпр = U/R. Учитывая последнее выражение и (4.5) перепишем (4.2) в форме

До подключения к цепи входного напряжения ток в цепи был равен нулю, тогда на основании первого закона коммутации (4.6) будет иметь вид

Отсюда находим постоянную интегрирования A = -U/R. Подставляя значение постоянной интегрирования в (4.6) находим закон изменения тока в RL-цепи при подключении к ней U = const

Учитывая (4.7) находим закон изменения напряжения на индуктивности

uL = Ldi/dt = U ℮-t/τ. (4.8)

Графики зависимости i(t) и uL(t) изображены на рис. 4.1,б. Из рисунков и выражений (4.7) и (4.8) следует, что в момент подключения к индуктивности источника постоянного напряжения ток в цепи равен нулю, а напряжение на индуктивности достигает максимального значенияuL = U, т.е. индуктивность эквивалентна разрыву цепи.

С увеличением времени ток в цепи увеличивается, а напряжение uL уменьшается по экспоненциальному закону. При t = ∞ ток в цепи достигает максимального значения, а uL = 0, т.е. индуктивность эквивалентна короткозамкнутому участку цепи.

Из выражений (4.7) и (4.8) видно, что длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепи τ. Чем больше постоянная времени цепи τ, тем медленнее затухает переходной процесс. При t = τ напряжение UL уменьшается в е раз. На практике принято считать, что переходной процесс заканчивается через время t = 3τ, т.к. при этом ток (4.7) достигает 95% от своего установившегося значения.

Рассмотрим случай, когда на вход RL-цепи (рис. 4.1,а) подключается гармоническое колебание. Для этого случая принужденная составляющая тока будет

Свободная составляющая тока определятся выражением (4.5).

Постоянную интегрирования А определим исходя из начальных условий, т.е. при t = 0, i = 0, тогда на основании (4.2) запишем

Откуда А = -Im sin(φu – φ). Учитывая значение А и выражение (4.9) закон изменения тока в RL-цепи будет иметь вид

Напряжение на индуктивности определяется уравнением , т.е.

Из (4.10) видно, что переходной процесс в RL-цепи при подключении ее к гармоническому колебанию, будет протекать по-разному в зависимости от момента включения входного воздействия. Если цепь будет подключена к источнику в момент, когдаφu = φ ± π/2, то в момент включения ток imax = 2Im, т.е. появляется бросок тока. При включении цепи в момент, когда φu = φ в цепи сразу наступает установившийся режим.

Переходной процесс в RL-цепи при ненулевых начальных условиях. Пусть к моменту коммутации ключ К на рис. 4.1,а находился в положении 1 и к RL-цепи было подключено напряжение u(t) = U = const. Следовательно в цепи была запасена энергия магнитного поля WL = LI2 = L(U/R)2. Установим ключ К в положение 2. При этом от цепи будет отключено входное воздействие и индуктивность L будет замкнута на резисторе R. В цепи возникает переходной процесс, описываемый уравнением

iR + Ldi/dt = 0. (4.12)

Принужденная составляющая тока iпр= 0. Решая уравнение (4.12) с учетом (4.3) – (4.5) находим

В момент коммутации при t = 0 ток в цепи был i = U/R, поэтому из (4.13) имеем A = U/R. Подставляя полученное значение А в (4.13) будем иметь следующее выражение, описывающее изменение тока в RL-цепи после отключения входного воздействия

Напряжение на индуктивности в переходном режиме изменяется по закону

Графики изменения тока и напряжения изображены на рис. 4.1,в.

Из рисунков и выражений (4.14) и (4.15) видно, что при отключении от индуктивности входного воздействия и замыкании ее на резистор ток и напряжение стремятся к нулю. Это означает, что вся запасенная в индуктивности энергия с течением времени расходуется на тепловые потери в резисторе. Длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепи и переходной процесс заканчивается через времяt ≈ 3τ.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎