Применение линейной алгебры в экономике
Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в следующей таблице:
изготовления, ч/изд.
изделия, ден. ед./изд.
Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S , затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.
По приведенным данным составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:
= (20, 50, 30, 40) - вектор ассортимента;
= (5, 2, 7, 4) - вектор расхода сырья;
= (10, 5, 15, 8) - вектор затрат рабочего времени;
= (30, 15, 45, 20) - ценовой вектор.
Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора:
S = = 100 + 100 + 210 + 160 = 570 кг ,
Т = = 1220 ч, P = = 3500 ден. ед.
Расход сырья
Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:
Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед.
Составим вектор-план выпуска продукции:
Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:
Конечный продукт отрасли
Отрасль состоит из п предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое: обозначим объем продукции i -го предприятия через х i . Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Пусть а ij - доля продукции i -го предприятия, потребляемая j-м предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема х j . Найдем величину у i - количество продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле
Введем в рассмотрение квадратную матрицу порядка п, описывающую внутреннее потребление отрасли
Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения
с использованием единичной матрицы Е получаем
Пример. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют, соответственно, вид
Получим вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из трех предприятий:
Прогноз выпуска продукции
Пусть - матрица затрат сырья т видов при выпуске продукции п видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор
вектор-план выпуска продукции определяется из решения системы т уравнений с п неизвестными:
где индекс "т" означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.
Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены следующими данными:
Вид сырьяРасход сырья по видам
продукции, вес. ед./изд.
Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.
Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через х 1 , х 2 и х 3 . Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах):
Линейная модель многоотраслевой экономики
Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.
Введем следующие обозначения:
- общий объем продукции i -й отрасли;
- объем продукции i-й отрасли, потребляемый j -й отраслью при производстве объема продукции ;
- объем продукции i -й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i -й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид
Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.
В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j -й отраслью продукции i -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа.
В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j -й отрасли объема нужно использовать продукцию i -й отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности
Соотношения баланса можно переписать в виде системы уравнений
Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:
Тогда система уравнений в матричной форме имеет вид
Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.
Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом (наиболее простом) случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления . Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода Т (например, год) известен вектор конечного потребления , требуется определить вектор валового выпуска.
Линейная модель торговли
Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х 1 , х 2 , …, х n , расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли.
Пусть а ij - доля бюджета х j , которую j -я страна тратит на закупку товаров у i -й страны. Введем матрицу коэффициентов а ij :
Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство
Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой
Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. , или
Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получаем
Нетрудно заметить, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство
откуда следует, что возможен только знак равенства.
Таким образом, условия принимают вид равенств:
Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:
Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению l =1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить :
Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:
Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению l =1 заданной структурной матрицы А, т.е. решить уравнение, которое в нашем случае имеет вид
Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора :
Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, определим величину с:
Откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле: